|
|
@@ -3227,18 +3227,328 @@ ${a\text{\textsf{\#}}b}$~влечёт~${a\neq b}$. Но имеются пары
|
|
|
|
|
|
Гильберт признавал, что предложения классической математики, содержащие
|
|
|
завершённую бесконечность, выходят за пределы интуитивной очевид%
|
|
|
-%% ======================= Страница 53 =======================
|
|
|
+%% ======================= Страница 54 =======================
|
|
|
ности. Но он не соглашался, следуя Брауэру, отказаться от классической
|
|
|
математики.
|
|
|
|
|
|
+Чтобы спасти классическую математику от интуиционистской критики, он предложил
|
|
|
+программу, которую можно предварительно выразить следующим образом: следует
|
|
|
+сформулировать классическую математику в виде аксиоматической теории и затем
|
|
|
+доказать непротиворечивость этой теории.
|
|
|
+
|
|
|
+Метод, которым пользовались при доказательствах непротиворечивости
|
|
|
+аксиоматических теорий до этого предложения Гильберта, особенно в круге его
|
|
|
+ранних аксиоматических идей, состоял в задании ,,модели``. \emph{Модель} для
|
|
|
+некоторой аксиоматической теории~---~это просто система объектов, взятая из
|
|
|
+некоторой другой теории и удовлетворяющая аксиомам данной
|
|
|
+теории~(\textsection~\ref{sec:8-system_of_objects}). Иными словами, каждому
|
|
|
+объекту или первоначальному понятию данной аксиоматической теории сопоставляется
|
|
|
+объект или понятие другой теории таким образом, что аксиомы оказываются
|
|
|
+теоремами этой другой теории (или соответствуют им). Если эта вторая теория
|
|
|
+непротиворечива, то должна быть непротиворечивой и данная аксиоматическая
|
|
|
+теория. Действительно, допустим, что в данной аксиоматической теории из аксиом
|
|
|
+можно вывести противоречие. Тогда и в другой теории из соответствующих теорем
|
|
|
+можно было бы вывести противоречие, пользуясь соответствующими выводами по
|
|
|
+отношению к объектам, образующим модель.
|
|
|
+
|
|
|
+Бельтрами~(1868) в знаменитом старом примере показал, что прямые плоской
|
|
|
+неэвклидовой геометрии Лобачевского\nobreakdash-Больаи (плоской гиперболической
|
|
|
+геометрии) могут быть представлены геодезическими некоторой поверхности
|
|
|
+постоянной отрицательной кривизны в эвклидовом пространстве\footnote{Здесь и в
|
|
|
+следующей фразе автор допускает неточность.\par
|
|
|
+Представление, о котором идёт речь, осуществимо только локально, именно оно
|
|
|
+даёт возможность наложить на поверхность постоянной отрицательной кривизны в
|
|
|
+эвклидовом пространстве некоторый круг плоскости Лобачевского, но не всю эту
|
|
|
+плоскость. Поэтому результата Бельтрами недостаточно для высказанного автором
|
|
|
+утверждения о непротиворечивости. Однако модель Клейна может служить этой цели.
|
|
|
+См.~{\sparseFnt Ефимов~Н.~В.}, Высшая геометрия, М.\nobreakdash---Л.‚~1945,
|
|
|
+гл.~V,~\textsection\textsection~6~и~8; гл.~VII,
|
|
|
+\textsection~3.~---~\textit{Прим.~перев.}}. Таким образом, плоская
|
|
|
+гиперболическая геометрия непротиворечива, если непротиворечива эвклидова
|
|
|
+геометрия. (Клейн~(1871) достиг той же цели другим методом, пользуясь плоской
|
|
|
+проективной геометрией с метрикой Кэли~(1859), а для этой последней можно
|
|
|
+построить модель в эвклидовой плоскости.~(См.~Юнг~\cite{young1911},
|
|
|
+лекции~II~и~III.)
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлена опечатка в примечании
|
|
|
+%% удалена лишняя запятая в обороте "именно, оно даёт возможность наложить"
|
|
|
+%%
|
|
|
|
|
|
+Аналитическая геометрия Декарта~(1619), т.~е. употребление координат для
|
|
|
+представления геометрических объектов, является общим методом установления
|
|
|
+непротиворечивости геометрических теорий на основе анализа, т.~е. теории
|
|
|
+действительных чисел.
|
|
|
|
|
|
+Доказательства непротиворечивости методом модели являются относительными.
|
|
|
+Теория, для которой строится модель, непротиворечива, если непротиворечива та
|
|
|
+теория, из которой модель берётся.
|
|
|
+
|
|
|
+Только если эта последняя теория безупречна, модель даёт нам абсолютное
|
|
|
+доказательство непротиворечивости. Веблен и Басси~\cite{veblen_and_bussey1906}
|
|
|
+получили абсолютные доказательства непротиворечивости для некоторых
|
|
|
+рудиментарных проективных геометрии при помощи моделей, в которых точки
|
|
|
+представляются элементами некоторого конечного (sic!) класса
|
|
|
+объектов~(см.~Юнг~\cite{young1911}, лекции~IV~и~V).
