par 11, chapter 2

bibliography.bib

@@ -2,14 +2,15 @@
 @article{cantor1874,
     author = "Кантор",
     nameaddon = "(Cantor Georg)",
-    title = "{{\"U}ber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahleh}",
+    title = "{{\"U}ber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen}",
     journal = "Journal f{\"u}r die reine und angewandte Mathematik",
     number = "77",
     pages = "258--262",
     year = "1874",
-    addendum = "Перепечатана в Georg Cantor Gesammelte Abhandlungen, Berlin (Springer), 1932, p. 115--118.",
+    addendum = "Перепечатана в Georg Cantor Gesammelte Abhandlungen, Berlin (Springer) 1932, p. 115--118.",
     keywords = {mainBibliography}
 }
+%% TODO: разобраться с номерами и годами журналов
 @article{cantor1895,
     author = "Кантор",
     nameaddon = "(Cantor Georg)",
@@ -21,10 +22,9 @@
     number = "49",
     pages = "207--246",
     year = "1897",
-    addendum = "Перепечатана в Georg Cantor Gesammelte Abhandlungen, стр. 282--351. Английский перевод Журдэна (Ph. E. B. Jourdain) под заголовком Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers, Chicago and London (Open Court), 1915, xi+211 p.",
+    addendum = "Перепечатана в Georg Cantor Gesammelte Abhandlungen, стр. 282--351. Английский перевод Журдэна (Ph. E. B. Jourdain) под заголовком Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers, Chicago and London (Open Court) 1915, xi+211 p.",
     keywords = {mainBibliography}
 }
-
 @book{frege1884,
     author = "Фреге",
     nameaddon = "(Frege Gottlob)",
@@ -298,4 +298,199 @@
     pages = "305-316",
     year = "1924",
     keywords = {mainBibliography}
+}
+@article{buraliforti1897,
+    author = "Бурали-Форти",
+    nameaddon = "(Burali-Forti Cesare)",
+    title = "{Una questione sui numeri transfiniti}",
+    journal = "Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo",
+    number = "11",
+    pages = "154-164",
+    year = "1897",
+    addendum = "См. также ibid., 260. Об открытии Кантором парадоксов Бурали-Форти и Кантора см. Френкель~\cite[стр. 470]{fraenkel1932}",
+    keywords = {mainBibliography,starred}
+}
+@book{fraenkel1932,
+    author = "Френкель",
+    nameaddon = "(Fraenkel Adolf)",
+    title = "{Das Leben Georg Cantors. Georg Cantor Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts}",
+    editor = "Цермело~(Ernst~Zermelo)",
+    location = "Berlin",
+    publisher = "Springer",
+    year = "1932",
+    pages = "452-483",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@article{gentzen1936,
+    author = "Генцен",
+    nameaddon = "(Gentzen Gerhard)",
+    title = "{Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie}",
+    journal = "Mathematische Annalen",
+    number = "112",
+    pages = "493-565",
+    year = "1936",
+    addendum = "Он употребляет ${1,\; 2,\; 3\ldots}$ там, где мы употребляем ${0,\; 1,\; 2,\; \ldots}$.",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+% TODO: разобраться с годом публикации
+@book{russel1902-1903,
+    author = "Рассел",
+    nameaddon = "(Russell Bertrand) (Russel B. A. W.)",
+    year = "1902--1903",
+    addendum = "Парадокс Рассела встречается у Фреге~\cite{frege1903} в postscriptum'е (датированным Фреге октябрём 1902 г.), стр. 253--265. По поводу независимого открытия Цермело этого парадокса, см.~Цермело~\cite[стр. 119]{zermelo1908a} и~Гильберт~\cite[стр. 169]{hilbert1926}",
+    keywords = {mainBibliography,starred}
+}
+% TODO: разобраться с годом публикации
+@book{russel1919,
+    author = "Рассел",
+    nameaddon = "(Russell Bertrand) (Russel B. A. W.)",
+    title = "{Introduction to mathematical philosophy}",
+    pagetotal = "VIII+208 p.",
+    year = "1920",
+    year = "1919",
+    edition = "2nd ed.",
+    origlocation = "London",
+    origpublisher = "G. Allen and Unwin",
+    location = "New York",
+    publisher = "Macmillan",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@article{dantzig1948,
+    author = "ван~Данциг",
+    sortname = "Данциг",
+    nameaddon = "(Dantzig, D. van)",
+    title = "{Significs, and its relation to semiotics}",
+    journal = "Library of the Tenth International Congress of Philosophy (Amsterdam, Aug. 11--18, 1948)",
+    volume = "2 Philosophical essays",
+    location = "Amsterdam",
+    publisher = "Veen",
+    pages = "176-189",
+    year = "1948",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@article{gonseth1933,
+    author = "Гонсет",
+    nameaddon = "(Gonseth Ferdinand)",
+    title = "{La v{\'e}rit{\'e} math{\'e}matique et la r{\'e}alit{\'e}}",
+    journal = "L'Enseignement mathematique",
+    number = "31 (за 1932, вышло из печати в 1933)",
+    pages = "96-114",
+    year = "1933",
+    addendum = "См. также: A propos d'un catalogue paradoxical, Reponse de M. Gonseth a M. Winants, ibid., p. 269--271",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@book{frege1893,
+    author = "Фреге",
+    nameaddon = "(Frege Gottlob)",
+    title = "{Grundgesetze der Arithmetik, begriff schriftlich abgeleitet}",
+    volume = "1",
+    pagetotal = "XXXII+254 p.",
+    year = "1893",
+    location = "Jena",
+    publisher = "H. Pohle",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@book{frege1903,
+    author = "Фреге",
+    nameaddon = "(Frege Gottlob)",
+    title = "{Grundgesetze der Arithmetik, begriff schriftlich abgeleitet}",
+    volume = "2",
+    pagetotal = "XV+265 p.",
+    year = "1903",
+    location = "Jena",
+    publisher = "H. Pohle",
+    addendum = "Английский перевод \textsection\textsection~86--137 Блэка (Max Black) под заголовком Frege against the formalists опубликован в The philosophical review, 59 (1950), 77--93, 202--219, 332--345.",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+%% TODO: подумать над ibid
+%% исправлена опечатка
+%% в оригинале "begriffsschriftlich"
+%%
+@article{hilbert1926,
+    author = "Гильберт",
+    nameaddon = "(Hilbert David)",
+    title = "{{\"U}ber das Unendliche}",
+    journal = "Math. Ann.",
+    number = "95",
+    pages = "161-190",
+    year = "1926",
+    addendum = "Перепечатка в сокращённом виде в Jahresb. Deutschen Math. Verein., 36 (1927), 201--215, а также с некоторыми изменениями в Grundlagen der Geometrie, 7-ое изд., 1930, p. 262--288 (стр. 338--364 русского перевода).",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@article{richard1905,
+    author = "Ришар",
+    nameaddon = "(Richard Jules)",
+    title = "{Les principes des math{\'e}matiques et le probleme des ensembles}",
+    journal = "Revue g{\'e}n{\'e}rale des sciences pures et appliqu{\'e}es",
+    number = "16",
+    pages = "541-543",
+    year = "1905",
+    addendum = "Также в Acta mathematica, 30 (1906), 295--296.",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@article{dixon1906,
+    author = "Диксон",
+    nameaddon = "(Dixon A. C.)",
+    title = "{On <<well-ordered>> aggregates}",
+    journal = "Proceedings of the London Mathematical Society",
+    series="2",
+    number = "4",
+    pages = "18-20",
+    year = "1906",
+    addendum = "Ср. ibid., p.317--319",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+%% TODO: подумать над ibid
+@article{russel1906,
+    author = "Рассел",
+    nameaddon = "(Russell Bertrand) (Russel B. A. W.)",
+    title = "{Les paradoxes de la logique}",
+    journal = "Revue de m{\'e}taphysique et de morale",
+    number = "14",
+    pages = "627-650",
+    year = "1906",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@article{berry1906,
+    author = "Берри",
+    nameaddon = "(Berry G. G.)",
+    year = "1906",
+    addendum = "См. Рассел~\cite[стр. 645]{russel1906}.",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@book{weyl1949,
+    author = "Вейль",
+    nameaddon = "(Weyl Hermann)",
+    title = "{Phylosophy of mathematics and natural science}",
+    pagetotal = "X+311 p.",
+    year = "1949",
+    location = "Princeton, N. J.",
+    publisher = "Princeton University Press",
+    addendum = "Переработанное и дополненное английское издание на основе перевода Хельмера (Olaf Helmer) с немецкого оригинала \lbrack1927\rbrack.",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@book{rustow1910,
+    author = "Рюстов",
+    nameaddon = "(R{\"u}stow Alexander)",
+    title = "{Der L{\"u}gner: Theorie, Geschichte und Aufl{\"o}sung}",
+    pagetotal = "V+147 p.",
+    year = "1910",
+    location = "Leipzig",
+    publisher = "Teubner",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+%% исправлена опечатка
+%% в оригинале в названии запятая вместо двоеточия
+%%
+@book{prandtl1855,
+    author = "Прандтль",
+    nameaddon = "(Prandtl Carl)",
+    title = "{Geschichte der Logik im Abendlante}",
+    volume = "1",
+    pagetotal = "XII+734 p.",
+    year = "1855",
+    location = "Leipzig",
+    publisher = "S. Hirzel",
+    addendum = "(Остальные тома 1861, 1867, 1870.) Перепечатка, 1927.",
+    keywords = {mainBibliography}
 }

definitions.tex

@@ -151,6 +151,18 @@
 \newcommand{\OLepsilon}{\olNt{\mathbf{e}}{\boldsymbol{\varepsilon}}}%  инфимум
 \newcommand{\OLlambda}[2]%                           лямбда-исчисление
     {\olNt{\mathrm{\uplambda} #1\;\,#2}{\mathrm{\uplambda} #1\,.\, #2}}
+%% TODO: стоит рассмотреть введение отдельного знака порядка \prec
+%% начиная с разд.6
+\newcommand{\OLprec}{\olNt{<}{\prec}}%               порядок
+\newcommand{\OLpreceq}{\olNt{\leqslant}{\preccurlyeq}}%
+\newcommand{\OLsucc}{\olNt{>}{\succ}}%
+\newcommand{\OLsucceq}{\olNt{\geqslant}{\succcurlyeq}}%
+\newcommand{\OLprecB}{\olNt{\boldsymbol{<}}{\boldsymbol{\prec}}}% порядок R
+\newcommand{\OLpreceqB}%
+    {\olNt{\boldsymbol{\leqslant}}{\boldsymbol{\preccurlyeq}}}%
+\newcommand{\OLsuccB}{\olNt{\boldsymbol{>}}{\boldsymbol{\succ}}}%
+\newcommand{\OLsucceqB}%
+    {\olNt{\boldsymbol{\geqslant}}{\boldsymbol{\succcurlyeq}}}%
 
 %
 % устаревшее обозначение кардинального числа (мощности множества)

parts/intros.tex

@@ -27,12 +27,12 @@
 благодаря оригинальности изложения и обилию тонких замечаний, но и потому, что
 она может служить удобным библиографическим источником.
 
