|
|
@@ -1,11 +1,11 @@
|
|
|
\part{Проблемы оснований математики}
|
|
|
-\label{part:the_problem_of_foundations}
|
|
|
+\label{part:I-the_problem_of_foundations}
|
|
|
%% ======================= Страница 11 =======================
|
|
|
\chapter{Теория множеств}
|
|
|
-\label{chap:the_theory_of_sets}
|
|
|
+\label{chap:i-the_theory_of_sets}
|
|
|
|
|
|
\section{Счётные множества}
|
|
|
-\label{sec:enumerable_sets}
|
|
|
+\label{sec:1-enumerable_sets}
|
|
|
|
|
|
Прежде чем приступить к нашему основному предмету, полезно бегло рассмотреть
|
|
|
канторовскую теорию множеств.
|
|
|
@@ -173,7 +173,7 @@ a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=0\;\;\; (a_{0}\neq 0)
|
|
|
этих чисел.
|
|
|
|
|
|
\section{Канторовский диагональный метод}
|
|
|
-\label{sec:cantor_s_diagonal_method}
|
|
|
+\label{sec:2-cantor_s_diagonal_method}
|
|
|
|
|
|
Посредством знаменитого ,,диагонального метода`` Кантора было доказано, что в
|
|
|
математике рассматриваются и такие бесконечные множества, которые не могут быть
|
|
|
@@ -325,11 +325,11 @@ $1$ и $4$, начинается с ${01001\ldots}$. Эти последоват
|
|
|
Могут ли эти несчётные множества быть поставлены друг с другом в
|
|
|
\isom-соответствие и нет ли ещё и других типов бесконечных множеств?
|
|
|
Рекомендуем читателю попытаться самостоятельно ответить на эти вопросы
|
|
|
-(ответы даны в \textsection~\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}). Рассмотрим
|
|
|
-теперь теорию Кантора в её общем виде.
|
|
|
+(ответы даны в \textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}).
|
|
|
+Рассмотрим теперь теорию Кантора в её общем виде.
|
|
|
|
|
|
\section{Кардинальное число}
|
|
|
-\label{sec:cardinal_number}
|
|
|
+\label{sec:3-cardinal_number}
|
|
|
|
|
|
Канторовская теория ,,абстрактных множеств`` имеет дело с множествами вообще.
|
|
|
(Кантор построил также теорию ,,точечных множеств``.) Введённые им термины
|
|
|
@@ -363,7 +363,7 @@ ${a\OLnotin M}$~\footnote{В зарубежной литературе (в то
|
|
|
только тогда, когда ${a\in N}$.
|
|
|
|
|
|
Два множества $M$ и $N$ мы называем \emph{эквивалентными} (и пишем ${M\sim N}$),
|
|
|
-если существует \isom-соответствие (\textsection~\ref{sec:enumerable_sets})
|
|
|
+если существует \isom-соответствие (\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets})
|
|
|
между ними. (Иногда мы будем писать ,,соответствие ${M\sim N}$`` для
|
|
|
обозначения некоторого индивидуального \isom-соответствия между $M$ и $N$,
|
|
|
которое должно существовать, если ${M\sim N}$.)
|
|
|
@@ -507,20 +507,20 @@ $\OLcard{N}$ три отношения ${\OLcard{M}<\OLcard{N}}$, ${\OLcard{M}=\
|
|
|
более чем одно из них может иметь место.
|
|
|
|
|
|
Только после значительного продвижения в рассматриваемой теории (см. ссылки в
|
|
|
-\textsection~\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}) можно выяснить, являются ли
|
|
|
-эти три отношения ,,исчерпывающими``, другими словами, должно ли иметь место
|
|
|
+\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}) можно выяснить, являются
|
|
|
+ли эти три отношения ,,исчерпывающими``, другими словами, должно ли иметь место
|
|
|
хотя бы одно из них. Ситуация отчасти прояснится в результате следующей теоремы,
|
|
|
после которой останется только вопрос, может ли встретиться
|
|
|
случай~\ref{case:p3-3}.
|
|
|
%% ======================= Страница 18 =======================
|
|
|
|
|
|
\section{Теорема эквивалентности, конечные и бесконечные множества}
|
|
|
-\label{sec:the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}
|
|
|
+\label{sec:4-the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Теорема A.}{theorem:A}{A}
|
|
|
\emph{Если} ${M\sim N_{1}\subseteq N}$ и ${N\sim M_{1}\subseteq M}$‚ \emph{то}
|
|
|
${M\sim N}$. Другими словами, \emph{в
|
|
|
-случае}~\ref{case:p3-2}~\textsection~\ref{sec:cardinal_number}
|
|
|
+случае}~\ref{case:p3-2}~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}
|
|
|
\emph{обязательно} ${\OLcard{M}=\OLcard{N}}$. (Бернштейн~\cite{bernstein1898}.)
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
@@ -629,7 +629,7 @@ $0$,~$1$,~$2$,~$\ldots$,~$n$,~${n+1}$,~$\ldots$ как последовател
|
|
|
называть \emph{конечными кардинальными числами}, а множества с этими
|
|
|
кардинальными числами --- \emph{конечными множествами}. Следующие два
|
|
|
предложения будут доказаны в примере%
|
|
|
-~\ref{exmpl:p7-1}~\textsection~\ref{sec:mathematical_induction}
|
|
|
+~\ref{exmpl:p7-1}~\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction}
|
|
|
|
|
|
{\everypar{(1) }\itemlabel{prop:p4-1}{(1)} \emph{Для каждого натурального числа}
|
|
|
$n$ \emph{конечное кардинальное число} $n$ \emph{служит кардинальным числом для
|
|
|
@@ -644,7 +644,7 @@ ${M_{1}=M}$. Иначе говоря, \emph{конечное множество
|
|
|
|
|
|
Из этих двух предложений нетрудно усмотреть, что отношение равенства ${m=n}$ и
|
|
|
отношение порядка ${m<n}$, установленные для конечных кардинальных чисел
|
|
|
-определениями~\textsection~\ref{sec:cardinal_number}, согласуются с обычными
|
|
|
+определениями~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}, согласуются с обычными
|
|
|
отношениями равенства и порядка для натуральных чисел (в частности, ${n<n+1}$
|
|
|
для конечных кардинальных чисел). Итак, не возникнет никакой путаницы, если мы
|
|
|
отождествим натуральные числа с конечными кардинальными числами.
|
|
|
@@ -653,7 +653,7 @@ ${M_{1}=M}$. Иначе говоря, \emph{конечное множество
|
|
|
кардинальное число --- \emph{бесконечным} или \emph{трансфинитным кардинальным
|
|
|
числом}. Кардинальное число множества всех натуральных чисел, а следовательно, и
|
|
|
каждого счётно\nobreakdash-бесконечного
|
|
|
-множества~(\textsection~\ref{sec:enumerable_sets}) мы будем называть
|
|
|
+множества~(\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets}) мы будем называть
|
|
|
$\alephZero$ (читается <<алеф-нуль>>).
