|
|
@@ -909,7 +909,7 @@ ${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
|
|
|
%% ======================= Страница 23 =======================
|
|
|
,,теоремы о полном упорядочении`` Цермело~\cite{zermelo1904} (см., например,
|
|
|
{\renewcommand*{\multicitedelim}{\space или\space}%
|
|
|
-Хаусдорф~\cite[стр.~61\protect\footnotemark]{hausdorff1914,hausdorff1927}
|
|
|
+Хаусдорф~\cite[стр.~61\protect\footnotemark]{hausdorff1914,hausdorff1927}}
|
|
|
\footnotetext{Стр.~65 русского издания книги Хаусдорфа. См. также теорему~19 на
|
|
|
стр.~107 книги П.~С.~Александрова~\cite{aleksandrov1948} --- \textit{Прим.
|
|
|
ред.}} или Френкель~\cite[стр.~205]{fraenkel1928}. Краткое рассмотрение
|
|
|
@@ -1040,17 +1040,148 @@ $n$\emph{-мерного} или $\alephZero$\emph{-мерного простр
|
|
|
качестве значений только $0$ и $1$, служат представляющими функциями для
|
|
|
множеств действительных чисел и тем самым составляют подмножество с этим
|
|
|
кардинальным числом. Распространяя на этот пример геометрическую терминологию,
|
|
|
-можно сказать, что мы имеем дело с множеством \emph{точек действительного эвклидова} $2^{\alephZero}$\emph{-мерного пространства}.
|
|
|
+можно сказать, что мы имеем дело с множеством \emph{точек действительного
|
|
|
+эвклидова} $2^{\alephZero}$\emph{-мерного пространства}.
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
+%% ======================= Страница 25 =======================
|
|
|
+
|
|
|
\chapter{Некоторые основные концепции}
|
|
|
\label{chap:some_fundamental_concepts}
|
|
|
|
|
|
\section{Натуральные числа}
|
|
|
\label{sec:the_natural_numbers}
|
|
|
|
|
|
-stub
|
|
|
+Цель этой главы --- сопоставить (отчасти для ссылок, отчасти для более
|
|
|
+внимательного рассмотрения) некоторые идеи и методы математики.
|
|
|
+
|
|
|
+Когда мы выписываем натуральный ряд чисел
|
|
|
+\begin{equation*}
|
|
|
+0,\; 1,\; 2,\; 3,\;\ldots\text{,}
|
|
|
+\end{equation*}
|
|
|
+
|
|
|
+\noindent%
|
|
|
+мы предполагаем, что точки <<$\ldots$>> указывают на продолжение
|
|
|
+последовательности за указанные несколько её членов.
|
|
|
+
|
|
|
+Кронекер заметил в 1886 г.: <<Бог создал целые числа, все остальное --- творение
|
|
|
+человека>>. Мы не можем надеяться, что наше познание натурального ряда сведётся
|
|
|
+к познанию чего-либо существенно более простого.
|
|
|
+
|
|
|
+Но исследуя, что содержится в нашем понимании натурального ряда, мы можем
|
|
|
+преуспеть в выяснении основ наших рассуждений о натуральных числах.
|
|
|
+
|
|
|
+Мы начнём с описания натуральных чисел как объектов, которые могут быть
|
|
|
+порождены, если отправляться от начального объекта $0$ (\emph{нуль}) и
|
|
|
+последовательно переходить от уже порождённого объекта $n$ к другому объекту
|
|
|
+$n+1$ или $n'$ (\emph{следующему за} $n$).
|
|
|
+
|
|
|
+При этом мы считаем возможным, как бы далеко мы уже ни зашли при получении $n$,
|
|
|
+сделать ещё один шаг и получить $n'$. Употребление обозначения со штрихом
|
|
|
+<<$n'$>> вместо более обычного <<$n+1$>> подчёркивает, что $'$ есть первичная
|
|
|
+унарная\footnote{Т. е. с одним аргументом. --- \textit{Прим. перев.}} операция
|
|
|
+или функция, употребляемая при порождении натуральных чисел, тогда как $+$ может
|
|
|
+быть определён на дальнейшей стадии как бинарная операция или функция от двух
|
|
|
+натуральных чисел.