-Часть~\ref{part:recursive_functions} этой монографии может в основном читаться
-независимо от остальных частей и служить руководством для изучения теории
-рекурсивных функций, более сжатым и потому более трудным, чем выпущенная недавно
-Издательством иностранной литературы книга Р.~Петер <<Рекурсивные функции>>,
-(1951~г.). Третья часть книги Клини содержит более полное изложение теории
-обще-рекурсивных функций и вовсе отсутствующую у Петер теорию
+Часть~\ref{part:III-recursive_functions} этой монографии может в основном
+читаться независимо от остальных частей и служить руководством для изучения
+теории рекурсивных функций, более сжатым и потому более трудным, чем выпущенная
+недавно Издательством иностранной литературы книга Р.~Петер <<Рекурсивные
+функции>>, (1951~г.). Третья часть книги Клини содержит более полное изложение
+теории обще-рекурсивных функций и вовсе отсутствующую у Петер теорию
 частично-рекурсивных функций, но зато монография Петер богаче материалом,
 связанным с примитивными рекурсиями).
 
@@ -61,7 +61,7 @@
 
 Выражаем благодарность также А.~А.~Курмитису~(Рига), указавшему на одну
 неточность, допущенную автором (в замечании~1%TODO: восстановить линк
-~\textsection~\ref{sec:equivalences_duality}).
+~\textsection~\ref{sec:27-equivalences_duality}).
 
 Ряд мелких исправлений внесён нами без специальных оговорок.
 
@@ -70,10 +70,10 @@
 этот последний знак, если он не является знаком отрицания или запятой.
 
 Обращаем особое внимание читателя на различие между двумя шрифтами --- курсив и
-плантин, которое начинает появляться в~\ref{chap:a_formal_system} главе, и
+плантин, которое начинает появляться в~\ref{chap:iv-a_formal_system} главе, и
 особенно начиная с
-\textsection~\ref{sec:the_further_development_of_number_theory}%
-~гл.~\ref{chap:formal_number_theory}.\\*
+\textsection~\ref{sec:40-the_further_development_of_number_theory}%
+~гл.~\ref{chap:viii-formal_number_theory}.\\*
 {\setlength{\tabcolsep}{0cm}
 \begin{tabular}{lllllllllllllllllllll}
 Курсив\hspace*{1.5em}&%
@@ -117,7 +117,7 @@ $x$,\hspace*{.25em}&$y$,\hspace*{.25em}&$z$\\
 вообще.
 
 Пришлось произвести некоторый отбор. В основном это было сделано с тем, чтобы
-сосредоточиться после части~\ref{part:the_problem_of_foundations} на
+сосредоточиться после части~\ref{part:I-the_problem_of_foundations} на
 метаматематическом исследовании элементарной арифметики с необходимым материалом
 из математической логики, оставив в стороне исчисление предикатов высших
 ступеней, анализ, теорию типов и теорию множеств. Этот отбор был сделан потому,
@@ -134,24 +134,25 @@ students in mathematics. --- \textit{Прим. перев.}} (и старше)
 
 При использовании книги в качестве учебника рекомендуется быстро (в течение двух
 или трёх недель при аудиторных занятиях по три раза в неделю) пройти
-часть~\ref{part:the_problem_of_foundations}
-(главы~\ref{chap:the_theory_of_sets}--%
-\ref{chap:a_critique_of_mathematical_reasons}), которая содержит необходимый
+часть~\ref{part:I-the_problem_of_foundations}
+(главы~\ref{chap:i-the_theory_of_sets}--%
+\ref{chap:iii-a_critique_of_mathematical_reasons}), которая содержит необходимый
 подготовительный материал. Интенсивное изучение должно начаться с
-части~\ref{part:mathematical_logic} (глава~\ref{chap:a_formal_system}), где
+части~\ref{part:II-mathematical_logic} (глава~\ref{chap:iv-a_formal_system}),
+где
 %% ======================= Страница 8 =======================
 существенно, чтобы изучающий сосредоточился на приобретении прочного навыка в
 обращении с метаматематическим методом.
 
 Параграфы, отмеченные звёздочкой, могут быть при первом чтении опущены или
 рассмотрены бегло. К изучению некоторых из них придётся в дальнейшем вернуться
-(например, \textsection~\ref{sec:set-theoretic_predicate_logic_k_transforms}
+(например, \textsection~\ref{sec:37-set-theoretic_predicate_logic_k_transforms}
 нужно изучить перед чтением
-\textsection~\ref{sec:goedel_s_completeness_theorem}).
+\textsection~\ref{sec:72-goedel_s_completeness_theorem}).
 
 Обе знаменитые теоремы Гёделя о неполноте изложены в
-главе~\ref{chap:formal_number_theory}, причём доказательство одной леммы
-отложено до главы~\ref{chap:the_arithmetization_of_metamathemathics}. Автору
+главе~\ref{chap:viii-formal_number_theory}, причём доказательство одной леммы
+отложено до главы~\ref{chap:x-the_arithmetization_of_metamathemathics}. Автору
 удавалось закончить эти десять глав (а иногда даже несколько больше) в течение
 семестрового курса, который он неоднократно читал в Висконсинском университете.
 
@@ -160,12 +161,14 @@ students in mathematics. --- \textit{Прим. перев.}} (и старше)
 
 Семестровый курс по рекурсивным функциям при наличии у студентов некоторого
 предварительного знакомства с математической логикой или под руководством
-осведомлённого преподавателя можно начать с части~\ref{part:recursive_functions}
-(глава~\ref{chap:primitive_recursive_functions}). Имеются и другие возможности
-выбора материала; например, тем, кто интересуется преимущественно математической
-логикой, многое из части~\ref{part:mathematical_logic_additional_topics} можно
-читать непосредственно за частью~\ref{part:mathematical_logic} или даже за
-главой~\ref{chap:the_predicate_calculus}.
+осведомлённого преподавателя можно начать с
+части~\ref{part:III-recursive_functions}
+(глава~\ref{chap:ix-primitive_recursive_functions}). Имеются и другие
+возможности выбора материала; например, тем, кто интересуется преимущественно
+математической логикой, многое из
+части~\ref{part:IV-mathematical_logic_additional_topics} можно
+читать непосредственно за частью~\ref{part:II-mathematical_logic} или даже за
+главой~\ref{chap:vii-the_predicate_calculus}.
 
 Автор благодарен Сондерсу Маклэйну, склонившему его к написанию этой книги и
 сделавшему ценные критические замечания в связи с первыми черновиками некоторых
@@ -173,7 +176,8 @@ students in mathematics. --- \textit{Прим. перев.}} (и старше)
 независимо от автора. Среди многих других, оказавших помощь, были Эверт Бет,
 Роберт Бройш, Аренд Гейтинг, Нэнси Клини, Леонард Линский, Дэвид Нельсон, Джеймс
 Ренно и Джин Роуз. Научные заимствования отмечены ссылками на библиографию;
-особенно много использована книга Гильберта и Бернайса <<Grundlagen der Mathematik>> в двух томах, 1934 и 1939~гг.
+особенно много использована книга Гильберта и Бернайса <<Grundlagen der
+Mathematik>> в двух томах, 1934~и~1939~гг.
 \bigskip
 
 {\small\noindent Июль~1952~г.}\hfill\textit{С.~К.~Клини.}

parts/part1-the_problems_of_foundations.tex

@@ -1,11 +1,11 @@
 \part{Проблемы оснований математики}
-\label{part:the_problem_of_foundations}
+\label{part:I-the_problem_of_foundations}
 %% ======================= Страница 11 =======================
 \chapter{Теория множеств}
-\label{chap:the_theory_of_sets}
+\label{chap:i-the_theory_of_sets}
 
 \section{Счётные множества}
-\label{sec:enumerable_sets}
+\label{sec:1-enumerable_sets}
 
 Прежде чем приступить к нашему основному предмету, полезно бегло рассмотреть
 канторовскую теорию множеств.
@@ -173,7 +173,7 @@ a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=0\;\;\; (a_{0}\neq 0)
 этих чисел.
 
 \section{Канторовский диагональный метод}
-\label{sec:cantor_s_diagonal_method}
+\label{sec:2-cantor_s_diagonal_method}
 
 Посредством знаменитого ,,диагонального метода`` Кантора было доказано, что в
 математике рассматриваются и такие бесконечные множества, которые не могут быть
@@ -325,11 +325,11 @@ $1$ и $4$, начинается с ${01001\ldots}$. Эти последоват
 Могут ли эти несчётные множества быть поставлены друг с другом в
 \isom-соответствие и нет ли ещё и других типов бесконечных множеств?
 Рекомендуем читателю попытаться самостоятельно ответить на эти вопросы
-(ответы даны в \textsection~\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}). Рассмотрим
-теперь теорию Кантора в её общем виде.
+(ответы даны в \textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}).
+Рассмотрим теперь теорию Кантора в её общем виде.
 
 \section{Кардинальное число}
-\label{sec:cardinal_number}
+\label{sec:3-cardinal_number}
 
 Канторовская теория ,,абстрактных множеств`` имеет дело с множествами вообще.
 (Кантор построил также теорию ,,точечных множеств``.) Введённые им термины
@@ -363,7 +363,7 @@ ${a\OLnotin M}$~\footnote{В зарубежной литературе (в то
 только тогда, когда ${a\in N}$.
 
 Два множества $M$ и $N$ мы называем \emph{эквивалентными} (и пишем ${M\sim N}$),
-если существует \isom-соответствие (\textsection~\ref{sec:enumerable_sets})
+если существует \isom-соответствие (\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets})
 между ними. (Иногда мы будем писать ,,соответствие  ${M\sim N}$`` для
 обозначения некоторого индивидуального \isom-соответствия между $M$ и $N$,
 которое должно существовать, если ${M\sim N}$.)
@@ -507,20 +507,20 @@ $\OLcard{N}$ три отношения ${\OLcard{M}<\OLcard{N}}$, ${\OLcard{M}=\
 более чем одно из них может иметь место.
 