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Следствие B.}{theorem:A-corollary-B}{B}
|
|
|
@@ -745,7 +745,7 @@ P\OLcup\{ a_{0}, b_{0}, a_{1}, b_{1}, \ldots \}\text{.}
|
|
|
%% ======================= Страница 21 =======================
|
|
|
|
|
|
\section{Высшие трансфинитные числа}
|
|
|
-\label{sec:higher_transfinite_cardinals}
|
|
|
+\label{sec:5-higher_transfinite_cardinals}
|
|
|
|
|
|
%
|
|
|
% для следующах двух абзацев рассмотреть возможность добавления ссылок
|
|
|
@@ -759,7 +759,7 @@ P\OLcup\{ a_{0}, b_{0}, a_{1}, b_{1}, \ldots \}\text{.}
|
|
|
%
|
|
|
Первая из теорем этого параграфа является общей формулировкой той ситуации, с
|
|
|
которой мы встретились в последнем
|
|
|
-примере~\textsection~\ref{sec:cantor_s_diagonal_method}. Для читателя будет
|
|
|
+примере~\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method}. Для читателя будет
|
|
|
полезно, если он попробует самостоятельно рассмотреть эту теорему или её лемму
|
|
|
для случая, когда $M$ --- небольшое конечное множество. Вторая теорема является
|
|
|
обобщением той ситуации, с которой мы столкнулись в
|
|
|
@@ -872,8 +872,8 @@ ${\OLunion{\setOfSets{M}}}$. Множество предметов, каждый
|
|
|
\emph{общей частью} множеств, принадлежащих $\setOfSets{M}$, и обозначается
|
|
|
посредством ${\OLintersec{\setOfSets{M}}}$\olNt{ (<<$\mathfrak{D}$>> от
|
|
|
немецкого <<Durchschnitt>>~\footnote{Пересечение.~---~\textit{Прим.~ред.}})}{}.
|
|
|
-Эти понятия совпадают с введёнными в~\textsection~\ref{sec:cardinal_number}, за
|
|
|
-исключением того, что теперь они выражены в виде операций над множеством
|
|
|
+Эти понятия совпадают с введёнными в~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number},
|
|
|
+за исключением того, что теперь они выражены в виде операций над множеством
|
|
|
$\setOfSets{M}$ множеств $M$, которые складываются или перемножаются. Например,
|
|
|
${M\OLcup N=\OLunion{\{ M, N\}}}$, ${M\OLcap N=\OLintersec{\{ M, N\}}}$.
|
|
|
|
|
|
@@ -911,7 +911,7 @@ $\alephZero$,~$2^{\alephZero}$,~$2^{2^{\alephZero}}$,~$\ldots$, является
|
|
|
кардинальных чисел>>, которая утверждает, что возможности
|
|
|
${\OLcard{M}<\OLcard{N}}$, ${\OLcard{M}=\OLcard{N}}$ и
|
|
|
${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
|
|
|
-являются исчерпывающими (конец~\textsection~\ref{sec:cardinal_number}),
|
|
|
+являются исчерпывающими (конец~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}),
|
|
|
оказывается следствием из
|
|
|
%% ======================= Страница 23 =======================
|
|
|
,,теоремы о полном упорядочении`` Цермело~\cite{zermelo1904} (см., например,
|
|
|
@@ -931,14 +931,14 @@ ${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
|
|
|
Во\nobreakdash-вторых, в этой теории, если её проследить достаточно далеко,
|
|
|
обнаруживаются логические трудности, которые явятся отправной точкой нашего
|
|
|
основного исследования. Это будет обнаружено в
|
|
|
-гл.~\ref{chap:a_critique_of_mathematical_reasons}.
|
|
|
+гл.~\ref{chap:iii-a_critique_of_mathematical_reasons}.
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Примеры.}{exmpls:p5}{p5-examples}
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Множества с кардинальным числом $2^{\alephZero}$.}%
|
|
|
{exmpl:p5-1}{example-p5-1}
|
|
|
Это --- кардинальное число, приписанное множеству всех подмножеств множества
|
|
|
всех натуральных чисел, которое мы описали
|
|
|
-в~\textsection~\ref{sec:cantor_s_diagonal_method} как множество всех
|
|
|
+в~\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method} как множество всех
|
|
|
\emph{множеств натуральных чисел}. Там мы представили элементы этого множества
|
|
|
\emph{бесконечными последовательностями из нулей и единиц}. Эти нули и единицы
|
|
|
можно рассматривать как цифры в двоичной (или диадической) системе счисления,
|
|
|
@@ -998,7 +998,7 @@ $n$\emph{\nobreakdash-ки действительных чисел} или \emph
|
|
|
натурального $n$ и даже \emph{бесконечные последовательности действительных
|
|
|
чисел} или \emph{точки действительного эвклидова}
|
|
|
$\alephZero$\emph{\nobreakdash-мерного пространства}. Этот последний пример
|
|
|
-можно рассмотреть с помощью метода~\textsection~\ref{sec:enumerable_sets},
|
|
|
+можно рассмотреть с помощью метода~\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets},
|
|
|
посредством которого $\alephZero$ последовательностей нулей и единиц
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
|
\xymatrix@!@=1.6666667ex{
|
|
|
@@ -1058,10 +1058,10 @@ $2^{\alephZero}$\emph{\nobreakdash-мерного пространства}.
|
|
|
%% ======================= Страница 25 =======================
|
|
|
|
|
|
\chapter{Некоторые основные концепции}
|
|
|
-\label{chap:some_fundamental_concepts}
|
|
|
+\label{chap:ii-some_fundamental_concepts}
|
|
|
|
|
|
\section{Натуральные числа}
|
|
|
-\label{sec:the_natural_numbers}
|
|
|
+\label{sec:6-the_natural_numbers}
|
|
|
|
|
|
Цель этой главы --- сопоставить (отчасти для ссылок, отчасти для более
|
|
|
внимательного рассмотрения) некоторые идеи и методы математики.
|
|
|
@@ -1159,7 +1159,7 @@ $n$, ${0''''=0''}$ возможно только при ${0'''=0'}$. Опять
|
|
|
были выбраны Пеано~\cite{peano1889,peano1891} в качестве аксиом, характеризующих
|
|
|
натуральный ряд чисел. Пеано вместо предложения~\ref{list:p6-l1-i3}
|
|
|
сформулировал принцип математической индукции
|
|
|
-(\textsection~\ref{sec:mathematical_induction}) и поместил его в списке на пятом
|
|
|
+(\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction}) и поместил его в списке на пятом
|
|
|
месте, сдвинув предложения \ref{list:p6-l1-i4} и \ref{list:p6-l1-i5}
|
|
|
соответственно на третье и четвёртое места.
|
|
|
|
|
|
@@ -1177,7 +1177,7 @@ $n$, ${0''''=0''}$ возможно только при ${0'''=0'}$. Опять
|
|
|
Разумеется, имея дело с предложениями типа <<некоторое уравнение имеет два
|
|
|
корня>>, мы продолжаем пользоваться тем, что натуральные числа суть кардинальные
|
|
|
числа конечных множеств
|
|
|
-(\textsection~\ref{sec:the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
|
|
|
+(\textsection~\ref{sec:4-the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Порядок}{order:p6}{order:p6}
|
|
|
Согласно индуктивному определению натуральных чисел, они порождаются в некотором
|
|
|
@@ -1200,7 +1200,7 @@ $m'$.
|
|
|
%% ======================= Страница 27 =======================
|
|
|
|
|
|
\section{Математическая индукция}
|
|
|
-\label{sec:mathematical_induction}
|
|
|
+\label{sec:7-mathematical_induction}
|
|
|
|
|
|
Пусть $P$ --- некоторое свойство натуральных чисел. Допустим, что:
|
|
|
|
|
|
@@ -1221,7 +1221,7 @@ $m'$.