|
|
|
+
|
|
|
+Чтобы получить натуральные числа с их обычными обозначениями, остаётся лишь
|
|
|
+разъяснить, что $0, 1, 2, 3, \ldots$ заменяют соответственно
|
|
|
+\begin{equation*}
|
|
|
+0,\; 0',\; 0'',\; 0''',\;\ldots\text{.}
|
|
|
+\end{equation*}
|
|
|
+
|
|
|
+\noindent%
|
|
|
+Это относится уже к специфике десятичных обозначений.
|
|
|
+
|
|
|
+В этом описании мы апеллировали к нашему пониманию последовательности дискретных
|
|
|
+шагов. Последние состояли в отправлении от $0$ и повторном переходе от $n$ к
|
|
|
+следующему натуральному числу $n'$. Это описание можно следующим образом разбить
|
|
|
+на несколько пунктов:
|
|
|
+
|
|
|
+1.\itemlabel{p6e1}{1} $0$ является \emph{натуральным числом}.
|
|
|
+2.\itemlabel{p6e2}{2} Если $n$ --- \emph{натуральное
|
|
|
+число}, то и $n'$ --- \emph{натуральное число}.
|
|
|
+3.\itemlabel{p6e3}{3} Никаких \emph{натуральных чисел}, кроме тех, которые
|
|
|
+получаются согласно \ref{p6e1} и \ref{p6e2}, нет.
|
|
|
+
|
|
|
+В этой форме наша последовательность дискретных шагов становится применением
|
|
|
+пункта~\ref{p6e1} и последовательностью применений пункта~\ref{p6e2}. Все три
|
|
|
+пункта вместе образуют пример того, что мы будем называть \emph{индуктивным
|
|
|
+определением}. Определяемый термин (,,натуральное число``) выделен курсивом. Эти
|
|
|
+пункты,
|
|
|
+%% ======================= Страница 26 =======================
|
|
|
+за исключением последнего, предусматривают случаи, в которых определён этот
|
|
|
+термин; они называются \emph{прямыми пунктами}; последний пункт называется
|
|
|
+\emph{косвенным пунктом}; в нём утверждается, что случаи, когда этот термин
|
|
|
+определён, исчерпывающим образом рассмотрены в предыдущих пунктах.
|
|
|
+
|
|
|
+В этом индуктивном определении не выражено условие различия, а именно, что
|
|
|
+числа, различным образом порождённые применениями пунктов \ref{p6e1} и
|
|
|
+\ref{p6e2}, должны быть различными объектами. Это условие можно разбить на два
|
|
|
+следующих предложения.
|
|
|
+
|
|
|
+4.\itemlabel{p6e4}{4} Для любых натуральных чисел $m$ и $n$ из $m'=n'$ следует
|
|
|
+$m=n$. 5.\itemlabel{p6e5}{5} Для любого натурального числа $n$, $n'\neq 0$.
|
|
|
+
|
|
|
+При этом подразумевается, что $'$ есть унивалентный оператор, или однозначная
|
|
|
+функция, так что, обратно к~\ref{p6e4}: для любых натуральных чисел $m$ и $n$
|
|
|
+из $m=n$ следует $m'=n'$.
|
|
|
+
|
|
|
+Чтобы убедиться в том, что предложения \ref{p6e4} и \ref{p6e5} требуют различия
|
|
|
+любых двух различно порождённых чисел, мы можем рассуждать следующим образом.
|
|
|
+Допустим, что на некоторой данной стадии порождения чисел все до сих пор
|
|
|
+порождённые числа $0, 1,\ldots, n$ различны. Тогда ближайшее из далее
|
|
|
+порождаемых чисел --- число $n'$ должно отличаться от тех чисел
|
|
|
+$1, \ldots, n$, которые среди ранее порождённых следуют за какими-то числами
|
|
|
+(в силу~\ref{p6e4}), и от $0$ (в силу~\ref{p6e5}). Таким образом, каждый
|
|
|
+следующий шаг в этом порождении производит некоторое новое число.