 Только после значительного продвижения в рассматриваемой теории (см. ссылки в
-\textsection~\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}) можно выяснить, являются ли
-эти три отношения ,,исчерпывающими``, другими словами, должно ли иметь место
+\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}) можно выяснить, являются
+ли эти три отношения ,,исчерпывающими``, другими словами, должно ли иметь место
 хотя бы одно из них. Ситуация отчасти прояснится в результате следующей теоремы,
 после которой останется только вопрос, может ли встретиться
 случай~\ref{case:p3-3}.
 %% ======================= Страница 18 =======================
 
 \section{Теорема эквивалентности, конечные и бесконечные множества}
-\label{sec:the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}
+\label{sec:4-the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Теорема A.}{theorem:A}{A}
 \emph{Если} ${M\sim N_{1}\subseteq N}$ и ${N\sim M_{1}\subseteq M}$‚ \emph{то}
 ${M\sim N}$. Другими словами, \emph{в
-случае}~\ref{case:p3-2}~\textsection~\ref{sec:cardinal_number}
+случае}~\ref{case:p3-2}~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}
 \emph{обязательно} ${\OLcard{M}=\OLcard{N}}$. (Бернштейн~\cite{bernstein1898}.)
 \end{SCEnvWLabel}
 
@@ -629,7 +629,7 @@ $0$,~$1$,~$2$,~$\ldots$,~$n$,~${n+1}$,~$\ldots$ как последовател
 называть \emph{конечными кардинальными числами}, а множества с этими
 кардинальными числами --- \emph{конечными множествами}. Следующие два
 предложения будут доказаны в примере%
-~\ref{exmpl:p7-1}~\textsection~\ref{sec:mathematical_induction}
+~\ref{exmpl:p7-1}~\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction}
 
 {\everypar{(1) }\itemlabel{prop:p4-1}{(1)} \emph{Для каждого натурального числа}
 $n$ \emph{конечное кардинальное число} $n$ \emph{служит кардинальным числом для
@@ -644,7 +644,7 @@ ${M_{1}=M}$. Иначе говоря, \emph{конечное множество
 
 Из этих двух предложений нетрудно усмотреть, что отношение равенства ${m=n}$ и
 отношение порядка ${m<n}$, установленные для конечных кардинальных чисел
-определениями~\textsection~\ref{sec:cardinal_number}, согласуются с обычными
+определениями~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}, согласуются с обычными
 отношениями равенства и порядка для натуральных чисел (в частности, ${n<n+1}$
 для конечных кардинальных чисел). Итак, не возникнет никакой путаницы, если мы
 отождествим натуральные числа с конечными кардинальными числами.
@@ -653,7 +653,7 @@ ${M_{1}=M}$. Иначе говоря, \emph{конечное множество
 кардинальное число --- \emph{бесконечным} или \emph{трансфинитным кардинальным
 числом}. Кардинальное число множества всех натуральных чисел, а следовательно, и
 каждого счётно\nobreakdash-бесконечного
-множества~(\textsection~\ref{sec:enumerable_sets}) мы будем называть
+множества~(\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets}) мы будем называть
 $\alephZero$ (читается <<алеф-нуль>>).
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Следствие B.}{theorem:A-corollary-B}{B}
@@ -745,7 +745,7 @@ P\OLcup\{ a_{0}, b_{0}, a_{1}, b_{1}, \ldots \}\text{.}
 %% ======================= Страница 21 =======================
 
 \section{Высшие трансфинитные числа}
-\label{sec:higher_transfinite_cardinals}
+\label{sec:5-higher_transfinite_cardinals}
 
 %
 % для следующах двух абзацев рассмотреть возможность добавления ссылок
@@ -759,7 +759,7 @@ P\OLcup\{ a_{0}, b_{0}, a_{1}, b_{1}, \ldots \}\text{.}
 %
 Первая из теорем этого параграфа является общей формулировкой той ситуации, с
 которой мы встретились в последнем
-примере~\textsection~\ref{sec:cantor_s_diagonal_method}. Для читателя будет
+примере~\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method}. Для читателя будет
 полезно, если он попробует самостоятельно рассмотреть эту теорему или её лемму
 для случая, когда $M$ --- небольшое конечное множество. Вторая теорема является
 обобщением той ситуации, с которой мы столкнулись в
@@ -872,8 +872,8 @@ ${\OLunion{\setOfSets{M}}}$. Множество предметов, каждый
 \emph{общей частью} множеств, принадлежащих $\setOfSets{M}$, и обозначается
 посредством ${\OLintersec{\setOfSets{M}}}$\olNt{ (<<$\mathfrak{D}$>> от
 немецкого <<Durchschnitt>>~\footnote{Пересечение.~---~\textit{Прим.~ред.}})}{}.
-Эти понятия совпадают с введёнными в~\textsection~\ref{sec:cardinal_number}, за
-исключением того, что теперь они выражены в виде операций над множеством
+Эти понятия совпадают с введёнными в~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number},
+за исключением того, что теперь они выражены в виде операций над множеством
 $\setOfSets{M}$ множеств $M$, которые складываются или перемножаются. Например,
 ${M\OLcup N=\OLunion{\{ M, N\}}}$, ${M\OLcap N=\OLintersec{\{ M, N\}}}$.
 
@@ -911,7 +911,7 @@ $\alephZero$,~$2^{\alephZero}$,~$2^{2^{\alephZero}}$,~$\ldots$, является
 кардинальных чисел>>, которая утверждает, что возможности
 ${\OLcard{M}<\OLcard{N}}$, ${\OLcard{M}=\OLcard{N}}$ и
 ${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
-являются исчерпывающими (конец~\textsection~\ref{sec:cardinal_number}),
+являются исчерпывающими (конец~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}),
 оказывается следствием из
 %% ======================= Страница 23 =======================
 ,,теоремы о полном упорядочении`` Цермело~\cite{zermelo1904} (см., например,
@@ -931,14 +931,14 @@ ${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
 Во\nobreakdash-вторых, в этой теории, если её проследить достаточно далеко,
 обнаруживаются логические трудности, которые явятся отправной точкой нашего
 основного исследования. Это будет обнаружено в
-гл.~\ref{chap:a_critique_of_mathematical_reasons}.
+гл.~\ref{chap:iii-a_critique_of_mathematical_reasons}.
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Примеры.}{exmpls:p5}{p5-examples}
 \begin{SCEnvWLabel}{Множества с кардинальным числом $2^{\alephZero}$.}%
 {exmpl:p5-1}{example-p5-1}
 Это --- кардинальное число, приписанное множеству всех подмножеств множества
 всех натуральных чисел, которое мы описали
-в~\textsection~\ref{sec:cantor_s_diagonal_method} как множество всех
+в~\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method} как множество всех
 \emph{множеств натуральных чисел}. Там мы представили элементы этого множества
 \emph{бесконечными последовательностями из нулей и единиц}. Эти нули и единицы
 можно рассматривать как цифры в двоичной (или диадической) системе счисления,
@@ -998,7 +998,7 @@ $n$\emph{\nobreakdash-ки действительных чисел} или \emph
 натурального $n$ и даже \emph{бесконечные последовательности действительных
 чисел} или \emph{точки действительного эвклидова}
 $\alephZero$\emph{\nobreakdash-мерного пространства}. Этот последний пример
-можно рассмотреть с помощью метода~\textsection~\ref{sec:enumerable_sets},
+можно рассмотреть с помощью метода~\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets},
 посредством которого $\alephZero$ последовательностей нулей и единиц
 \begin{equation*}
   \xymatrix@!@=1.6666667ex{
@@ -1058,10 +1058,10 @@ $2^{\alephZero}$\emph{\nobreakdash-мерного пространства}.
 %% ======================= Страница 25 =======================
 
 \chapter{Некоторые основные концепции}
-\label{chap:some_fundamental_concepts}
+\label{chap:ii-some_fundamental_concepts}
 
 \section{Натуральные числа}
-\label{sec:the_natural_numbers}
+\label{sec:6-the_natural_numbers}
 
 Цель этой главы --- сопоставить (отчасти для ссылок, отчасти для более
 внимательного рассмотрения) некоторые идеи и методы математики.
@@ -1159,7 +1159,7 @@ $n$, ${0''''=0''}$ возможно только при ${0'''=0'}$. Опять
 были выбраны Пеано~\cite{peano1889,peano1891} в качестве аксиом, характеризующих
 натуральный ряд чисел. Пеано вместо предложения~\ref{list:p6-l1-i3}
 сформулировал принцип математической индукции
-(\textsection~\ref{sec:mathematical_induction}) и поместил его в списке на пятом
+(\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction}) и поместил его в списке на пятом
 месте, сдвинув предложения \ref{list:p6-l1-i4} и \ref{list:p6-l1-i5}
 соответственно на третье и четвёртое места.
 
@@ -1177,7 +1177,7 @@ $n$, ${0''''=0''}$ возможно только при ${0'''=0'}$. Опять
 Разумеется, имея дело с предложениями типа <<некоторое уравнение имеет два
 корня>>, мы продолжаем пользоваться тем, что натуральные числа суть кардинальные
 числа конечных множеств
-(\textsection~\ref{sec:the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
+(\textsection~\ref{sec:4-the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Порядок}{order:p6}{order:p6}
 Согласно индуктивному определению натуральных чисел, они порождаются в некотором
@@ -1200,7 +1200,7 @@ $m'$.
 %% ======================= Страница 27 =======================
 
 \section{Математическая индукция}
-\label{sec:mathematical_induction}
+\label{sec:7-mathematical_induction}
 
 Пусть $P$ --- некоторое свойство натуральных чисел. Допустим, что:
 
@@ -1221,7 +1221,7 @@ $m'$.
 Обоснование этого принципа индукции является почти непосредственным, если
 натуральные числа рассматриваются как объекты, порождённые согласно индуктивному
 определению~\ref{list:p6-l1-i1}--\ref{list:p6-l1-i3}~%
-\textsection~\ref{sec:the_natural_numbers}. Предположим, что имеется свойство
+\textsection~\ref{sec:6-the_natural_numbers}. Предположим, что имеется свойство
 $P$, для которого справедливы
 свойства~\ref{list:p7-l1-i1-1}~и~\ref{list:p7-l1-i2-2}. Должно ли тогда каждое
 натуральное число $n$ обладать свойством $P$? Мы рассматриваем положительный
@@ -1281,11 +1281,11 @@ $P(1)$.
 при строгом доказательстве зависят от индукции, а в других случаях индукционный
 шаг настолько прост, что от него отделываются словами <<и так далее>> или
 чем-нибудь в этом роде (например, теоремы~\ref{theorem:A}~и~\ref{theorem:B}
-из~\textsection~\ref{sec:the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
+из~\textsection~\ref{sec:4-the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Пример 1.}{exmpl:p7-1}{1}
 Докажем предложения~\ref{prop:p4-1}~и~\ref{prop:p4-2}~%
-из~\textsection~\ref{sec:the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}
+из~\textsection~\ref{sec:4-the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}
 при помощи индукции по $n$. Сделаем это для~\ref{prop:p4-2},
 предоставляя~\ref{prop:p4-1} читателю. Индукционное предложение таково:
 \emph{Для любых множеств} $M$ \emph{и} $M_{1}$ \emph{из} ${\OLcard{M}=n}$
@@ -1430,17 +1430,18 @@ ${b\in N\OLcup\left\{ a\right\}}$)‚ ${M_{1}=N\OLcup\left\{ a\right\}}$.
 уже введены при собственном спаривании всего множества.
 
 \section{Системы объектов}
-\label{sec:system_of_objects}
+\label{sec:8-system_of_objects}
 
 Под системой $S$ объектов мы будем иметь в виду (непустое) множество класс, или
 область $D$ (или, может быть‚ несколько таких множеств) объектов‚ между которыми
 установлены некоторые соотношения.
 