|
|
|
Обоснование этого принципа индукции является почти непосредственным, если
|
|
|
натуральные числа рассматриваются как объекты, порождённые согласно индуктивному
|
|
|
определению~\ref{list:p6-l1-i1}--\ref{list:p6-l1-i3}~%
|
|
|
-\textsection~\ref{sec:the_natural_numbers}. Предположим, что имеется свойство
|
|
|
+\textsection~\ref{sec:6-the_natural_numbers}. Предположим, что имеется свойство
|
|
|
$P$, для которого справедливы
|
|
|
свойства~\ref{list:p7-l1-i1-1}~и~\ref{list:p7-l1-i2-2}. Должно ли тогда каждое
|
|
|
натуральное число $n$ обладать свойством $P$? Мы рассматриваем положительный
|
|
|
@@ -1281,11 +1281,11 @@ $P(1)$.
|
|
|
при строгом доказательстве зависят от индукции, а в других случаях индукционный
|
|
|
шаг настолько прост, что от него отделываются словами <<и так далее>> или
|
|
|
чем-нибудь в этом роде (например, теоремы~\ref{theorem:A}~и~\ref{theorem:B}
|
|
|
-из~\textsection~\ref{sec:the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
|
|
|
+из~\textsection~\ref{sec:4-the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Пример 1.}{exmpl:p7-1}{1}
|
|
|
Докажем предложения~\ref{prop:p4-1}~и~\ref{prop:p4-2}~%
|
|
|
-из~\textsection~\ref{sec:the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}
|
|
|
+из~\textsection~\ref{sec:4-the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}
|
|
|
при помощи индукции по $n$. Сделаем это для~\ref{prop:p4-2},
|
|
|
предоставляя~\ref{prop:p4-1} читателю. Индукционное предложение таково:
|
|
|
\emph{Для любых множеств} $M$ \emph{и} $M_{1}$ \emph{из} ${\OLcard{M}=n}$
|
|
|
@@ -1430,17 +1430,18 @@ ${b\in N\OLcup\left\{ a\right\}}$)‚ ${M_{1}=N\OLcup\left\{ a\right\}}$.
|
|
|
уже введены при собственном спаривании всего множества.
|
|
|
|
|
|
\section{Системы объектов}
|
|
|
-\label{sec:system_of_objects}
|
|
|
+\label{sec:8-system_of_objects}
|
|
|
|
|
|
Под системой $S$ объектов мы будем иметь в виду (непустое) множество класс, или
|
|
|
область $D$ (или, может быть‚ несколько таких множеств) объектов‚ между которыми
|
|
|
установлены некоторые соотношения.
|
|
|
|
|
|
-Например, натуральный ряд (\textsection~\ref{sec:the_natural_numbers}) образует
|
|
|
-систему типа ${(D, 0, \vphantom{s}')}$‚ где $D$~---~множество, $0$~---~элемент
|
|
|
-множества $D$, а $'$~---~унарная операция над элементами множества $D$. Другой
|
|
|
-простой тип системы --- это ${(D, <)}$‚ где $D$~---~множество, а
|
|
|
-$<$~---~бинарное отношение между элементами этого множества.
|
|
|
+Например, натуральный ряд (\textsection~\ref{sec:6-the_natural_numbers})
|
|
|
+образует систему типа ${(D, 0, \vphantom{s}')}$‚ где $D$~---~множество,
|
|
|
+$0$~---~элемент множества $D$, а $'$~---~унарная операция над элементами
|
|
|
+множества $D$. Другой простой тип системы --- это ${(D, \OLprec)}$‚ где
|
|
|
+$D$~---~множество, а $\OLprec$~---~бинарное отношение между элементами этого
|
|
|
+множества.
|
|
|
%% ======================= Страница 30 =======================
|
|
|
|
|
|
Если об объектах системы мы ничего не знаем, кроме соотношений, имеющихся между
|
|
|
@@ -1475,11 +1476,11 @@ ${(D, 0, \vphantom{s}')}$ просто изоморфны, если сущест
|
|
|
соответствует $0_{2}$ (что обозначается через ${0_{1}\leftrightarrow 0_{2}}$), и
|
|
|
если ${m_{1}\leftrightarrow m_{2}}$‚ то
|
|
|
${m_{1}\vphantom{s}'\vphantom{s}_{1}\leftrightarrow
|
|
|
- m_{2}\vphantom{s}'\vphantom{s}_{2}}$. Две системы ${(D_{1}, <_{1})}$ и
|
|
|
-${(D_{2}, <_{2})}$ типа ${(D, <)}$ изоморфны, если существует
|
|
|
+ m_{2}\vphantom{s}'\vphantom{s}_{2}}$. Две системы ${(D_{1}, \OLprec_{1})}$ и
|
|
|
+${(D_{2}, \OLprec_{2})}$ типа ${(D, \OLprec)}$ изоморфны, если существует
|
|
|
\isom-соответствие между $D_{1}$ и $D_{2}$, при котором, если
|
|
|
${m_{1}\leftrightarrow m_{2}}$ и ${n_{1}\leftrightarrow n_{2}}$, то
|
|
|
-${m_{1}<_{1}n_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${m_{2}<_{2}n_{2}}$.
|
|
|
+${m_{1}\OLprec_{1}n_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${m_{2}\OLprec_{2}n_{2}}$.
|
|
|
|
|
|
Обратно, любые две изоморфные системы служат представлениями одной и той же
|
|
|
абстрактной системы, которая получается путём абстрагирования от любой из них,
|
|
|
@@ -1511,7 +1512,7 @@ ${m_{1}<_{1}n_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${m_{2}<_{
|
|
|
следующим за каким-либо элементом другой последовательности.
|
|
|
|
|
|
Каждый из этих трёх примеров можно очевидным образом изменить так, что получится
|
|
|
-система типа ${(D, <)}$. В третьем примере мы при этом будем рассматривать
|
|
|
+система типа ${(D, \OLprec)}$. В третьем примере мы при этом будем рассматривать
|
|
|
элементы в порядке, показанном в строке~\eqref{eq:p8-1}, и называть их
|
|
|
\emph{ординальными числами}, \emph{м{\'e}ньшими чем} $2\omega$ (из канторовской
|
|
|
теории ординальных чисел).}
|
|
|
@@ -1522,24 +1523,24 @@ ${m_{1}<_{1}n_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${m_{2}<_{
|
|
|
системами невозможно установить \isom-соответствия. Система ординальных чисел,
|
|
|
меньших $2\omega$, не изоморфна натуральному ряду, потому что при установлении
|
|
|
\isom-соответствия невозможно сохранить операцию ,,следующий за`` $'$ (или
|
|
|
-отношение порядка $<$).
|
|
|
+отношение порядка $\OLprec$).
|
|
|
|
|
|
В этом параграфе мы будем употреблять <<$S$>> для обозначения системы и <<$D$>>
|
|
|
для обозначения её множества объектов, в случае когда система имеет одно такое
|
|
|
множество. Часто можно, не боясь путаницы, упростить обозначения, пользуясь
|
|
|
одной буквой в обеих целях. Например, это можно сделать, если понимать
|
|
|
натуральный ряд $\OLNaturalNumSet$ как выше. Этого нельзя сделать, если речь
|
|
|
-идёт о системе ${(\OLNaturalNumSet, <)}$, состоящей из натурального ряда чисел,
|
|
|
-причём чётные (нечётные) числа упорядочены, как обычно, и все чётные числа
|
|
|
-предшествуют всем нечётным. (Эта система служит представлением для ординальных
|
|
|
-чисел, меньших $2\omega$.)