|
|
|
+
|
|
|
+Для абсолютного доказательства непротиворечивости классической арифметики,
|
|
|
+анализа и теории множеств (аксиоматизированных надлежащим образом) метод моделей
|
|
|
+не подаёт надежды. Не видно никакого математического источника для получения
|
|
|
+модели, которая не возвращала бы нас попросту к одной из теорий, предварительно
|
|
|
+сведённой к только что перечисленным теориям посредством метода моделей.
|
|
|
+
|
|
|
+%% ======================= Страница 55 =======================
|
|
|
+
|
|
|
+Гильберт и Бернайс~\cite[стр.~15--17]{hilbert_and_bernays1934} показали, что для
|
|
|
+построения модели невозможно воспользоваться воспринимаемым, или физическим
|
|
|
+миром. Они иллюстрируют это, рассматривая первый парадокс Зенона~(пятое столетие
|
|
|
+до~н.~э.), согласно которому бегун не может пробежать дистанцию за конечное
|
|
|
+время, так как для этого он должен был бы пробежать сначала первую половину
|
|
|
+дистанции, затем следующую четверть, затем следующую восьмую часть и~т.~д., и
|
|
|
+таким образом ему пришлось бы совершить бесконечное число действий. Обычное
|
|
|
+решение этого парадокса состоит в замечании, что ряд интервалов времени, нужный
|
|
|
+для пробега последовательных отрезков пути, сходится. <<В действительности
|
|
|
+имеется гораздо более радикальное решение этого парадокса. Оно состоит в
|
|
|
+указании на то обстоятельство, что мы вовсе не обязательно должны верить в то,
|
|
|
+что математическое пространственно\nobreakdash-временн{\'o}е представление
|
|
|
+движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства
|
|
|
+и времени; скорее мы имеем все основания предполагать, что эта математическая
|
|
|
+модель экстраполирует факты из некоторой области опыта, а именно, из области
|
|
|
+движений в пределах того порядка величин, который пока что доступен нашему
|
|
|
+наблюдению, экстраполирует просто в смысле образования идей, подобно тому, как
|
|
|
+механика сплошной среды совершает экстраполяцию, предполагающую непрерывное
|
|
|
+заполнение пространства материей\ldots\ Ситуация оказывается сходной во всех
|
|
|
+случаях, когда имеется вера в возможность непосредственного узрения (актуальной)
|
|
|
+бесконечности как данной посредством опыта или восприятия\ldots\ Более подробное
|
|
|
+исследование показывает затем, что бесконечность на самом деле вовсе не была нам
|
|
|
+дана, а была только интерполирована или экстраполирована посредством некоторого
|
|
|
+интеллектуального процесса>>.
|
|
|
+
|
|
|
+Следовательно, если мы хотим доказать непротиворечивость арифметики (включая её
|
|
|
+неинтуиционистскую часть), анализа и~т.~д., то это надо делать другим методом.
|
|
|
+Заслуга Гильберта состоит в нахождении нового прямого подхода и в распознании
|
|
|
+того, чт{\'o} при этом требуется от аксиоматизации. Этот прямой метод содержится
|
|
|
+неявно в самом понятии непротиворечивости (по крайней мере в современном
|
|
|
+понимании этого слова\footnote{В подлиннике непротиворечивость называется
|
|
|
+consistency (согласованность, совместность).~---~\textit{Прим.~перев.}})‚
|
|
|
+означающем, что никакое противоречие (т.~е. ситуация, при которой некоторое
|
|
|
+предложение~$A$ и его отрицание~\emph{не\nobreakdash-}$A$ оба являются
|
|
|
+теоремами) не может возникнуть в рассматриваемой теории в процессе вывода из
|
|
|
+аксиом. Итак, чтобы непосредственно доказать непротиворечивость
|
|
|
+какой\nobreakdash-либо теории, нужно доказать некоторое предложение о самой этой
|
|
|
+теории, а также о всех возможных в этой теории доказательствах теорем.
|
|
|
+Математическая теория, непротиворечивость которой пытаются доказать, становится,
|
|
|
+в свою очередь, предметом изучения некоторой математической науки, названной
|
|
|
+Гильбертом <<метаматематикой>> или <<теорией доказательств>>. Каким образом это
|
|
|
+возможно и каковы должны быть методы этой науки, это мы рассмотрим в следующем
|
|
|
+параграфе.
|
|
|
+
|
|
|
+А пока мы рассмотрим дальнейшие выводы из гильбертовой концепции.
|
|
|
+Гильберт~\cite{hilbert1926,hilbert1928} устанавливает различие между
|
|
|
+,,действительными`` и ,,идеальными`` предложениями классической математики,
|
|
|
+сущность которого состоит в следующем. \emph{Действительные предложения}~---~это
|
|
|
+те, которые рассматриваются как имеющие содержательный смысл, а \emph{идеальные
|
|
|
+предложения}~---~это те, которые так не рассматриваются. Предложения,
|
|
|
+соответствующие употреблению актуальной бесконечности, идеальны. Классическая
|
|
|
+математика присоединяет идеальные предложения к действительным, чтобы простые
|
|
|
+правила аристотелевской логики были по-прежнему применимы к рассуждениям о
|
|
|
+бесконечных множествах.