-Например, натуральный ряд (\textsection~\ref{sec:the_natural_numbers}) образует
-систему типа ${(D, 0, \vphantom{s}')}$‚ где $D$~---~множество, $0$~---~элемент
-множества $D$, а $'$~---~унарная операция над элементами множества $D$. Другой
-простой тип системы --- это ${(D, <)}$‚ где $D$~---~множество,  а 
-$<$~---~бинарное отношение между элементами этого множества.
+Например, натуральный ряд (\textsection~\ref{sec:6-the_natural_numbers})
+образует систему типа ${(D, 0, \vphantom{s}')}$‚ где $D$~---~множество,
+$0$~---~элемент множества $D$, а $'$~---~унарная операция над элементами
+множества $D$. Другой простой тип системы --- это ${(D, \OLprec)}$‚ где
+$D$~---~множество,  а $\OLprec$~---~бинарное отношение между элементами этого
+множества.
 %% ======================= Страница 30 =======================
 
 Если об объектах системы мы ничего не знаем, кроме соотношений, имеющихся между
@@ -1475,11 +1476,11 @@ ${(D, 0, \vphantom{s}')}$ просто изоморфны, если сущест
 соответствует $0_{2}$ (что обозначается через ${0_{1}\leftrightarrow 0_{2}}$), и
 если ${m_{1}\leftrightarrow m_{2}}$‚ то
 ${m_{1}\vphantom{s}'\vphantom{s}_{1}\leftrightarrow
- m_{2}\vphantom{s}'\vphantom{s}_{2}}$. Две системы ${(D_{1}, <_{1})}$ и
-${(D_{2}, <_{2})}$ типа ${(D, <)}$ изоморфны, если существует
+ m_{2}\vphantom{s}'\vphantom{s}_{2}}$. Две системы ${(D_{1}, \OLprec_{1})}$ и
+${(D_{2}, \OLprec_{2})}$ типа ${(D, \OLprec)}$ изоморфны, если существует
 \isom-соответствие между $D_{1}$ и $D_{2}$, при котором, если
 ${m_{1}\leftrightarrow m_{2}}$ и ${n_{1}\leftrightarrow n_{2}}$, то
-${m_{1}<_{1}n_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${m_{2}<_{2}n_{2}}$.
+${m_{1}\OLprec_{1}n_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${m_{2}\OLprec_{2}n_{2}}$.
 
 Обратно, любые две изоморфные системы служат представлениями одной и той же
 абстрактной системы, которая получается путём абстрагирования от любой из них,
@@ -1511,7 +1512,7 @@ ${m_{1}<_{1}n_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${m_{2}<_{
 следующим за каким-либо элементом другой последовательности.
 
 Каждый из этих трёх примеров можно очевидным образом изменить так, что получится
-система типа ${(D, <)}$. В третьем примере мы при этом будем рассматривать
+система типа ${(D, \OLprec)}$. В третьем примере мы при этом будем рассматривать
 элементы в порядке, показанном в строке~\eqref{eq:p8-1}, и называть их
 \emph{ординальными числами}, \emph{м{\'e}ньшими чем} $2\omega$ (из канторовской
 теории ординальных чисел).}
@@ -1522,24 +1523,24 @@ ${m_{1}<_{1}n_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${m_{2}<_{
 системами невозможно установить \isom-соответствия. Система ординальных чисел,
 меньших $2\omega$, не изоморфна натуральному ряду, потому что при установлении
 \isom-соответствия невозможно сохранить операцию ,,следующий за`` $'$ (или
-отношение порядка $<$).
+отношение порядка $\OLprec$).
 
 В этом параграфе мы будем употреблять <<$S$>> для обозначения системы и <<$D$>>
 для обозначения её множества объектов, в случае когда система имеет одно такое
 множество. Часто можно, не боясь путаницы, упростить обозначения, пользуясь
 одной буквой в обеих целях. Например, это можно сделать, если понимать
 натуральный ряд $\OLNaturalNumSet$ как выше. Этого нельзя сделать, если речь
-идёт о системе ${(\OLNaturalNumSet, <)}$, состоящей из натурального ряда чисел,
-причём чётные (нечётные) числа упорядочены, как обычно, и все чётные числа
-предшествуют всем нечётным. (Эта система служит представлением для ординальных
-чисел, меньших $2\omega$.)
+идёт о системе ${(\OLNaturalNumSet, \OLprec)}$, состоящей из натурального ряда
+чисел, причём чётные (нечётные) числа упорядочены, как обычно, и все чётные
+числа предшествуют всем нечётным. (Эта система служит представлением для
+ординальных чисел, меньших $2\omega$.)
 
 При введении в математику систем объектов можно исходить из двух противоположных
 методов, или точек зрения (см. Гильберт~\cite{hilbert1900}).
 
 \emph{Генетический}, или \emph{конструктивный}, метод иллюстрируется
 индуктивным определением натуральных
-чисел~(\textsection~\ref{sec:the_natural_numbers}). В этой связи натуральные
+чисел~(\textsection~\ref{sec:6-the_natural_numbers}). В этой связи натуральные
 числа рассматриваются как порождаемые (generated), или конструируемые в
 некотором определённом порядке. (Этим не исключается их абстрактное
 рассмотрение.)
@@ -1659,8 +1660,8 @@ $'$ называются \emph{первоначальными}, или \emph{т
 указано только, что $D$~---~множество, $0$~---~предмет, принадлежащий $D$,
 $'$~--- операция над элементом $D$; иначе говоря, заранее должны быть определены
 только грамматические категории, к которым принадлежат <<$D$>>, <<$0$>> и
-<<$'$>>. Аналогично для системы вида ${(D, <)}$ неопределяемыми понятиями
-являются или $<$, или $D$ и $<$.
+<<$'$>>. Аналогично для системы вида ${(D, \OLprec)}$ неопределяемыми понятиями
+являются или $\OLprec$, или $D$ и $\OLprec$.
 %%
 %% исправлен типографский брак:
 %% в оригинале последний символ "<" в предыдущем абзаце не пропечатан
@@ -1681,33 +1682,34 @@ $'$~--- операция над элементом $D$; иначе говоря,
 различных систем. Знаменитым примером является ,,теория групп`` из алгебры.
 
 В качестве другого примера рассмотрим следующие аксиомы
-\emph{линейного порядка}, которые применяются к системам типа ${(D, <)}$:
+\emph{линейного порядка}, которые применяются к системам типа ${(D, \OLprec)}$:
 
-L1.\itemlabel{axiom:p8-l1}{L1}~Если ${m<n}$ и ${n<p}$‚ то ${m<p}$.
+L1.\itemlabel{axiom:p8-l1}{L1}~Если ${m\OLprec n}$ и ${n\OLprec p}$‚ то
+${m\OLprec p}$.
 L2.\itemlabel{axiom:p8-l2}{L2}~Имеет место не более чем одно из соотношений
-${m<n}$, ${m=n}$‚ ${m>n}$.
+${m\OLprec n}$, ${m=n}$‚ ${m\OLsucc n}$.
 L3.\itemlabel{axiom:p8-l3}{L3}~Имеет место по крайней мере одно из соотношений
-${m<n}$, ${m=n}$‚ ${m>n}$.
+${m\OLprec n}$, ${m=n}$‚ ${m\OLsucc n}$.
 
-Здесь ${m>n}$ означает ${n<m}$. Переменные $m$, $n$, $p$ относятся к
-произвольным элементам области $D$. Эти аксиомы выполняются, если в качестве $D$
-взять натуральный ряд, или множество ординальных чисел, меньших $2\omega$, или
-множество целых, или рациональных, или действительных чисел, а в качестве
-$<$~---~обычное отношение порядка для каждой из этих областей, а также для
+Здесь ${m\OLsucc n}$ означает ${n\OLprec m}$. Переменные $m$, $n$, $p$ относятся
+к произвольным элементам области $D$. Эти аксиомы выполняются, если в качестве
+$D$ взять натуральный ряд, или множество ординальных чисел, меньших $2\omega$,
+или множество целых, или рациональных, или действительных чисел, а в качестве
+$\OLprec$~---~обычное отношение порядка для каждой из этих областей, а также для
 многих других систем. Опуская~\ref{axiom:p8-l3}, получаем множество аксиом
 \emph{частичного порядка}.
 
 \section{Арифметика и анализ}
-\label{sec:number_theory_vs_analysis}
+\label{sec:9-number_theory_vs_analysis}
 
 \emph{Арифметику}, или \emph{теорию чисел}, можно рассматривать как отрасль
 математики, в которой изучаются натуральные числа и другие (категорически
 определённые) счётные системы объектов, например целые или рациональные числа.
 Всякую конкретную систему такого рода (или соответствующую этой системе теорию)
 можно называть \emph{арифметикой} (an arithmetic). Рассмотрение обычно
-происходит абстрактно (\textsection~\ref{sec:system_of_objects}). Объекты обычно
-рассматриваются как \emph{индивидуумы} (т.~е. без анализа их построения из
-других объектов), исключая некоторые случаи (например, основные свойства
+происходит абстрактно (\textsection~\ref{sec:8-system_of_objects}). Объекты
+обычно рассматриваются как \emph{индивидуумы} (т.~е. без анализа их построения
+из других объектов), исключая некоторые случаи (например, основные свойства
 неотрицательных рациональных чисел изучаются при помощи представления их в виде
 упорядоченных пар натуральных чисел).
 
@@ -1762,15 +1764,15 @@ $\alephZero$ (а иногда конечные), \emph{анализ} имеет
 быть дано несколькими способами. Все они приводят к одной и той же абстрактной
 структуре континуума действительных чисел. Другими словами, то, что даёт каждое
 из этих определений, является
-представлением~(\textsection~\ref{sec:system_of_objects}) действительных чисел
+представлением~(\textsection~\ref{sec:8-system_of_objects}) действительных чисел
 посредством объектов, построенных (прямо или косвенно) из натуральных чисел.
 
 Мы уже пользовались представлениями действительных чисел посредством бесконечных
 десятичных или двоичных
-дробей~(\textsection~\ref{sec:cantor_s_diagonal_method},~%
-\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}). В принципе можно пользоваться любым
+дробей~(\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method},~%
+\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}). В принципе можно пользоваться любым
 множеством, эквивалентность которого множеству таких дробей
-доказана~(см.~\textsection~\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}), например
+доказана~(см.~\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}), например
 множеством всех множеств натуральных чисел. Но на практике выбирают такие
 представления, которые упрощают определения свойств действительных чисел.
 