|
|
|
+идёт о системе ${(\OLNaturalNumSet, \OLprec)}$, состоящей из натурального ряда
|
|
|
+чисел, причём чётные (нечётные) числа упорядочены, как обычно, и все чётные
|
|
|
+числа предшествуют всем нечётным. (Эта система служит представлением для
|
|
|
+ординальных чисел, меньших $2\omega$.)
|
|
|
|
|
|
При введении в математику систем объектов можно исходить из двух противоположных
|
|
|
методов, или точек зрения (см. Гильберт~\cite{hilbert1900}).
|
|
|
|
|
|
\emph{Генетический}, или \emph{конструктивный}, метод иллюстрируется
|
|
|
индуктивным определением натуральных
|
|
|
-чисел~(\textsection~\ref{sec:the_natural_numbers}). В этой связи натуральные
|
|
|
+чисел~(\textsection~\ref{sec:6-the_natural_numbers}). В этой связи натуральные
|
|
|
числа рассматриваются как порождаемые (generated), или конструируемые в
|
|
|
некотором определённом порядке. (Этим не исключается их абстрактное
|
|
|
рассмотрение.)
|
|
|
@@ -1659,8 +1660,8 @@ $'$ называются \emph{первоначальными}, или \emph{т
|
|
|
указано только, что $D$~---~множество, $0$~---~предмет, принадлежащий $D$,
|
|
|
$'$~--- операция над элементом $D$; иначе говоря, заранее должны быть определены
|
|
|
только грамматические категории, к которым принадлежат <<$D$>>, <<$0$>> и
|
|
|
-<<$'$>>. Аналогично для системы вида ${(D, <)}$ неопределяемыми понятиями
|
|
|
-являются или $<$, или $D$ и $<$.
|
|
|
+<<$'$>>. Аналогично для системы вида ${(D, \OLprec)}$ неопределяемыми понятиями
|
|
|
+являются или $\OLprec$, или $D$ и $\OLprec$.
|
|
|
%%
|
|
|
%% исправлен типографский брак:
|
|
|
%% в оригинале последний символ "<" в предыдущем абзаце не пропечатан
|
|
|
@@ -1681,33 +1682,34 @@ $'$~--- операция над элементом $D$; иначе говоря,
|
|
|
различных систем. Знаменитым примером является ,,теория групп`` из алгебры.
|
|
|
|
|
|
В качестве другого примера рассмотрим следующие аксиомы
|
|
|
-\emph{линейного порядка}, которые применяются к системам типа ${(D, <)}$:
|
|
|
+\emph{линейного порядка}, которые применяются к системам типа ${(D, \OLprec)}$:
|
|
|
|
|
|
-L1.\itemlabel{axiom:p8-l1}{L1}~Если ${m<n}$ и ${n<p}$‚ то ${m<p}$.
|
|
|
+L1.\itemlabel{axiom:p8-l1}{L1}~Если ${m\OLprec n}$ и ${n\OLprec p}$‚ то
|
|
|
+${m\OLprec p}$.
|
|
|
L2.\itemlabel{axiom:p8-l2}{L2}~Имеет место не более чем одно из соотношений
|
|
|
-${m<n}$, ${m=n}$‚ ${m>n}$.
|
|
|
+${m\OLprec n}$, ${m=n}$‚ ${m\OLsucc n}$.
|
|
|
L3.\itemlabel{axiom:p8-l3}{L3}~Имеет место по крайней мере одно из соотношений
|
|
|
-${m<n}$, ${m=n}$‚ ${m>n}$.
|
|
|
+${m\OLprec n}$, ${m=n}$‚ ${m\OLsucc n}$.
|
|
|
|
|
|
-Здесь ${m>n}$ означает ${n<m}$. Переменные $m$, $n$, $p$ относятся к
|
|
|
-произвольным элементам области $D$. Эти аксиомы выполняются, если в качестве $D$
|
|
|
-взять натуральный ряд, или множество ординальных чисел, меньших $2\omega$, или
|
|
|
-множество целых, или рациональных, или действительных чисел, а в качестве
|
|
|
-$<$~---~обычное отношение порядка для каждой из этих областей, а также для
|
|
|
+Здесь ${m\OLsucc n}$ означает ${n\OLprec m}$. Переменные $m$, $n$, $p$ относятся
|
|
|
+к произвольным элементам области $D$. Эти аксиомы выполняются, если в качестве
|
|
|
+$D$ взять натуральный ряд, или множество ординальных чисел, меньших $2\omega$,
|
|
|
+или множество целых, или рациональных, или действительных чисел, а в качестве
|
|
|
+$\OLprec$~---~обычное отношение порядка для каждой из этих областей, а также для
|
|
|
многих других систем. Опуская~\ref{axiom:p8-l3}, получаем множество аксиом
|
|
|
\emph{частичного порядка}.
|
|
|
|
|
|
\section{Арифметика и анализ}
|
|
|
-\label{sec:number_theory_vs_analysis}
|
|
|
+\label{sec:9-number_theory_vs_analysis}
|
|
|
|
|
|
\emph{Арифметику}, или \emph{теорию чисел}, можно рассматривать как отрасль
|
|
|
математики, в которой изучаются натуральные числа и другие (категорически
|
|
|
определённые) счётные системы объектов, например целые или рациональные числа.
|
|
|
Всякую конкретную систему такого рода (или соответствующую этой системе теорию)
|
|
|
можно называть \emph{арифметикой} (an arithmetic). Рассмотрение обычно
|
|
|
-происходит абстрактно (\textsection~\ref{sec:system_of_objects}). Объекты обычно
|
|
|
-рассматриваются как \emph{индивидуумы} (т.~е. без анализа их построения из
|
|
|
-других объектов), исключая некоторые случаи (например, основные свойства
|
|
|
+происходит абстрактно (\textsection~\ref{sec:8-system_of_objects}). Объекты
|
|
|
+обычно рассматриваются как \emph{индивидуумы} (т.~е. без анализа их построения
|
|
|
+из других объектов), исключая некоторые случаи (например, основные свойства
|
|
|
неотрицательных рациональных чисел изучаются при помощи представления их в виде
|
|
|
упорядоченных пар натуральных чисел).
|
|
|
|
|
|
@@ -1762,15 +1764,15 @@ $\alephZero$ (а иногда конечные), \emph{анализ} имеет
|
|
|
быть дано несколькими способами. Все они приводят к одной и той же абстрактной
|
|
|
структуре континуума действительных чисел. Другими словами, то, что даёт каждое
|
|
|
из этих определений, является
|
|
|
-представлением~(\textsection~\ref{sec:system_of_objects}) действительных чисел
|
|
|
+представлением~(\textsection~\ref{sec:8-system_of_objects}) действительных чисел
|
|
|
посредством объектов, построенных (прямо или косвенно) из натуральных чисел.
|
|
|
|
|
|
Мы уже пользовались представлениями действительных чисел посредством бесконечных
|
|
|
десятичных или двоичных
|
|
|
-дробей~(\textsection~\ref{sec:cantor_s_diagonal_method},~%
|
|
|
-\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}). В принципе можно пользоваться любым
|
|
|
+дробей~(\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method},~%
|
|
|
+\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}). В принципе можно пользоваться любым
|
|
|
множеством, эквивалентность которого множеству таких дробей
|
|
|
-доказана~(см.~\textsection~\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}), например
|
|
|
+доказана~(см.~\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}), например
|
|
|
множеством всех множеств натуральных чисел. Но на практике выбирают такие
|
|
|
представления, которые упрощают определения свойств действительных чисел.
