|
|
@@ -520,7 +520,7 @@ $\OLcard{N}$ три отношения ${\OLcard{M}<\OLcard{N}}$, ${\OLcard{M}=\
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Теорема A.}{theorem:A}{A}
|
|
|
\emph{Если} ${M\sim N_{1}\subseteq N}$ и ${N\sim M_{1}\subseteq M}$‚ \emph{то}
|
|
|
${M\sim N}$. Другими словами, \emph{в
|
|
|
-случае}~\ref{case:p3-2}~~\ref{sec:3-cardinal_number}
|
|
|
+случае}~\ref{case:p3-2}~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}
|
|
|
\emph{обязательно} ${\OLcard{M}=\OLcard{N}}$. (Бернштейн~\cite{bernstein1898}.)
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
@@ -629,7 +629,7 @@ ${M'=N'\OLcup\{ a'\}}$, где ${a'\OLnotin N'}$ и ${N'\sim N}$.)
|
|
|
называть \emph{конечными кардинальными числами}, а множества с этими
|
|
|
кардинальными числами --- \emph{конечными множествами}. Следующие два
|
|
|
предложения будут доказаны в примере%
|
|
|
-~\ref{exmpl:p7-1}~~\ref{sec:7-mathematical_induction}
|
|
|
+~\ref{exmpl:p7-1}~\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction}
|
|
|
|
|
|
{\everypar{(1) }\itemlabel{prop:p4-1}{(1)} \emph{Для каждого натурального числа}
|
|
|
$n$ \emph{конечное кардинальное число} $n$ \emph{служит кардинальным числом для
|
|
|
@@ -644,7 +644,7 @@ ${M_{1}=M}$. Иначе говоря, \emph{конечное множество
|
|
|
|
|
|
Из этих двух предложений нетрудно усмотреть, что отношение равенства ${m=n}$ и
|
|
|
отношение порядка ${m<n}$, установленные для конечных кардинальных чисел
|
|
|
-определениями~~\ref{sec:3-cardinal_number}, согласуются с обычными
|
|
|
+определениями~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}, согласуются с обычными
|
|
|
отношениями равенства и порядка для натуральных чисел (в частности, ${n<n+1}$
|
|
|
для конечных кардинальных чисел). Итак, не возникнет никакой путаницы, если мы
|
|
|
отождествим натуральные числа с конечными кардинальными числами.
|
|
|
@@ -653,7 +653,7 @@ ${M_{1}=M}$. Иначе говоря, \emph{конечное множество
|
|
|
кардинальное число --- \emph{бесконечным} или \emph{трансфинитным кардинальным
|
|
|
числом}. Кардинальное число множества всех натуральных чисел, а следовательно, и
|
|
|
каждого счётно\nobreakdash-бесконечного
|
|
|
-множества~(~\ref{sec:1-enumerable_sets}) мы будем называть
|
|
|
+множества~(\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets}) мы будем называть
|
|
|
$\alephZero$ (читается <<алеф-нуль>>).
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Следствие B.}{theorem:A-corollary-B}{B}
|
|
|
@@ -759,7 +759,7 @@ P\OLcup\{ a_{0}, b_{0}, a_{1}, b_{1}, \ldots \}\text{.}
|
|
|
%
|
|
|
Первая из теорем этого параграфа является общей формулировкой той ситуации, с
|
|
|
которой мы встретились в последнем
|
|
|
-примере~~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method}. Для читателя будет
|
|
|
+примере~\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method}. Для читателя будет
|
|
|
полезно, если он попробует самостоятельно рассмотреть эту теорему или её лемму
|
|
|
для случая, когда $M$ --- небольшое конечное множество. Вторая теорема является
|
|
|
обобщением той ситуации, с которой мы столкнулись в
|
|
|
@@ -872,7 +872,7 @@ ${\OLunion{\setOfSets{M}}}$. Множество предметов, каждый
|
|
|
\emph{общей частью} множеств, принадлежащих $\setOfSets{M}$, и обозначается
|
|
|
посредством ${\OLintersec{\setOfSets{M}}}$\olNt{ (<<$\mathfrak{D}$>> от
|
|
|
немецкого <<Durchschnitt>>~\footnote{Пересечение.~---~\textit{Прим.~ред.}})}{}.