@@ -1820,7 +1822,7 @@ ${\OLRealNumSet\OLsetminus\mathbf{x}}$ имеет наименьший элем
 
 Рациональные числа среди действительных образуют подсистему
 $\setOfSets{C}_{\OLRealNumSet}$ системы $\setOfSets{C}$,
-изоморфную~(\textsection~\ref{sec:system_of_objects}) первоначальной системе
+изоморфную~(\textsection~\ref{sec:8-system_of_objects}) первоначальной системе
 $\OLRealNumSet$ рациональных чисел; это подтверждается каждый раз, когда с
 помощью описанного представления для действительных чисел определяется некоторое
 понятие, которое первоначально было определено для чисел рациональных.
@@ -1838,15 +1840,15 @@ ${\OLRealNumSet\OLsetminus\boldsymbol{\sqrt{2}}}$ состоит из полож
 \end{SCEnvWLabel}
 
 Отношение порядка для действительных чисел определяется таким образом:
-${\mathbf{x}\boldsymbol{<}\mathbf{y}}$, если существует рациональное число $r$,
+${\mathbf{x}\OLprecB\mathbf{y}}$, если существует рациональное число $r$,
 которое входит в $\mathbf{y}$, но не в $\mathbf{x}$. (Теперь докажите, что
-$\setOfSets{C}$ линейно упорядочено посредством отношения $\boldsymbol{<}$ и что
-система ${(\setOfSets{C}_{\OLRealNumSet}, \boldsymbol{<})}$ изоморфна системе
+$\setOfSets{C}$ линейно упорядочено посредством отношения $\OLprecB$ и что
+система ${(\setOfSets{C}_{\OLRealNumSet}, \OLprecB)}$ изоморфна системе
 ${(\OLRealNumSet, <)}$.)
 
 Действительное число $\mathbf{v}$ называется \emph{верхней гранью} множества
 $\setOfSets{M}$ действительных чисел, если
-${\mathbf{v}\boldsymbol{\geqslant}\mathbf{x}}$ для каждого действительного числа
+${\mathbf{v}\OLsucceqB\mathbf{x}}$ для каждого действительного числа
 $\mathbf{x}$, принадлежащего $\setOfSets{M}$.
 
 \begin{SCEnvWLabel}{(A)}{theorem:p9-A}{(A)}
@@ -1862,12 +1864,12 @@ $\mathbf{x}$, принадлежащего $\setOfSets{M}$.
 определяем так: рациональное число ${r\in\mathbf{u}}$ тогда и только тогда,
 когда ${r\in\mathbf{x}}$ для некоторого действительного числа
 ${\mathbf{x}\in\setOfSets{M}}$. В
-обозначениях~\textsection~\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}
+обозначениях~\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}
 ${\mathbf{u}=\OLunion{\setOfSets{M}}}$. Читателю предоставляется доказать, что
 ${\mathbf{u}=\OLsup\setOfSets{M}}$. (Доказать, что
 $\mathbf{u}$~---~действительное число, $\mathbf{u}$ является верхней гранью
 множества $\setOfSets{M}$ и $\setOfSets{M}$ не имеет верхней грани
-${\mathbf{v}\boldsymbol{<}\mathbf{u}}$.)
+${\mathbf{v}\OLprecB\mathbf{u}}$.)
 %%
 %% исправлена опечатка:
 %% в оригинале последний в абзаце символ "<" выполнен нормальным шрифтом
@@ -1903,9 +1905,9 @@ ${r+s}$ для ${r\in\mathbf{x}}$ и ${s\in\mathbf{y}}$; пусть
 ${\mathbf{x}\boldsymbol{-}\mathbf{y}=%
  \mathbf{x}\boldsymbol{+}\left(\boldsymbol{-}\mathbf{y}\right)}$; наконец, пусть
 ${\boldsymbol{|}\mathbf{x}\boldsymbol{|}=\mathbf{x}}$, если
-${\mathbf{x}\boldsymbol{\geqslant}\boldsymbol{0}}$, и
+${\mathbf{x}\OLsucceqB\boldsymbol{0}}$, и
 ${\boldsymbol{|}\mathbf{x}\boldsymbol{|}=\boldsymbol{-}\mathbf{x}}$, если
-${\mathbf{x}\boldsymbol{<}\boldsymbol{0}}$. (Не следует путать $\boldsymbol{+}$
+${\mathbf{x}\OLprecB\boldsymbol{0}}$. (Не следует путать $\boldsymbol{+}$
 и $\boldsymbol{-}$ со сложением и вычитанием множеств, которые обозначаются
 через $\OLcup$ и $\OLsetminus$.)
 
@@ -1914,11 +1916,11 @@ $\ldots$,~$\mathbf{a}_{n}$,~$\ldots$ действительных чисел и
 $\mathbf{a}$; мы говорим, что ${\lim\mathbf{a}_{n}=\mathbf{a}}$‚
 %% ======================= Страница 36 =======================
 если для каждого действительного числа
-${\OLepsilon\boldsymbol{>}\boldsymbol{0}}$ найдётся натуральное число
+${\OLepsilon\OLsuccB\boldsymbol{0}}$ найдётся натуральное число
 $n_{\OLepsilon}$, такое, что для каждого ${n>n_{\OLepsilon}}$ имеет место
 ${\boldsymbol{|}%
     \mathbf{a}_{n}\boldsymbol{-}\mathbf{a}%
- \boldsymbol{|}\boldsymbol{<}\OLepsilon}$. Например,
+ \boldsymbol{|}\OLprecB\OLepsilon}$. Например,
 ${\lim\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}^{n}}=\boldsymbol{0}}$
 (где ${\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}^{n}}}$~---~действительное число,
 соответствующее рациональному числу ${\frac{1}{2^{n}}}$).
@@ -1933,7 +1935,7 @@ ${\lim\mathbf{a}_{n}=\mathbf{u}}$.
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Доказательство.}{theorem:p9-B-proof}{theorem:p9-B-proof}
 Пусть $\setOfSets{M}_{n}$ есть множество действительных чисел, принадлежащих
-$\setOfSets{M}$ и ${\boldsymbol{>}%
+$\setOfSets{M}$ и ${\OLsuccB%
  \mathbf{u}\boldsymbol{-}\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}^{n}}}$. (Доказать,
 что $\setOfSets{M}_{n}$ непусто.) Пусть $\mathbf{a}_{n}$~---~любое
 действительное число, выбранное из $\setOfSets{M}_{n}$. (Доказать, что
@@ -1946,7 +1948,7 @@ ${\lim\mathbf{a}_{n}=\mathbf{u}}$.)
 объектов арифметики.
 
 \section{Функции}
-\label{sec:functions}
+\label{sec:10-functions}
 
 В самом общем смысле (однозначная) \emph{функция} $f$, или ${f(x)}$, или
 ${y=f(x)}$ \emph{от одной переменной} $x$~---~это соответствие, в силу которого
@@ -2125,30 +2127,295 @@ $x$&$0$&\multicolumn{1}{|c|}{$1$}&&&$x$&$0$&%
 Тогда по второй таблице ${0\cdot 0=0\cdot 1=1\cdot 0=0}$ и ${1\cdot 1=1}$.
 \end{SCEnvWLabel}
 
+%% ======================= Страница 39 =======================
+
 \chapter{Критика математических утверждений}
-\label{chap:a_critique_of_mathematical_reasons}
+\label{chap:iii-a_critique_of_mathematical_reasons}
 
 \section{Парадоксы}
-\label{sec:the_paradoxes}
+\label{sec:11-the_paradoxes}
+
+В этой главе мы постараемся изложить, какова была та ситуация в области
+оснований математики, которая породила исследования, являющиеся темой остальной
+части этой книги; речь будет идти о ситуации, предшествовавшей этим
+исследованиям (но не происшедшим с тех пор переменам).
+
+При арифметизации анализа~(\textsection~\ref{sec:9-number_theory_vs_analysis})
+бесконечная совокупность (например, рациональных чисел, образующих нижнюю
+половину дедекиндова сечения, или цифр последовательности, образующих
+бесконечную десятичную дробь,~и~т.~п.) составляла один объект, и множество всех
+таких объектов рассматривалось как новая совокупность. Отсюда напрашивался
+переход к канторовской общей теории множеств.
+
+Едва окрепли эти теории, как законность всего их построения была подвергнута
+сомнению благодаря открытию парадоксов, или антиномий, на окраинах теории
+множеств.
+
+\begin{SCEnvWLabel}{(A)}{paradox:p11-A}{(A)}
+\emph{Парадокс Бурали-Форти}~\cite{buraliforti1897}‚ известный также Кантору
+ещё в 1895~г., возник в канторовской теории трансфинитных ординальных
+чисел~\footnote{Речь идёт о парадоксе, к которому приводит рассмотрение
+порядкового типа множества всех порядковых чисел. Ср. Хаусдорф, Теория
+множеств~\cite[стр. 65 перевода на русский язык]{hausdorff1927}~---~%
+\emph{Прим. перев.}}.
+%%
+%% исправлена опечатка
+%% в оригинале "трасфинитных"
+%%
+%% в примечании добавлено "перевода на русский язык"
+%% TODO: подумать об исправлении. Возможно стоит выделить перевод
+%% в отдельную запись библиографии
+%%
+\end{SCEnvWLabel}
 