|
|
|
|
|
|
@@ -1820,7 +1822,7 @@ ${\OLRealNumSet\OLsetminus\mathbf{x}}$ имеет наименьший элем
|
|
|
|
|
|
Рациональные числа среди действительных образуют подсистему
|
|
|
$\setOfSets{C}_{\OLRealNumSet}$ системы $\setOfSets{C}$,
|
|
|
-изоморфную~(\textsection~\ref{sec:system_of_objects}) первоначальной системе
|
|
|
+изоморфную~(\textsection~\ref{sec:8-system_of_objects}) первоначальной системе
|
|
|
$\OLRealNumSet$ рациональных чисел; это подтверждается каждый раз, когда с
|
|
|
помощью описанного представления для действительных чисел определяется некоторое
|
|
|
понятие, которое первоначально было определено для чисел рациональных.
|
|
|
@@ -1838,15 +1840,15 @@ ${\OLRealNumSet\OLsetminus\boldsymbol{\sqrt{2}}}$ состоит из полож
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
Отношение порядка для действительных чисел определяется таким образом:
|
|
|
-${\mathbf{x}\boldsymbol{<}\mathbf{y}}$, если существует рациональное число $r$,
|
|
|
+${\mathbf{x}\OLprecB\mathbf{y}}$, если существует рациональное число $r$,
|
|
|
которое входит в $\mathbf{y}$, но не в $\mathbf{x}$. (Теперь докажите, что
|
|
|
-$\setOfSets{C}$ линейно упорядочено посредством отношения $\boldsymbol{<}$ и что
|
|
|
-система ${(\setOfSets{C}_{\OLRealNumSet}, \boldsymbol{<})}$ изоморфна системе
|
|
|
+$\setOfSets{C}$ линейно упорядочено посредством отношения $\OLprecB$ и что
|
|
|
+система ${(\setOfSets{C}_{\OLRealNumSet}, \OLprecB)}$ изоморфна системе
|
|
|
${(\OLRealNumSet, <)}$.)
|
|
|
|
|
|
Действительное число $\mathbf{v}$ называется \emph{верхней гранью} множества
|
|
|
$\setOfSets{M}$ действительных чисел, если
|
|
|
-${\mathbf{v}\boldsymbol{\geqslant}\mathbf{x}}$ для каждого действительного числа
|
|
|
+${\mathbf{v}\OLsucceqB\mathbf{x}}$ для каждого действительного числа
|
|
|
$\mathbf{x}$, принадлежащего $\setOfSets{M}$.
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{(A)}{theorem:p9-A}{(A)}
|
|
|
@@ -1862,12 +1864,12 @@ $\mathbf{x}$, принадлежащего $\setOfSets{M}$.
|
|
|
определяем так: рациональное число ${r\in\mathbf{u}}$ тогда и только тогда,
|
|
|
когда ${r\in\mathbf{x}}$ для некоторого действительного числа
|
|
|
${\mathbf{x}\in\setOfSets{M}}$. В
|
|
|
-обозначениях~\textsection~\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}
|
|
|
+обозначениях~\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}
|
|
|
${\mathbf{u}=\OLunion{\setOfSets{M}}}$. Читателю предоставляется доказать, что
|
|
|
${\mathbf{u}=\OLsup\setOfSets{M}}$. (Доказать, что
|
|
|
$\mathbf{u}$~---~действительное число, $\mathbf{u}$ является верхней гранью
|
|
|
множества $\setOfSets{M}$ и $\setOfSets{M}$ не имеет верхней грани
|
|
|
-${\mathbf{v}\boldsymbol{<}\mathbf{u}}$.)
|
|
|
+${\mathbf{v}\OLprecB\mathbf{u}}$.)
|
|
|
%%
|
|
|
%% исправлена опечатка:
|
|
|
%% в оригинале последний в абзаце символ "<" выполнен нормальным шрифтом
|
|
|
@@ -1903,9 +1905,9 @@ ${r+s}$ для ${r\in\mathbf{x}}$ и ${s\in\mathbf{y}}$; пусть
|
|
|
${\mathbf{x}\boldsymbol{-}\mathbf{y}=%
|
|
|
\mathbf{x}\boldsymbol{+}\left(\boldsymbol{-}\mathbf{y}\right)}$; наконец, пусть
|
|
|
${\boldsymbol{|}\mathbf{x}\boldsymbol{|}=\mathbf{x}}$, если
|
|
|
-${\mathbf{x}\boldsymbol{\geqslant}\boldsymbol{0}}$, и
|
|
|
+${\mathbf{x}\OLsucceqB\boldsymbol{0}}$, и
|
|
|
${\boldsymbol{|}\mathbf{x}\boldsymbol{|}=\boldsymbol{-}\mathbf{x}}$, если
|
|
|
-${\mathbf{x}\boldsymbol{<}\boldsymbol{0}}$. (Не следует путать $\boldsymbol{+}$
|
|
|
+${\mathbf{x}\OLprecB\boldsymbol{0}}$. (Не следует путать $\boldsymbol{+}$
|
|
|
и $\boldsymbol{-}$ со сложением и вычитанием множеств, которые обозначаются
|
|
|
через $\OLcup$ и $\OLsetminus$.)
|
|
|
|
|
|
@@ -1914,11 +1916,11 @@ $\ldots$,~$\mathbf{a}_{n}$,~$\ldots$ действительных чисел и
|
|
|
$\mathbf{a}$; мы говорим, что ${\lim\mathbf{a}_{n}=\mathbf{a}}$‚
|
|
|
%% ======================= Страница 36 =======================
|
|
|
если для каждого действительного числа
|
|
|
-${\OLepsilon\boldsymbol{>}\boldsymbol{0}}$ найдётся натуральное число
|
|
|
+${\OLepsilon\OLsuccB\boldsymbol{0}}$ найдётся натуральное число
|
|
|
$n_{\OLepsilon}$, такое, что для каждого ${n>n_{\OLepsilon}}$ имеет место
|
|
|
${\boldsymbol{|}%
|
|
|
\mathbf{a}_{n}\boldsymbol{-}\mathbf{a}%
|
|
|
- \boldsymbol{|}\boldsymbol{<}\OLepsilon}$. Например,
|
|
|
+ \boldsymbol{|}\OLprecB\OLepsilon}$. Например,
|
|
|
${\lim\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}^{n}}=\boldsymbol{0}}$
|
|
|
(где ${\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}^{n}}}$~---~действительное число,
|
|
|
соответствующее рациональному числу ${\frac{1}{2^{n}}}$).
|
|
|
@@ -1933,7 +1935,7 @@ ${\lim\mathbf{a}_{n}=\mathbf{u}}$.
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Доказательство.}{theorem:p9-B-proof}{theorem:p9-B-proof}
|
|
|
Пусть $\setOfSets{M}_{n}$ есть множество действительных чисел, принадлежащих
|
|
|
-$\setOfSets{M}$ и ${\boldsymbol{>}%
|
|
|
+$\setOfSets{M}$ и ${\OLsuccB%
|
|
|
\mathbf{u}\boldsymbol{-}\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}^{n}}}$. (Доказать,
|
|
|
что $\setOfSets{M}_{n}$ непусто.) Пусть $\mathbf{a}_{n}$~---~любое
|
|
|
действительное число, выбранное из $\setOfSets{M}_{n}$. (Доказать, что
|
|
|
@@ -1946,7 +1948,7 @@ ${\lim\mathbf{a}_{n}=\mathbf{u}}$.)
|
|
|
объектов арифметики.
|
|
|
|
|
|
\section{Функции}
|
|
|
-\label{sec:functions}
|
|
|
+\label{sec:10-functions}
|
|
|
|
|
|
В самом общем смысле (однозначная) \emph{функция} $f$, или ${f(x)}$, или
|
|
|
${y=f(x)}$ \emph{от одной переменной} $x$~---~это соответствие, в силу которого
|
|
|
@@ -2125,30 +2127,295 @@ $x$&$0$&\multicolumn{1}{|c|}{$1$}&&&$x$&$0$&%
|
|
|
Тогда по второй таблице ${0\cdot 0=0\cdot 1=1\cdot 0=0}$ и ${1\cdot 1=1}$.