|
|
|
+
|
|
|
+Например, $0''''\neq 0''$, в чем можно убедиться следующим образом. В
|
|
|
+силу~\ref{p6e4}, применённого с $0'''$ в качестве $m$ и $0'$ в качестве $n$,
|
|
|
+$0''''=0''$ возможно только при $0'''=0'$. Опять в силу~\ref{p6e4}, $0'''=0'$
|
|
|
+влечёт $0''=0$. Но в силу~\ref{p6e5} с $0'$ в качестве $n$ $0''\neq0$.
|
|
|
+
|
|
|
+Эти пять предложений~\ref{p6e1}--\ref{p6e5} с одним отличием были выбраны
|
|
|
+Пеано~\cite{peano1889,peano1891} в качестве аксиом, характеризующих
|
|
|
+натуральный ряд чисел. Пеано вместо предложения~\ref{p6e3} сформулировал
|
|
|
+принцип математической индукции (\textsection~\ref{sec:mathematical_induction})
|
|
|
+и поместил его в списке на пятом месте, сдвинув предложения \ref{p6e4} и
|
|
|
+\ref{p6e5} соответственно на третье и четвёртое места.
|
|
|
+
|
|
|
+Здесь мы не рассматриваем внутреннюю природу натуральных чисел; нас интересует
|
|
|
+только, как они образуют натуральный ряд. Каждое индивидуальное натуральное число
|
|
|
+рассматривается только как объект, занимающий некоторое конкретное место в
|
|
|
+натуральном ряду. Другими словами, индивидуальное натуральное число задано, если
|
|
|
+задано его порождение согласно индуктивному определению. Например, натуральное
|
|
|
+число $4$ задаётся как объект, который мы получаем, отправляясь от начального
|
|
|
+объекта $0$, путём применения операции <<следующий за>> однажды, затем опять,
|
|
|
+опять и опять; или, короче, $4$ задаётся как $0''''$. Число вроде $872656$ (в
|
|
|
+десятичном обозначении) также в принципе может быть выписано при помощи
|
|
|
+применения $'$ к $0$, хотя на практике мы так не поступаем.
|
|
|
+
|
|
|
+Разумеется, имея дело с предложениями типа <<некоторое уравнение имеет два
|
|
|
+корня>>, мы продолжаем пользоваться тем, что натуральные числа суть кардинальные
|
|
|
+числа конечных множеств
|
|
|
+(\textsection~\ref{sec:the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Порядок}{order:p6}{order:p6}
|
|
|
+Согласно индуктивному определению натуральных чисел, они порождаются в некотором
|
|
|
+(обычном) порядке. Таким образом, мы определяем, что $m<n$, если $m$ порождается
|
|
|
+раньше $n$ по ходу порождения $n$. Расчленяя это, мы получаем следующее
|
|
|
+индуктивное определение отношения $m<n$ (где $m$, $n$ пробегают натуральный
|
|
|
+ряд).
|
|
|
+
|
|
|
+O1.\itemlabel{p6o1}{O1} $m<m'$. O2.\itemlabel{p6o2}{O2} Если $m<n$, то $m<n'$.
|
|
|
+O3.\itemlabel{p6o3}{O3} $m<n$ в том и только в том случае, если это вытекает из
|
|
|
+\ref{p6o1} и \ref{p6o2}.
|
|
|
+
|
|
|
+Если взять это определение для некоторого фиксированного $m$ в качестве
|
|
|
+индуктивного определения класса чисел $n$, больших $m$, то оно имеет вид
|
|
|
+первоначального индуктивного определения натуральных чисел с заменой $0$ на $m'$.
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+
|
|
|
|
|
|
\section{Математическая индукция}
|
|
|
\label{sec:mathematical_induction}
|