-stub
+\begin{SCEnvWLabel}{(B)}{paradox:p11-B}{(B)}
+Несколько аналогичных антиномий встречается в теории трансфинитных
+кардинальных чисел, в частности \emph{парадокс Кантора} (найденный им
+в~1899~г.). Рассмотрим множество всех множеств; обозначим его
+через~$\setOfSets{M}$. По теореме Кантора~(теорема~\ref{theorem:C}~%
+\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals})
+${\OLcard{\OLpowerset{\setOfSets{M}}}>\OLcard{\setOfSets{M}}}$. Кроме того, так
+как $\setOfSets{M}$ есть множество всех множеств, а
+${\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$~---~некоторое множество множеств (именно,
+множество всех подмножеств $\setOfSets{M}$), то
+${\OLpowerset{\setOfSets{M}}\subseteq \setOfSets{M}}$. Поэтому, в силу
+следствия~\ref{theorem:A-corollary-A} из теоремы~\ref{theorem:A},
+${\OLcard{\OLpowerset{\setOfSets{M}}}\leqslant\OLcard{\setOfSets{M}}}$‚ а
+значит, в силу~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}, неверно, что
+${\OLcard{\OLpowerset{\setOfSets{M}}}>\OLcard{\setOfSets{M}}}$. Итак, мы
+доказали как то, что
+${\OLcard{\OLpowerset{\setOfSets{M}}}>\OLcard{\setOfSets{M}}}$, так и то, что
+это неверно.
+
+Отправляясь от того же самого $\setOfSets{M}$, мы можем получить парадокс также
+следующим образом. Для каждого элемента $M$ из $\setOfSets{M}$, т.~е. для
+произвольного множества $M$ по теореме~\ref{theorem:C} найдётся другой элемент
+$M'$ из $\setOfSets{M}$, а именно ${\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$, такой, что
+${\OLcard{M}<\OLcard{M'}}$. Отсюда, по теореме~\ref{theorem:D},
+${\OLcard{M}<\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}}$ для любого элемента $M$ из
+$\setOfSets{M}$. Но $\setOfSets{M}$~---~множество всех множеств, так что
+${\OLunion{\setOfSets{M}}}$ является одним из его элементов. Выбирая этот
+элемент в качестве $M$ для только что доказанного неравенства, получаем
+${\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}<\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}}$. Но в
+силу~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}, для любого множества $M$ неверно,
+что ${\OLcard{M}<\OLcard{M}}$; поэтому, в частности, неверно, что
+${\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}<\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}}$.
+%% ======================= Страница 40 =======================
+
+Парадокс с ${\OLunion{\setOfSets{M}}}$ получится таким же образом, если,
+отправляясь от множества всех мощностей, мы выберем в качестве $\setOfSets{M}$
+множество, содержащее для каждой мощности некоторое множество $M$ этой мощности.
+
+Если использованное здесь понятие множеств произвольных элементов кажется
+слишком расплывчатым и потому нематематическим, можно условиться, что
+допустимыми элементами множеств являются:
+(a\textsubscript{1})\itemlabel{list:p11-l1-a1}{(a\textsubscript{1})}~натуральные
+числа ${0,\; 1,\; 2,\;\ldots}$ (или
+(a\textsubscript{2})\itemlabel{list:p11-l1-a2}{(a\textsubscript{2})}~пустое
+множество $\OLemptyset$) и 
+(b)\itemlabel{list:p11-l1-b}{(b)}~всякое множество, элементы которого являются
+допустимыми. При этом условии предыдущие парадоксы и следующий получаются, как
+прежде (с~\ref{list:p11-l1-a1}, см. Генцен~\cite{gentzen1936}).
+\end{SCEnvWLabel}
+
+\begin{SCEnvWLabel}{(C)}{paradox:p11-C}{(C)}
+\emph{Парадокс Рассела}~\cite{russel1902-1903}‚ независимо от него открытый также
+Цермело, связан с множеством всех множеств, которые не являются элементами самих
+себя. Обозначим это множество через $T$. Является ли $T$ элементом самого себя?
+
+Допустим, что $T$ является элементом самого себя, т.~е.~${T\in T}$. Согласно
+этому допущению, $T$ является элементом~$T$, т.~е.~$T$~---~элемент множества
+всех множеств, не являющихся элементами самих себя, т.~е.~$T$~---~это множество,
+которое не является элементом самого себя, т.~е.~${T\OLnotin T}$. Это
+противоречит допущению~${T\in T}$. Пока что ещё нет парадокса, потому что
+противоречие между ${T\in T}$ и ${T\OLnotin T}$ возникло только в результате
+допущения ${T\in T}$. Посредством reductio ad absurdum мы заключаем, что это
+допущение ложно. Итак, полностью, без каких-либо допущений, доказано,
+что~${T\OLnotin T}$.
+
+Продолжим рассуждения, отправляясь теперь от полученного
+результата~${T\OLnotin T}$. Этот результат состоит в том, что $T$~---~не элемент
+множества всех множеств, которые не являются элементами самих себя,
+т.~е.~$T$~---~это не множество, которое не является элементом самого
+себя~\footnote{Без этого снятия двойного отрицания можно
+обойтись.~---~\emph{Прим. перев.}}, т.~е.~$T$~---~это множество, которое
+является элементом самого себя, т.~е.~${T\in T}$. Теперь установлено как то,
+что~${T\OLnotin T}$, так и то, что~${T\in T}$, и мы получили парадокс.
+
+Этот парадокс можно следующим образом извлечь из парадокса Кантора. Если мы
+условимся, что допустимыми элементами являются
+только~\ref{list:p11-l1-a2}~и~\ref{list:p11-l1-b}, так что элементами множеств
+могут служить только множества, то, коль скоро $\setOfSets{M}$ является
+множеством всех множеств,~${\OLpowerset{\setOfSets{M}}=\setOfSets{M}}$ и
+множество $T$ парадокса Рассела получается, если доказательство
+леммы~\ref{lemma:A}~\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}
+применить к тождественному \isom-соответствию
+${\setOfSets{M}\sim\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$, при котором каждый элемент
+множества $\setOfSets{M}$ соответствует в ${\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$ самому
+себе. Популяризируя этот парадокс, Рассел~\cite{russel1919} рассматривает
+деревенского парикмахера, который бреет всех тех и только тех жителей своей
+деревни, которые не бреются сами. Бреет ли он самого себя? (Конечно, здесь мы не
+можем избежать парадокса просто путём заключения, что никогда не было такого
+парикмахера~\footnote{Но зато удаётся избежать парадокса путём заключения, что
+такого парикмахера вообще не может существовать, и это заключение как раз
+доказывается этим парадоксом, --- только и всего.~---~\emph{Прим. перев.}}.)
+
+Каждый муниципалитет в Голландии должен иметь мэра, и два разных муниципалитета
+не могут иметь одного и того же мэра. Иногда оказывается, что мэр не проживает в
+своём муниципалитете. Допустим, что издан закон, по которому некоторая
+территория $S$ выделяется исключительно для таких мэров, которые не живут в
+своих муниципалитетах, и предписывающий всем этим мэрам поселиться на этой
+территории. Допустим, далее, что этих мэров оказалось столько, что $S$ образует
+муниципалитет. Где должен проживать мэр $S$?
+(Маннури,~ср.~ван~Данциг~\cite{dantzig1948}.)
+
+Можно говорить также о библиотекаре конгресса, составляющем для библиотеки
+конгресса библиографию всех тех библиографий, имеющихся в библиотеке конгресса,
+которые не перечисляют самих себя (Гонсет~\cite{gonseth1933}).
+%% ======================= Страница 41 =======================
+
+Рассел указал также, как можно изложить его парадокс посредством логической
+терминологии вместо теоретико-множественной. Свойство называется
+,,предикабельным``, если оно имеет место по отношению к самому себе, и
+,,импредикабельным``, если оно не имеет места по отношению к самому себе.
+Например, свойство ,,абстрактно`` является абстрактным, а потому предикабельным;
+но свойство ,,конкретно`` также является абстрактным, а не конкретным и потому
+импредикабельно. Каково свойство ,,импредикабельно``?
+\end{SCEnvWLabel}
+
+\begin{SCEnvWLabel}{(D)}{paradox:p11-D}{(D)}
+\emph{Парадокс Ришара}~\cite{richard1905}, полученный по существу также
+Диксоном~\cite{dixon1906}, связан с понятием конечной определимости. Для
+конкретности мы будем иметь в виду конечную определимость в некотором
+языке~---~например русском\footnote{В подлиннике речь идёт об английском
+языке.~---~\emph{Прим. перев.}} --- с заранее данными алфавитом, запасом слов и
+грамматикой. Алфавит мы будем считать состоящим из пробела (для разделения
+слов), 33 русских букв и запятой. Под ,,выражением`` этого языка мы будем
+понимать просто произвольную последовательность из этих 35 символов, не
+начинающуюся с пробела. Все такие выражения можно пересчитать при помощи того
+метода, которым мы воспользовались в
+конце~\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets} для пересчёта всех алгебраических
+уравнений.
+
+Выражение может служить определением арифметической функции от одной переменной
+(т.~е. функции от натурального числа, принимающей в качестве значений только
+натуральные числа). Опуская в упомянутом выше пересчёте всех выражений русского
+языка те выражения, которые не являются определениями арифметических функций, мы
+получаем некоторый пересчёт ${E_{0}, E_{1}, E_{2}, \ldots}$ тех выражений,
+которые служат такого рода определениями (а сами определяемые функции пусть
+будут соответственно ${f_{0}(n), f_{1}(n), f_{2}(n), \ldots}$).
+
+Рассмотрим теперь следующее выражение: <<Функция, значение которой для любого
+данного натурального числа в качестве аргумента равно увеличенному на единицу
+значению для этого же аргумента той функции, которая определяется выражением,
+соответствующим в только что упомянутом пересчёте этому натуральному числу>>.
+
+В этом заключённом в кавычки выражении упоминается вышеописанный пересчёт всех
+выражений русского языка, служащих определением арифметической функции, но не
+даётся определения этого пересчёта. Однако нетрудно в качестве части взятого в
+кавычки выражения полностью выписать определение этого пересчёта. Тогда мы
+получим определение некоторой функции (короче говоря, функции ${f_{n}(n)+1}$)
+посредством некоторого выражения русского языка. Эта функция, в силу её
+определения, должна отличаться от каждой функции, определимой посредством
+какого-либо выражения русского языка.
+
+Этот парадокс представляет особый интерес ввиду его применимости к таким языкам,
+как русский, и в связи с тем, что он так сходен с канторовским доказательством
+неперечислимости всех арифметических
+функций~(\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method}). Ришар дал этот
+парадокс в форме, связанной с определением действительного числа, параллельно
+канторовскому доказательству неперечислимости всех действительных чисел.
+
+Рассмотрим выражение <<наименьшее натуральное число, которое нельзя назвать
+посредством меньше чем тридцати трёх слогов>>. Это выражение при помощи тридцати
+двух слогов называет некоторое число, которое по определению нельзя назвать
+посредством меньше чем тридцати трёх слогов! (Берри~\cite{berry1906})
+\end{SCEnvWLabel}
+
+\begin{SCEnvWLabel}{(E)}{paradox:p11-E}{(E)}
+Эти современные парадоксы, более или менее связанные с теорией множеств,
+родственны одному очень древнему.
+
+Высказывание <<все критяне~---~лжецы\ldots>> приписывается критскому философу
+Эпимениду (шестой век до~н.~э.). (Это высказывание приводится апостолом
+%% ======================= Страница 42 =======================
+Павлом в <<Послании к Титу>> I, 12, как принадлежащее одному критскому
+<<пророку>>, которого раннее христианство, согласно позднейшим исследованиям,
+отождествляло с Эпименидом. См. Вейль~\cite[стр.228]{weyl1949}.)
+
+Будем различать два рода лжецов: лжецы первого рода, которые иногда говорят
+правду, и лжецы второго рода, которые говорят только ложь. Будем понимать
+высказывание Эпименида в том смысле, что все критяне являются лжецами второго
+рода. Допустим, что это высказывание истинно. В силу его смысла и того факта,
+что Эпименид~---~критянин, оно должно быть тогда ложным. Получилось
+противоречие; отсюда путём reductio ad absurdum заключаем, что это высказывание
+ложно. Из ложности этого высказывания вытекает, что существовал или будет
+существовать некоторый критянин, который иногда говорит правду. Если бы это
+высказывание было единственным, которое когда-либо произносил хоть один
+критянин, мы получили бы парадокс. Логически неудовлетворительно то, что
+парадокса можно избежать только с помощью исторического предположения, что
+существовал критянин, который иногда говорил правду.
+
+\emph{Парадокс Эпименида}, известный также как \emph{парадокс лжеца},
+встречается также в сильной форме, когда некоторое лицо говорит просто
+<<высказывание, которое я сейчас произношу, ложно>>. Стоящее в кавычках
+высказывание не может быть без противоречия ни истинным, ни ложным. Этот вариант
+парадокса приписывается Эвбулиду (четвёртый век до~н.~э.) и был хорошо известен
+в древности. (См. Рюстов\cite{rustow1910}.) Если высказывание <<все
+критяне~---~лжецы\ldots>> не принадлежит Эпимениду или первоначально не
+воспринималось как парадокс, то эвбулидовский вариант лжеца может быть древнее,
+чем вариант <<лгущего критянина>>.
+
+В древней <<дилемме крокодила>> крокодил украл ребёнка. Крокодил обещал отцу
+вернуть ребёнка, если отец угадает, вернёт ему крокодил ребёнка или нет. Что
+должен сделать крокодил, если отец скажет, что крокодил не вернёт ему ребёнка?
+(См.~Прандтль~\cite[стр.493]{prandtl1855}.)
+
+С этим парадоксом связана следующая загадка. Путешественник попал к людоедам.
+Они разрешают ему произнести какое-нибудь высказывание и ставят условие, что
+если его высказывание будет истинным, то его сварят, а если ложным~---~то его
+зажарят. Какое высказывание следует произнести путешественнику? (В другой форме
+эта загадка встречается в <<Дон Кихоте>> Сервантеса‚ 1605, II, 51.)
+\end{SCEnvWLabel}
 