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
+%% ======================= Страница 39 =======================
|
|
|
+
|
|
|
\chapter{Критика математических утверждений}
|
|
|
-\label{chap:a_critique_of_mathematical_reasons}
|
|
|
+\label{chap:iii-a_critique_of_mathematical_reasons}
|
|
|
|
|
|
\section{Парадоксы}
|
|
|
-\label{sec:the_paradoxes}
|
|
|
+\label{sec:11-the_paradoxes}
|
|
|
+
|
|
|
+В этой главе мы постараемся изложить, какова была та ситуация в области
|
|
|
+оснований математики, которая породила исследования, являющиеся темой остальной
|
|
|
+части этой книги; речь будет идти о ситуации, предшествовавшей этим
|
|
|
+исследованиям (но не происшедшим с тех пор переменам).
|
|
|
+
|
|
|
+При арифметизации анализа~(\textsection~\ref{sec:9-number_theory_vs_analysis})
|
|
|
+бесконечная совокупность (например, рациональных чисел, образующих нижнюю
|
|
|
+половину дедекиндова сечения, или цифр последовательности, образующих
|
|
|
+бесконечную десятичную дробь,~и~т.~п.) составляла один объект, и множество всех
|
|
|
+таких объектов рассматривалось как новая совокупность. Отсюда напрашивался
|
|
|
+переход к канторовской общей теории множеств.
|
|
|
+
|
|
|
+Едва окрепли эти теории, как законность всего их построения была подвергнута
|
|
|
+сомнению благодаря открытию парадоксов, или антиномий, на окраинах теории
|
|
|
+множеств.
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{(A)}{paradox:p11-A}{(A)}
|
|
|
+\emph{Парадокс Бурали-Форти}~\cite{buraliforti1897}‚ известный также Кантору
|
|
|
+ещё в 1895~г., возник в канторовской теории трансфинитных ординальных
|
|
|
+чисел~\footnote{Речь идёт о парадоксе, к которому приводит рассмотрение
|
|
|
+порядкового типа множества всех порядковых чисел. Ср. Хаусдорф, Теория
|
|
|
+множеств~\cite[стр. 65 перевода на русский язык]{hausdorff1927}~---~%
|
|
|
+\emph{Прим. перев.}}.
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлена опечатка
|
|
|
+%% в оригинале "трасфинитных"
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% в примечании добавлено "перевода на русский язык"
|
|
|
+%% TODO: подумать об исправлении. Возможно стоит выделить перевод
|
|
|
+%% в отдельную запись библиографии
|
|
|
+%%
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
-stub
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{(B)}{paradox:p11-B}{(B)}
|
|
|
+Несколько аналогичных антиномий встречается в теории трансфинитных
|
|
|
+кардинальных чисел, в частности \emph{парадокс Кантора} (найденный им
|
|
|
+в~1899~г.). Рассмотрим множество всех множеств; обозначим его
|
|
|
+через~$\setOfSets{M}$. По теореме Кантора~(теорема~\ref{theorem:C}~%
|
|
|
+\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals})
|
|
|
+${\OLcard{\OLpowerset{\setOfSets{M}}}>\OLcard{\setOfSets{M}}}$. Кроме того, так
|
|
|
+как $\setOfSets{M}$ есть множество всех множеств, а
|
|
|
+${\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$~---~некоторое множество множеств (именно,
|
|
|
+множество всех подмножеств $\setOfSets{M}$), то
|
|
|
+${\OLpowerset{\setOfSets{M}}\subseteq \setOfSets{M}}$. Поэтому, в силу
|
|
|
+следствия~\ref{theorem:A-corollary-A} из теоремы~\ref{theorem:A},
|
|
|
+${\OLcard{\OLpowerset{\setOfSets{M}}}\leqslant\OLcard{\setOfSets{M}}}$‚ а
|
|
|
+значит, в силу~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}, неверно, что
|
|
|
+${\OLcard{\OLpowerset{\setOfSets{M}}}>\OLcard{\setOfSets{M}}}$. Итак, мы
|
|
|
+доказали как то, что
|
|
|
+${\OLcard{\OLpowerset{\setOfSets{M}}}>\OLcard{\setOfSets{M}}}$, так и то, что
|
|
|
+это неверно.
|
|
|
+
|
|
|
+Отправляясь от того же самого $\setOfSets{M}$, мы можем получить парадокс также
|
|
|
+следующим образом. Для каждого элемента $M$ из $\setOfSets{M}$, т.~е. для
|
|
|
+произвольного множества $M$ по теореме~\ref{theorem:C} найдётся другой элемент
|
|
|
+$M'$ из $\setOfSets{M}$, а именно ${\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$, такой, что
|
|
|
+${\OLcard{M}<\OLcard{M'}}$. Отсюда, по теореме~\ref{theorem:D},
|
|
|
+${\OLcard{M}<\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}}$ для любого элемента $M$ из
|
|
|
+$\setOfSets{M}$. Но $\setOfSets{M}$~---~множество всех множеств, так что
|
|
|
+${\OLunion{\setOfSets{M}}}$ является одним из его элементов. Выбирая этот
|
|
|
+элемент в качестве $M$ для только что доказанного неравенства, получаем
|
|
|
+${\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}<\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}}$. Но в
|
|
|
+силу~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}, для любого множества $M$ неверно,
|
|
|
+что ${\OLcard{M}<\OLcard{M}}$; поэтому, в частности, неверно, что
|
|
|
+${\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}<\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}}$.
|
|
|
+%% ======================= Страница 40 =======================
|
|
|
+
|
|
|
+Парадокс с ${\OLunion{\setOfSets{M}}}$ получится таким же образом, если,
|
|
|
+отправляясь от множества всех мощностей, мы выберем в качестве $\setOfSets{M}$
|
|
|
+множество, содержащее для каждой мощности некоторое множество $M$ этой мощности.
|
|
|
+
|
|
|
+Если использованное здесь понятие множеств произвольных элементов кажется
|
|
|
+слишком расплывчатым и потому нематематическим, можно условиться, что
|
|
|
+допустимыми элементами множеств являются:
|
|
|
+(a\textsubscript{1})\itemlabel{list:p11-l1-a1}{(a\textsubscript{1})}~натуральные
|
|
|
+числа ${0,\; 1,\; 2,\;\ldots}$ (или
|
|
|
+(a\textsubscript{2})\itemlabel{list:p11-l1-a2}{(a\textsubscript{2})}~пустое
|
|
|
+множество $\OLemptyset$) и
|
|
|
+(b)\itemlabel{list:p11-l1-b}{(b)}~всякое множество, элементы которого являются
|
|
|
+допустимыми. При этом условии предыдущие парадоксы и следующий получаются, как
|
|
|
+прежде (с~\ref{list:p11-l1-a1}, см. Генцен~\cite{gentzen1936}).