|
|
|
-Эти понятия совпадают с введёнными в~~\ref{sec:3-cardinal_number},
|
|
|
+Эти понятия совпадают с введёнными в~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number},
|
|
|
за исключением того, что теперь они выражены в виде операций над множеством
|
|
|
$\setOfSets{M}$ множеств $M$, которые складываются или перемножаются. Например,
|
|
|
${M\OLcup N=\OLunion{\{ M, N\}}}$, ${M\OLcap N=\OLintersec{\{ M, N\}}}$.
|
|
|
@@ -911,7 +911,7 @@ $\alephZero$,~$2^{\alephZero}$,~$2^{2^{\alephZero}}$,~$\ldots$, является
|
|
|
кардинальных чисел>>, которая утверждает, что возможности
|
|
|
${\OLcard{M}<\OLcard{N}}$, ${\OLcard{M}=\OLcard{N}}$ и
|
|
|
${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
|
|
|
-являются исчерпывающими (конец~~\ref{sec:3-cardinal_number}),
|
|
|
+являются исчерпывающими (конец~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}),
|
|
|
оказывается следствием из
|
|
|
%% ======================= Страница 23 =======================
|
|
|
,,теоремы о полном упорядочении`` Цермело~\cite{zermelo1904} (см., например,
|
|
|
@@ -938,7 +938,7 @@ ${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
|
|
|
{exmpl:p5-1}{example-p5-1}
|
|
|
Это --- кардинальное число, приписанное множеству всех подмножеств множества
|
|
|
всех натуральных чисел, которое мы описали
|
|
|
-в~~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method} как множество всех
|
|
|
+в~\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method} как множество всех
|
|
|
\emph{множеств натуральных чисел}. Там мы представили элементы этого множества
|
|
|
\emph{бесконечными последовательностями из нулей и единиц}. Эти нули и единицы
|
|
|
можно рассматривать как цифры в двоичной (или диадической) системе счисления,
|
|
|
@@ -998,7 +998,7 @@ $n$\emph{\nobreakdash-ки действительных чисел} или \emph
|
|
|
натурального $n$ и даже \emph{бесконечные последовательности действительных
|
|
|
чисел} или \emph{точки действительного эвклидова}
|
|
|
$\alephZero$\emph{\nobreakdash-мерного пространства}. Этот последний пример
|
|
|
-можно рассмотреть с помощью метода~~\ref{sec:1-enumerable_sets},
|
|
|
+можно рассмотреть с помощью метода~\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets},
|
|
|
посредством которого $\alephZero$ последовательностей нулей и единиц
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
|
\xymatrix@!@=1.6666667ex{
|
|
|
@@ -1110,10 +1110,10 @@ ${n+1}$ или $n'$ (\emph{следующему за} $n$).
|
|
|
на несколько пунктов:
|
|
|
|
|
|
1.\itemlabel{list:p6-l1-i1}{1}~$0$ является \emph{натуральным числом}.
|
|
|
-2.\itemlabel{list:p6-l1-i2}{2}~Если $n$ --- \emph{натуральное
|
|
|
-число}, то и $n'$ --- \emph{натуральное число}.
|
|
|
+2.\itemlabel{list:p6-l1-i2}{2}~Если $n$~---~\emph{натуральное
|
|
|
+число}, то и $n'$~---~\emph{натуральное число}.
|
|
|
3.\itemlabel{list:p6-l1-i3}{3}~Никаких \emph{натуральных чисел}, кроме тех,
|
|
|
-которые получаются согласно \ref{list:p6-l1-i1} и \ref{list:p6-l1-i2}, нет.
|
|
|
+которые получаются согласно~\ref{list:p6-l1-i1} и~\ref{list:p6-l1-i2}, нет.
|
|
|
|
|
|
В этой форме наша последовательность дискретных шагов становится применением
|
|
|
пункта~\ref{list:p6-l1-i1} и последовательностью применений
|
|
|
@@ -1127,9 +1127,9 @@ ${n+1}$ или $n'$ (\emph{следующему за} $n$).