 \section{Первые выводы из парадоксов}
-\label{sec:first_inferences_from_the_paradoxes}
+\label{sec:12-first_inferences_from_the_paradoxes}
+
+Читатель может испробовать свои силы, пытаясь разрешить эти парадоксы. За
+половину столетия с тех пор, как возникла эта проблема, не было найдено ни
+одного решения, с которым бы все согласились.
+
+Решение простейшего рода состояло бы в локализации ошибки наподобие ученической
+ошибки в алгебраическом или геометрическом упражнении на доказательство, без
+необходимости каких-либо дальнейших изменений.
+
+Мысль, что парадоксы следует решать в этом направлении, приходит на ум при
+первом знакомстве с ними. Можно предположить, что в
+парадоксах~\ref{paradox:p11-A}--\ref{paradox:p11-C} ошибка состоит в
+употреблении слишком обширных множеств, таких, как множество всех множеств или
+множество всех кардинальных чисел, или в разрешении рассматривать множества как
+элементы самих себя, что опять-таки служит возражением против множества всех
+множеств. Отвергать эти предположения не обязательно, но только их нельзя
+считать простыми. Они ставят нас перед проблемой перестройки теории множеств на
+совершенно изменённой основе, детали которой содержатся в них разве что в виде
+намёка. Например, если мы запретим множество всех кардинальных чисел, мы не
+сможем рассматривать множество всех натуральных чисел, пока нам не станет
+известно, что этими числами не исчерпываются все кардинальные числа, и та же
+самая
 
 stub
 
 \section{Интуиционизм}
-\label{sec:intuitionism}
+\label{sec:13-intuitionism}
 
 stub
 
 \section{Формализм}
-\label{sec:formalism}
+\label{sec:14-formalism}
 
 stub
 
 \section{Формализация теории}
-\label{sec:formalization_of_a_theory}
+\label{sec:15-formalization_of_a_theory}
 
 stub

parts/part2-mathematical_logic.tex

@@ -1,26 +1,26 @@
 \part{Математическая логика}
-\label{part:mathematical_logic}
+\label{part:II-mathematical_logic}
 
 \chapter{Формальная система}
-\label{chap:a_formal_system}
+\label{chap:iv-a_formal_system}
 
 \section{Формальные символы}
-\label{sec:formal_symbols}
+\label{sec:16-formal_symbols}
 
 stub
 
 \section{Правила преобразования}
-\label{sec:formation_rules}
+\label{sec:17-formation_rules}
 
 stub
 
 \section{Свободные и связанные переменные}
-\label{sec:free_and_bound_variables}
+\label{sec:18-free_and_bound_variables}
 
 stub
 
 \section{Правила преобразования}
-\label{sec:transformation_rules}
+\label{sec:19-transformation_rules}
 
 stub
 
@@ -28,128 +28,128 @@ stub
 
 
 \chapter{Формальный вывод}
-\label{chap:formal_deduction}
+\label{chap:v-formal_deduction}
 
 \section{Формальный вывод}
-\label{sec:formal_deduction}
+\label{sec:20-formal_deduction}
 
 stub
 
 \section{Теорема о дедукции}
-\label{sec:the_deduction_theorem}
+\label{sec:21-the_deduction_theorem}
 
 stub
 
 \section{Теорема о дедукции (окончание)}
-\label{sec:the_deduction_theorem_concluded}
+\label{sec:22-the_deduction_theorem_concluded}
 
 stub
 
 \section{Введение и удаление логических символов}
-\label{sec:introduction_and_elimination_of_logical_symbols}
+\label{sec:23-introduction_and_elimination_of_logical_symbols}
 
 stub
 
 \section{Зависимость формул и варьирование переменных}
-\label{sec:dependence_and_variation}
+\label{sec:24-dependence_and_variation}
 
 stub
 
 \chapter{Исчисление высказываний}
-\label{chap:the_propositional_calculus}
+\label{chap:vi-the_propositional_calculus}
 
 \section{Формулы исчисления высказываний}
-\label{sec:proposition_letter_formulas}
+\label{sec:25-proposition_letter_formulas}
 
 stub
 
 \section{Эквивалентность, замена}
-\label{sec:equivalence_replacement}
+\label{sec:26-equivalence_replacement}
 
 stub
 
 \section{Эквивалентности, двойственность}
-\label{sec:equivalences_duality}
+\label{sec:27-equivalences_duality}
 
 stub
 
 \section{Оценка, непротиворечивость}
-\label{sec:valuation_consistency_vi}
+\label{sec:28-valuation_consistency_vi}
 
 stub
 
 \section{Полнота, нормальная форма}
-\label{sec:completness_normal_form}
+\label{sec:29-completness_normal_form}
 
 stub
 
 \section{Разрешающая процедура, интерпретация}
-\label{sec:decision_procedure_interpretation}
+\label{sec:30-decision_procedure_interpretation}
 
 stub
 
 \chapter{Исчисление предикатов}
-\label{chap:the_predicate_calculus}
+\label{chap:vii-the_predicate_calculus}
 
 \section{Предикатные формулы}
-\label{sec:predicate_letter_formulas}
+\label{sec:31-predicate_letter_formulas}
 
 stub
 
 \section{Выводимые правила, свободные переменные}
-\label{sec:derived_rules_free_variables}
+\label{sec:32-derived_rules_free_variables}
 
 stub
 
 \section{Замена}
-\label{sec:replacement}
+\label{sec:33-replacement}
 
 stub
 
 \section{Подстановка}
-\label{sec:substitution}
+\label{sec:34-substitution}
 
 stub
 
 \section{Эквивалентности, двойственность, предварённая форма}
-\label{sec:equivalences_duality_prenex_form}
+\label{sec:35-equivalences_duality_prenex_form}
 
 stub
 
 \section{Оценка, непротиворечивость}
-\label{sec:valuation_consistency_vii}
+\label{sec:36-valuation_consistency_vii}
 
 stub
 
 \section{Теоретико-множественная логика предикатов, \texorpdfstring{\lowercase{$k$}}{k}-образы}
-\label{sec:set-theoretic_predicate_logic_k_transforms}
+\label{sec:37-set-theoretic_predicate_logic_k_transforms}
 
 stub
 
 \chapter{Формальная арифметика}
-\label{chap:formal_number_theory}
+\label{chap:viii-formal_number_theory}
 
 \section{Индукция, равенства, замена}
-\label{sec:induction_equality_replacement}
+\label{sec:38-induction_equality_replacement}
 
 stub
 
 \section{Сложение, умножение, порядок}
-\label{sec:addition_multiplication_order}
+\label{sec:39-addition_multiplication_order}
 
 stub
 
 \section{Дальнейшее построение арифметики}
-\label{sec:the_further_development_of_number_theory}
+\label{sec:40-the_further_development_of_number_theory}
 
 stub
 
 \section{Формализованные вычисления}
-\label{sec:formal_calculations}
+\label{sec:41-formal_calculations}
 
 stub
 
 \section{Теорема Гёделя}
-\label{sec:goedel_s_theorem}
+\label{sec:42-goedel_s_theorem}
 
 stub

parts/part3-recursive_functions.tex

@@ -1,41 +1,41 @@
 \part{Рекурсивные функции}
-\label{part:recursive_functions}
+\label{part:III-recursive_functions}
 
 \chapter{Примитивно-рекурсивные функции}
-\label{chap:primitive_recursive_functions}
+\label{chap:ix-primitive_recursive_functions}
 
 \section{Примитивно-рекурсивные функции}
-\label{sec:primitive_recursive_functions}
+\label{sec:43-primitive_recursive_functions}
 
 stub
 
 \section{Явное определение}
-\label{sec:explicit_definition}
+\label{sec:44-explicit_definition}
 
 stub
 
 \section{Предикаты, представления с помощью простых множителей}
-\label{sec:predicates_prime_factor_representation}
+\label{sec:45-predicates_prime_factor_representation}
 
 stub
 
 \section{Возвратная рекурсия}
-\label{sec:course_of_values_recursion}
+\label{sec:46-course_of_values_recursion}
 
 stub
 
 \section{Равномерность}
-\label{sec:uniformity}
+\label{sec:47-uniformity}
 
 stub
 
 \section{\texorpdfstring{\protect$\beta$}{Бета}-функция Гёделя}
-\label{sec:goedel_s_b-function}
+\label{sec:48-goedel_s_b-function}
 
 stub
 
 \section{Примитивно-рекурсивные функции и арифметический формализм}
-\label{sec:primitive_recursive_functions_and_the_number-theoretic_formalism}
+\label{sec:49-primitive_recursive_functions_and_the_number-theoretic_formalism}
 
 stub
 
@@ -43,127 +43,127 @@ stub
 
 
 \chapter{Арифметизация математики}
-\label{chap:the_arithmetization_of_metamathemathics}
+\label{chap:x-the_arithmetization_of_metamathemathics}
 
 \section{Метаматематика как обобщённая арифметика}
-\label{sec:metamathematics_as_generalized_arithmetic}
+\label{sec:50-metamathematics_as_generalized_arithmetic}
 
 stub
 
 \section{Рекурсивные метаматематические определения}
-\label{sec:recursive_metamathematical_definitions}
+\label{sec:51-recursive_metamathematical_definitions}
 
 stub
 
 \section{Гёделевская нумерация}
-\label{sec:goedel_numbering}
+\label{sec:52-goedel_numbering}
 
 stub
 
 \section{Индуктивные и рекурсивные определения}
-\label{sec:inductive_and_recursive_definitions}
+\label{sec:53-inductive_and_recursive_definitions}
 
 stub
 
 
 \chapter{Обще-рекурсивные функции}
-\label{chap:general_recursive_functions}
+\label{chap:xi-general_recursive_functions}
 