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{(C)}{paradox:p11-C}{(C)}
|
|
|
+\emph{Парадокс Рассела}~\cite{russel1902-1903}‚ независимо от него открытый также
|
|
|
+Цермело, связан с множеством всех множеств, которые не являются элементами самих
|
|
|
+себя. Обозначим это множество через $T$. Является ли $T$ элементом самого себя?
|
|
|
+
|
|
|
+Допустим, что $T$ является элементом самого себя, т.~е.~${T\in T}$. Согласно
|
|
|
+этому допущению, $T$ является элементом~$T$, т.~е.~$T$~---~элемент множества
|
|
|
+всех множеств, не являющихся элементами самих себя, т.~е.~$T$~---~это множество,
|
|
|
+которое не является элементом самого себя, т.~е.~${T\OLnotin T}$. Это
|
|
|
+противоречит допущению~${T\in T}$. Пока что ещё нет парадокса, потому что
|
|
|
+противоречие между ${T\in T}$ и ${T\OLnotin T}$ возникло только в результате
|
|
|
+допущения ${T\in T}$. Посредством reductio ad absurdum мы заключаем, что это
|
|
|
+допущение ложно. Итак, полностью, без каких-либо допущений, доказано,
|
|
|
+что~${T\OLnotin T}$.
|
|
|
+
|
|
|
+Продолжим рассуждения, отправляясь теперь от полученного
|
|
|
+результата~${T\OLnotin T}$. Этот результат состоит в том, что $T$~---~не элемент
|
|
|
+множества всех множеств, которые не являются элементами самих себя,
|
|
|
+т.~е.~$T$~---~это не множество, которое не является элементом самого
|
|
|
+себя~\footnote{Без этого снятия двойного отрицания можно
|
|
|
+обойтись.~---~\emph{Прим. перев.}}, т.~е.~$T$~---~это множество, которое
|
|
|
+является элементом самого себя, т.~е.~${T\in T}$. Теперь установлено как то,
|
|
|
+что~${T\OLnotin T}$, так и то, что~${T\in T}$, и мы получили парадокс.
|
|
|
+
|
|
|
+Этот парадокс можно следующим образом извлечь из парадокса Кантора. Если мы
|
|
|
+условимся, что допустимыми элементами являются
|
|
|
+только~\ref{list:p11-l1-a2}~и~\ref{list:p11-l1-b}, так что элементами множеств
|
|
|
+могут служить только множества, то, коль скоро $\setOfSets{M}$ является
|
|
|
+множеством всех множеств,~${\OLpowerset{\setOfSets{M}}=\setOfSets{M}}$ и
|
|
|
+множество $T$ парадокса Рассела получается, если доказательство
|
|
|
+леммы~\ref{lemma:A}~\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}
|
|
|
+применить к тождественному \isom-соответствию
|
|
|
+${\setOfSets{M}\sim\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$, при котором каждый элемент
|
|
|
+множества $\setOfSets{M}$ соответствует в ${\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$ самому
|
|
|
+себе. Популяризируя этот парадокс, Рассел~\cite{russel1919} рассматривает
|
|
|
+деревенского парикмахера, который бреет всех тех и только тех жителей своей
|
|
|
+деревни, которые не бреются сами. Бреет ли он самого себя? (Конечно, здесь мы не
|
|
|
+можем избежать парадокса просто путём заключения, что никогда не было такого
|
|
|
+парикмахера~\footnote{Но зато удаётся избежать парадокса путём заключения, что
|
|
|
+такого парикмахера вообще не может существовать, и это заключение как раз
|
|
|
+доказывается этим парадоксом, --- только и всего.~---~\emph{Прим. перев.}}.)
|
|
|
+
|
|
|
+Каждый муниципалитет в Голландии должен иметь мэра, и два разных муниципалитета
|
|
|
+не могут иметь одного и того же мэра. Иногда оказывается, что мэр не проживает в
|
|
|
+своём муниципалитете. Допустим, что издан закон, по которому некоторая
|
|
|
+территория $S$ выделяется исключительно для таких мэров, которые не живут в
|
|
|
+своих муниципалитетах, и предписывающий всем этим мэрам поселиться на этой
|
|
|
+территории. Допустим, далее, что этих мэров оказалось столько, что $S$ образует
|
|
|
+муниципалитет. Где должен проживать мэр $S$?
|
|
|
+(Маннури,~ср.~ван~Данциг~\cite{dantzig1948}.)
|
|
|
+
|
|
|
+Можно говорить также о библиотекаре конгресса, составляющем для библиотеки
|
|
|
+конгресса библиографию всех тех библиографий, имеющихся в библиотеке конгресса,
|
|
|
+которые не перечисляют самих себя (Гонсет~\cite{gonseth1933}).
|
|
|
+%% ======================= Страница 41 =======================
|
|
|
+
|
|
|
+Рассел указал также, как можно изложить его парадокс посредством логической
|
|
|
+терминологии вместо теоретико-множественной. Свойство называется
|
|
|
+,,предикабельным``, если оно имеет место по отношению к самому себе, и
|
|
|
+,,импредикабельным``, если оно не имеет места по отношению к самому себе.
|
|
|
+Например, свойство ,,абстрактно`` является абстрактным, а потому предикабельным;
|
|
|
+но свойство ,,конкретно`` также является абстрактным, а не конкретным и потому
|
|
|
+импредикабельно. Каково свойство ,,импредикабельно``?
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{(D)}{paradox:p11-D}{(D)}
|
|
|
+\emph{Парадокс Ришара}~\cite{richard1905}, полученный по существу также
|
|
|
+Диксоном~\cite{dixon1906}, связан с понятием конечной определимости. Для
|
|
|
+конкретности мы будем иметь в виду конечную определимость в некотором
|
|
|
+языке~---~например русском\footnote{В подлиннике речь идёт об английском
|
|
|
+языке.~---~\emph{Прим. перев.}} --- с заранее данными алфавитом, запасом слов и
|
|
|
+грамматикой. Алфавит мы будем считать состоящим из пробела (для разделения
|
|
|
+слов), 33 русских букв и запятой. Под ,,выражением`` этого языка мы будем
|
|
|
+понимать просто произвольную последовательность из этих 35 символов, не
|
|
|
+начинающуюся с пробела. Все такие выражения можно пересчитать при помощи того
|
|
|
+метода, которым мы воспользовались в
|
|
|
+конце~\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets} для пересчёта всех алгебраических
|
|
|
+уравнений.
|
|
|
+
|
|
|
+Выражение может служить определением арифметической функции от одной переменной
|
|
|
+(т.~е. функции от натурального числа, принимающей в качестве значений только
|
|
|
+натуральные числа). Опуская в упомянутом выше пересчёте всех выражений русского
|
|
|
+языка те выражения, которые не являются определениями арифметических функций, мы
|
|
|
+получаем некоторый пересчёт ${E_{0}, E_{1}, E_{2}, \ldots}$ тех выражений,
|
|
|
+которые служат такого рода определениями (а сами определяемые функции пусть
|
|
|
+будут соответственно ${f_{0}(n), f_{1}(n), f_{2}(n), \ldots}$).
|
|
|
+
|
|
|
+Рассмотрим теперь следующее выражение: <<Функция, значение которой для любого
|
|
|
+данного натурального числа в качестве аргумента равно увеличенному на единицу
|
|
|
+значению для этого же аргумента той функции, которая определяется выражением,
|
|
|
+соответствующим в только что упомянутом пересчёте этому натуральному числу>>.