|
|
|
определён, исчерпывающим образом рассмотрены в предыдущих пунктах.
|
|
|
|
|
|
В этом индуктивном определении не выражено условие различия, а именно, что
|
|
|
-числа, различным образом порождённые применениями пунктов \ref{list:p6-l1-i1} и
|
|
|
-\ref{list:p6-l1-i2}, должны быть различными объектами. Это условие можно разбить
|
|
|
-на два следующих предложения.
|
|
|
+числа, различным образом порождённые применениями пунктов~\ref{list:p6-l1-i1}
|
|
|
+и~\ref{list:p6-l1-i2}, должны быть различными объектами. Это условие можно
|
|
|
+разбить на два следующих предложения.
|
|
|
|
|
|
4.\itemlabel{list:p6-l1-i4}{4} Для любых натуральных чисел $m$ и $n$ из
|
|
|
${m'=n'}$ следует ${m=n}$. 5.\itemlabel{list:p6-l1-i5}{5} Для любого
|
|
|
@@ -1139,7 +1139,7 @@ ${m'=n'}$ следует ${m=n}$. 5.\itemlabel{list:p6-l1-i5}{5} Для любо
|
|
|
функция, так что, обратно к~\ref{list:p6-l1-i4}: для любых натуральных чисел $m$
|
|
|
и $n$ из ${m=n}$ следует ${m'=n'}$.
|
|
|
|
|
|
-Чтобы убедиться в том, что предложения \ref{list:p6-l1-i4} и \ref{list:p6-l1-i5}
|
|
|
+Чтобы убедиться в том, что предложения~\ref{list:p6-l1-i4} и~\ref{list:p6-l1-i5}
|
|
|
требуют различия любых двух различно порождённых чисел, мы можем рассуждать
|
|
|
следующим образом. Допустим, что на некоторой данной стадии порождения чисел все
|
|
|
до сих пор порождённые числа ${0, 1,\ldots, n}$ различны. Тогда ближайшее из
|
|
|
@@ -1189,7 +1189,7 @@ $n$, ${0''''=0''}$ возможно только при ${0'''=0'}$. Опять
|
|
|
O1.\itemlabel{list:p6-l2-i1}{O1}~${m<m'}$.
|
|
|
O2.\itemlabel{list:p6-l2-i2}{O2}~Если ${m<n}$, то ${m<n'}$.
|
|
|
O3.\itemlabel{list:p6-l2-i3}{O3}~${m<n}$ в том и только в том случае, если это
|
|
|
-вытекает из \ref{list:p6-l2-i1} и \ref{list:p6-l2-i2}.
|
|
|
+вытекает из~\ref{list:p6-l2-i1} и~\ref{list:p6-l2-i2}.
|
|
|
|
|
|
Если взять это определение для некоторого фиксированного $m$ в качестве
|
|
|
индуктивного определения класса чисел $n$, больших $m$, то оно имеет вид
|
|
|
@@ -1769,7 +1769,7 @@ $\alephZero$ (а иногда конечные), \emph{анализ} имеет
|
|
|
|
|
|
Мы уже пользовались представлениями действительных чисел посредством бесконечных
|
|
|
десятичных или двоичных
|
|
|
-дробей~(\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method},~%
|
|
|
+дробей~(\textsection\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method},~%
|
|
|
\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}). В принципе можно пользоваться любым
|
|
|
множеством, эквивалентность которого множеству таких дробей
|
|
|
доказана~(см.~\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}), например
|
|
|
@@ -2215,7 +2215,7 @@ ${\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}<\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}}$.
|
|
|
множество $\OLemptyset$) и
|
|
|
(b)\itemlabel{list:p11-l1-b}{(b)}~всякое множество, элементы которого являются
|
|
|
допустимыми. При этом условии предыдущие парадоксы и следующий получаются, как
|
|
|
-прежде (с~\ref{list:p11-l1-a1}, см. Генцен~\cite{gentzen1936}).
|
|
|
+прежде (с~\ref{list:p11-l1-a1}, см.~Генцен~\cite{gentzen1936}).
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{(C)}{paradox:p11-C}{(C)}
|