 \section{Формальное вычисление примитивно-рекурсивных функций}
-\label{sec:formal_calculation_of_primitive_recursive_functions}
+\label{sec:54-formal_calculation_of_primitive_recursive_functions}
 
 stub
 
 \section{Обще-рекурсивные функции}
-\label{sec:general_recursive_functions}
+\label{sec:55-general_recursive_functions}
 
 stub
 
 \section{Арифметизация формализма рекурсивных функций}
-\label{sec:arithmetization_of_the_formalism_of_recursive_functions}
+\label{sec:56-arithmetization_of_the_formalism_of_recursive_functions}
 
 stub
 
 \section{\texorpdfstring{\protect$\mu$}{Мю}-оператор, нумерация, диагональный процесс}
-\label{sec:the_mu_operator_enumeration_diagonal_procedure}
+\label{sec:57-the_mu_operator_enumeration_diagonal_procedure}
 
 stub
 
 \section{Нормальная форма, теорема Поста}
-\label{sec:normal_form_post_s_theorem}
+\label{sec:58-normal_form_post_s_theorem}
 
 stub
 
 \section{Обще-рекурсивные функции и арифметический формализм}
-\label{sec:general_recursive_functions_and_the_number-theoretic_formalism}
+\label{sec:59-general_recursive_functions_and_the_number-theoretic_formalism}
 
 stub
 
 \section{Теорема Чёрча, обобщённая теорема Гёделя}
-\label{sec:church_s_theorem_the_generalized_goedel_s_theorem}
+\label{sec:60-church_s_theorem_the_generalized_goedel_s_theorem}
 
 stub
 
 \section{Симметричная форма теоремы Гёделя}
-\label{sec:a_symmetric_form_of_goedel_s_theorem}
+\label{sec:61-a_symmetric_form_of_goedel_s_theorem}
 
 stub
 
 
 \chapter{Частично-рекурсивные функции}
-\label{chap:partial_recursive_functions}
+\label{chap:xii-partial_recursive_functions}
 
 
 \section{Тезис Чёрча}
-\label{sec:church_s_thesis}
+\label{sec:62-church_s_thesis}
 
 stub
 
 \section{Частично-рекурсивные функции}
-\label{sec:partial_recursive_functions}
+\label{sec:63-partial_recursive_functions}
 
 stub
 
 \section{\texorpdfstring{\protect$3$}{3}-значная логика}
-\label{sec:the_3-valued_logic}
+\label{sec:64-the_3-valued_logic}
 
 stub
 
 \section{Гёделевские номера}
-\label{sec:goedel_numbers}
+\label{sec:65-goedel_numbers}
 
 stub
 
 \section{Теорема о рекурсии}
-\label{sec:the_recursion_theorem}
+\label{sec:66-the_recursion_theorem}
 
 stub
 
 
 \chapter{Функции, вычислимые по Тьюрингу}
-\label{chap:computable_functions}
+\label{chap:xiii-computable_functions}
 
 \section{Машины Тьюринга}
-\label{sec:turing_machines}
+\label{sec:67-turing_machines}
 
 stub
 
 \section{Вычислимость рекурсивных функций}
-\label{sec:computability_of_recursive_functions}
+\label{sec:68-computability_of_recursive_functions}
 
 stub
 
 \section{Рекурсивность вычислимых функций}
-\label{sec:recursiveness_of_computable_functions}
+\label{sec:69-recursiveness_of_computable_functions}
 
 stub
 
 \section{Тезис Тьюринга}
-\label{sec:turing_thesis}
+\label{sec:70-turing_thesis}
 
 stub
 
 \section{Проблема тождества для полугрупп}
-\label{sec:the_word_problem_for_semi-groups}
+\label{sec:71-the_word_problem_for_semi-groups}
 
 stub

parts/part4-mathematical_logic_additional_topics.tex

@@ -1,64 +1,64 @@
 \part[Математическая~логика\texorpdfstring{\break}{ }(\texorpdfstring{\lowercase{дополнительные~разделы}}{дополнительные~разделы})]%
 {Математическая~логика\texorpdfstring{\break}{ }(\texorpdfstring{\lowercase{дополнительные~разделы}}{дополнительные~разделы})}
-\label{part:mathematical_logic_additional_topics}
+\label{part:IV-mathematical_logic_additional_topics}
 
 \chapter{Исчисление предикатов и системы аксиом}
-\label{chap:the_predicate_calculus_and_axiom_systems}
+\label{chap:xiv-the_predicate_calculus_and_axiom_systems}
 
 \section{Гёделевская теорема о полноте}
-\label{sec:goedel_s_completeness_theorem}
+\label{sec:72-goedel_s_completeness_theorem}
 
 stub
 
 \section{Исчисление предикатов с равенством}
-\label{sec:the_predicate_calculus_with_equality}
+\label{sec:73-the_predicate_calculus_with_equality}
 
 stub
 
 \section{Элиминируемость (устранимость) описательных определений}
-\label{sec:eliminability_of_descriptive_definitions}
+\label{sec:74-eliminability_of_descriptive_definitions}
 
 stub
 
 \section{Система аксиом, парадокс Сколема, натуральный ряд чисел}
-\label{sec:axiom_systems_skolem_s_paradox_the_natural_number_sequence}
+\label{sec:75-axiom_systems_skolem_s_paradox_the_natural_number_sequence}
 
 stub
 
 \section{Проблема разрешимости}
-\label{sec:the_decision_problem}
+\label{sec:76-the_decision_problem}
 
 stub
 
 \chapter{Непротиворечивость; классическая и интуиционистская системы}
-\label{chap:consistency_classical_and_intuition_systems}
+\label{chap:xv-consistency_classical_and_intuition_systems}
 
 \section{Формальная система Генцена}
-\label{sec:gentzen_s_formal_system}
+\label{sec:77-gentzen_s_formal_system}
 
 stub
 
 \section{Теорема Генцена о нормальной форме}
-\label{sec:gentzen_s_normal_form_theorem}
+\label{sec:78-gentzen_s_normal_form_theorem}
 
 stub
 
 \section{Доказательства непротиворечивости}
-\label{sec:consistency_proofs}
+\label{sec:79-consistency_proofs}
 
 stub
 
 \section{Разрешающая процедура, интуиционистская недоказуемость}
-\label{sec:decision_procedure_intuitionistic_unprovability}
+\label{sec:80-decision_procedure_intuitionistic_unprovability}
 
 stub
 
 \section{Редукция классических систем к интуиционистским}
-\label{sec:reduction_of_classical_to_intuitionistic_systems}
+\label{sec:81-reduction_of_classical_to_intuitionistic_systems}
 
 stub
 
 \section{Рекурсивная реализуемость}
-\label{sec:recursive_realizability}
+\label{sec:82-recursive_realizability}
 
 stub

parts/translator_s_appendixes.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \part*{Добавления переводчика}%
-\label{part:interpreter_s_appendices}%
+\label{part:V-interpreter_s_appendices}%
 
 \thispagestyle{empty}%
 \vspace*{50pt}%
@@ -7,7 +7,7 @@
 % в этом заголовке есть сноска - смотреть в файле bookvvmrus.cls
 % условие \if под комментарием "грязный хак"
 %
-\label{apx:proof_of_the_2nd_goedel_s_theorem}
+\label{apx:i-proof_of_the_2nd_goedel_s_theorem}
 
 stub
 
@@ -15,42 +15,44 @@ stub
 \texorpdfstring{%
     \lowercase{%
         \ref{%
-           sec:primitive_recursive_functions_and_the_number-theoretic_formalism%
+           sec:49-primitive_recursive_functions_and_the_number-theoretic_formalism%
             }~и~%
-        \ref{sec:eliminability_of_descriptive_definitions}
+        \ref{sec:74-eliminability_of_descriptive_definitions}
     }%
 }{49 и 74}}
-\label{apx:filling_the_gap_in_49_and_74}
+\label{apx:ii-filling_the_gap_in_49_and_74}
 
 stub
 
 \chapter{О формализуемости перехода от (%
     \texorpdfstring{\lowercase{iv}}{iv}) к (\texorpdfstring{\lowercase{v}}{v}%
     ) в доказательстве теоремы 36}% TODO: сделать все линки
-\label{apx:about_formalisation_of_transition_from_iv_to_v_in_proof_of_theorem_36}
+\label{apx:iii-about_formalisation_of_transition_from_iv_to_v_in_proof_of_theorem_36}
 
 stub
 
 \chapter[%
     Построение формулы~\texorpdfstring{В}{В} примера 2 % TODO: сделать оба линка
-    \textsection~\texorpdfstring{\lowercase{\ref{sec:consistency_proofs}}}{79}
+    \textsection~\texorpdfstring{\lowercase{\ref{sec:79-consistency_proofs}}}%
+    {79}
 ]%
 {Построение формулы~\texorpdfstring{\textmd{В}}{В} %
     примера 2 % TODO: сделать оба линка
-    \textsection~\texorpdfstring{\lowercase{\ref{sec:consistency_proofs}}}{79}}
-\label{apx:formation_of_formulae_C_example_2_in_79}
+    \textsection~\texorpdfstring{\lowercase{\ref{sec:79-consistency_proofs}}}%
+    {79}}
+\label{apx:iv-formation_of_formulae_C_example_2_in_79}
 
 stub
 
 \chapter{Об устранимости равенства и неопределённых описаний}
-\label{apx:about_elimination_of_equality_and_undefined_descriptions}
+\label{apx:v-about_elimination_of_equality_and_undefined_descriptions}
 
 stub
 
 \chapter%
     [О формализации индукции до порядковых чисел, меньших
         \texorpdfstring{$\varepsilon_0$}{эпсилон нулевое} в системе гл.~%
-        \texorpdfstring{\lowercase{\ref{chap:a_formal_system}} %
+        \texorpdfstring{\lowercase{\ref{chap:iv-a_formal_system}} %
             {(\lowercase{по }%
                 Г\lowercase{ильберту}-Б\lowercase{ернайсу %
                 \lbrack 1939, стр.361--366\rbrack})%
@@ -60,7 +62,7 @@ stub
     ]%
     {О формализации индукции до порядковых чисел, меньших
         \texorpdfstring{$\varepsilon_0$}{эпсилон нулевое} в системе гл.~%
-        \texorpdfstring{\lowercase{\ref{chap:a_formal_system}}%
+        \texorpdfstring{\lowercase{\ref{chap:iv-a_formal_system}}%
             \vskip 1ex \relax\textmd{(\lowercase{по }%
                 Г\lowercase{ильберту}-Б\lowercase{ернайсу %
                 \lbrack 1939, стр.361--366\rbrack})%
@@ -69,11 +71,13 @@ stub
     }%
     % TODO: сделать линк на библиографию
 \label{%
-    apx:about_formalisation_of_induction_upto_ordinal_numbers_less_than_epsilon}
+ apx:vi-about_formalisation_of_induction_upto_ordinal_numbers_less_than_epsilon}
 
 stub
 
-\chapter{Доказательство непротиворечивости классической арифметики с помощью индукции до \texorpdfstring{$\varepsilon_0$}{эпсилон нулевое} (по Шютте). Результат П.~С.~Новикова}
-\label{apx:proof_of_consistency_of_classic_arithmetic}
+\chapter{Доказательство непротиворечивости классической арифметики с помощью
+индукции до \texorpdfstring{$\varepsilon_0$}{эпсилон нулевое} (по Шютте).
+Результат П.~С.~Новикова}
+\label{apx:vii-proof_of_consistency_of_classic_arithmetic}
 
 stub