|
|
|
+
|
|
|
+В этом заключённом в кавычки выражении упоминается вышеописанный пересчёт всех
|
|
|
+выражений русского языка, служащих определением арифметической функции, но не
|
|
|
+даётся определения этого пересчёта. Однако нетрудно в качестве части взятого в
|
|
|
+кавычки выражения полностью выписать определение этого пересчёта. Тогда мы
|
|
|
+получим определение некоторой функции (короче говоря, функции ${f_{n}(n)+1}$)
|
|
|
+посредством некоторого выражения русского языка. Эта функция, в силу её
|
|
|
+определения, должна отличаться от каждой функции, определимой посредством
|
|
|
+какого-либо выражения русского языка.
|
|
|
+
|
|
|
+Этот парадокс представляет особый интерес ввиду его применимости к таким языкам,
|
|
|
+как русский, и в связи с тем, что он так сходен с канторовским доказательством
|
|
|
+неперечислимости всех арифметических
|
|
|
+функций~(\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method}). Ришар дал этот
|
|
|
+парадокс в форме, связанной с определением действительного числа, параллельно
|
|
|
+канторовскому доказательству неперечислимости всех действительных чисел.
|
|
|
+
|
|
|
+Рассмотрим выражение <<наименьшее натуральное число, которое нельзя назвать
|
|
|
+посредством меньше чем тридцати трёх слогов>>. Это выражение при помощи тридцати
|
|
|
+двух слогов называет некоторое число, которое по определению нельзя назвать
|
|
|
+посредством меньше чем тридцати трёх слогов! (Берри~\cite{berry1906})
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{(E)}{paradox:p11-E}{(E)}
|
|
|
+Эти современные парадоксы, более или менее связанные с теорией множеств,
|
|
|
+родственны одному очень древнему.
|
|
|
+
|
|
|
+Высказывание <<все критяне~---~лжецы\ldots>> приписывается критскому философу
|
|
|
+Эпимениду (шестой век до~н.~э.). (Это высказывание приводится апостолом
|
|
|
+%% ======================= Страница 42 =======================
|
|
|
+Павлом в <<Послании к Титу>> I, 12, как принадлежащее одному критскому
|
|
|
+<<пророку>>, которого раннее христианство, согласно позднейшим исследованиям,
|
|
|
+отождествляло с Эпименидом. См. Вейль~\cite[стр.228]{weyl1949}.)
|
|
|
+
|
|
|
+Будем различать два рода лжецов: лжецы первого рода, которые иногда говорят
|
|
|
+правду, и лжецы второго рода, которые говорят только ложь. Будем понимать
|
|
|
+высказывание Эпименида в том смысле, что все критяне являются лжецами второго
|
|
|
+рода. Допустим, что это высказывание истинно. В силу его смысла и того факта,
|
|
|
+что Эпименид~---~критянин, оно должно быть тогда ложным. Получилось
|
|
|
+противоречие; отсюда путём reductio ad absurdum заключаем, что это высказывание
|
|
|
+ложно. Из ложности этого высказывания вытекает, что существовал или будет
|
|
|
+существовать некоторый критянин, который иногда говорит правду. Если бы это
|
|
|
+высказывание было единственным, которое когда-либо произносил хоть один
|
|
|
+критянин, мы получили бы парадокс. Логически неудовлетворительно то, что
|
|
|
+парадокса можно избежать только с помощью исторического предположения, что
|
|
|
+существовал критянин, который иногда говорил правду.
|
|
|
+
|
|
|
+\emph{Парадокс Эпименида}, известный также как \emph{парадокс лжеца},
|
|
|
+встречается также в сильной форме, когда некоторое лицо говорит просто
|
|
|
+<<высказывание, которое я сейчас произношу, ложно>>. Стоящее в кавычках
|
|
|
+высказывание не может быть без противоречия ни истинным, ни ложным. Этот вариант
|
|
|
+парадокса приписывается Эвбулиду (четвёртый век до~н.~э.) и был хорошо известен
|
|
|
+в древности. (См. Рюстов\cite{rustow1910}.) Если высказывание <<все
|
|
|
+критяне~---~лжецы\ldots>> не принадлежит Эпимениду или первоначально не
|
|
|
+воспринималось как парадокс, то эвбулидовский вариант лжеца может быть древнее,
|
|
|
+чем вариант <<лгущего критянина>>.
|
|
|
+
|
|
|
+В древней <<дилемме крокодила>> крокодил украл ребёнка. Крокодил обещал отцу
|
|
|
+вернуть ребёнка, если отец угадает, вернёт ему крокодил ребёнка или нет. Что
|
|
|
+должен сделать крокодил, если отец скажет, что крокодил не вернёт ему ребёнка?
|
|
|
+(См.~Прандтль~\cite[стр.493]{prandtl1855}.)
|
|
|
+
|
|
|
+С этим парадоксом связана следующая загадка. Путешественник попал к людоедам.
|
|
|
+Они разрешают ему произнести какое-нибудь высказывание и ставят условие, что
|
|
|
+если его высказывание будет истинным, то его сварят, а если ложным~---~то его
|
|
|
+зажарят. Какое высказывание следует произнести путешественнику? (В другой форме
|
|
|
+эта загадка встречается в <<Дон Кихоте>> Сервантеса‚ 1605, II, 51.)
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
\section{Первые выводы из парадоксов}
|
|
|
-\label{sec:first_inferences_from_the_paradoxes}
|
|
|
+\label{sec:12-first_inferences_from_the_paradoxes}
|
|
|
+
|
|
|
+Читатель может испробовать свои силы, пытаясь разрешить эти парадоксы. За
|
|
|
+половину столетия с тех пор, как возникла эта проблема, не было найдено ни
|
|
|
+одного решения, с которым бы все согласились.
|
|
|
+
|
|
|
+Решение простейшего рода состояло бы в локализации ошибки наподобие ученической
|
|
|
+ошибки в алгебраическом или геометрическом упражнении на доказательство, без
|
|
|
+необходимости каких-либо дальнейших изменений.
|
|
|
+
|
|
|
+Мысль, что парадоксы следует решать в этом направлении, приходит на ум при
|
|
|
+первом знакомстве с ними. Можно предположить, что в
|
|
|
+парадоксах~\ref{paradox:p11-A}--\ref{paradox:p11-C} ошибка состоит в
|
|
|
+употреблении слишком обширных множеств, таких, как множество всех множеств или
|
|
|
+множество всех кардинальных чисел, или в разрешении рассматривать множества как
|
|
|
+элементы самих себя, что опять-таки служит возражением против множества всех
|
|
|
+множеств. Отвергать эти предположения не обязательно, но только их нельзя
|
|
|
+считать простыми. Они ставят нас перед проблемой перестройки теории множеств на
|
|
|
+совершенно изменённой основе, детали которой содержатся в них разве что в виде
|
|
|
+намёка. Например, если мы запретим множество всех кардинальных чисел, мы не
|
|
|
+сможем рассматривать множество всех натуральных чисел, пока нам не станет
|
|
|
+известно, что этими числами не исчерпываются все кардинальные числа, и та же
|
|
|
+самая
|
|
|
|
|
|
stub
|
|
|
|
|
|
\section{Интуиционизм}
|
|
|
-\label{sec:intuitionism}
|
|
|
+\label{sec:13-intuitionism}
|
|
|
|
|
|
stub
|
|
|
|
|
|
\section{Формализм}
|
|
|
-\label{sec:formalism}
|
|
|
+\label{sec:14-formalism}
|
|
|
|
|
|
stub
|
|
|
|
|
|
\section{Формализация теории}
|
|
|
-\label{sec:formalization_of_a_theory}
|
|
|
+\label{sec:15-formalization_of_a_theory}
|
|
|
|
|
|
stub
|