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлена опечатка
|
|
|
+%% в оригинале "попрежнему"
|
|
|
+%%
|
|
|
|
|
|
+%% ======================= Страница 56 =======================
|
|
|
+
|
|
|
+Присоединение ,,идеальных элементов`` к системе с целью пополнить её структуру и
|
|
|
+упростить теорию этой системы является обычным и плодотворным методом в
|
|
|
+современной математике. Например, в плоской геометрии Эвклида две различные
|
|
|
+прямые пересекаются в единственной точке, за исключением случая, когда эти
|
|
|
+прямые параллельны. Чтобы избавиться от этого исключения, Понселе в своей
|
|
|
+проективной геометрии~(1822) ввёл \emph{бесконечно удалённую точку} на каждой из
|
|
|
+первоначальных прямых таким образом, что параллельные прямые имеют одну и ту же
|
|
|
+бесконечно удалённую точку, а непараллельные прямые имеют различные бесконечно
|
|
|
+удалённые точки. Совокупность этих бесконечно удалённых точек образует
|
|
|
+\emph{бесконечно удалённую прямую}. Если вокруг конечной точки проективной
|
|
|
+плоскости вращать прямую, то бесконечно удалённая точка этой прямой опишет
|
|
|
+бесконечно удалённую прямую. В результате этого приёма соотношения инцидентности
|
|
|
+между точками и прямыми упрощаются. Две различные точки определяют единственную
|
|
|
+прямую (которая находится ,,на`` обеих этих точках, т.~е. проходит через обе эти
|
|
|
+точки), и две различные прямые определяют единственную точку (которая находится
|
|
|
+на обеих прямых). Эти два предложения \emph{двойственны} друг другу. Имеется
|
|
|
+общий принцип, называемый \emph{принципом двойственности} для плоской
|
|
|
+проективной геометрии, который утверждает, что для каждой теоремы этой области
|
|
|
+предложение, получающееся из неё взаимной заменой слов <<точка>> и <<прямая>>,
|
|
|
+также является теоремой\footnote{При этом к числу теорем относятся также и
|
|
|
+аксиомы.~---~\textit{Прим.~перев.}}.
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлена опечатка
|
|
|
+%% ссылки на работу Понселе нет ни в библиографии оригинала, ни в библиографии
|
|
|
+%% перевода. В оригинале ссылка на Понселе дана в круглых скобках как
|
|
|
+%% внебиблиографический источник.
|
|
|
+%%
|
|
|
|
|
|
-
|
|
|
-stub
|
|
|
+В качестве другого примера добавления элементов к ранее имевшейся системе
|
|
|
+элементов с некоторой теоретической целью мы приведём последовательные
|
|
|
+расширения числовой системы, когда, например, отправляясь от натуральных чисел,
|
|
|
+присоединяют затем отрицательные целые числа, затем дроби, затем иррациональные
|
|
|
+и, наконец, комплексные числа. Присоединение отрицательных целых чисел упрощает
|
|
|
+теорию сложения, так как делает обратную операцию (вычитание) всегда выполнимой,
|
|
|
+и~т.~д.
|
|
|
+
|
|
|
+Грубо говоря, задача Гильберта аналогична той, которая существовала, когда
|
|
|
+впервые начали употреблять мнимые числа. Так как ясного понимания этих чисел
|
|
|
+тогда не было, то кто\nobreakdash-нибудь мог предложить скептикам в качестве
|
|
|
+обоснования употребления мнимых чисел доказательство того, что если мнимые числа
|
|
|
+используются согласно предписанным правилам для получения результата,
|
|
|
+выраженного в терминах одних только действительных чисел, то этот результат
|
|
|
+должен быть верным. Конечно, в наше время нет надобности в такого рода
|
|
|
+относительном обосновании мнимых чисел, потому что имеется известная
|
|
|
+интерпретация этих чисел точками плоскости~(Вессель,~1799~г.) и парами
|
|
|
+действительных чисел (Гаусс,~1831~г.).
|
|
|
+
|
|
|
+Ввиду этой аналогии напрашивается следующий вопрос: если бы удалось найти
|
|
|
+доказательство непротиворечивости в гильбертовском смысле для части классической
|
|
|
+математики, содержащей как действительные, так и идеальные
|
|
|
+предложения,~---~могли бы мы тогда заключить, что действительные предложения,
|
|
|
+доказанные при помощи идеальных, истинны интуиционистски? Вопрос о том, в какой
|
|
|
+мере можно было бы прийти к такому заключению, мы рассмотрим
|
|
|
+впоследствии~(конец~\textsection~\ref{sec:42-goedel_s_theorem},
|
|
|
+конец~\textsection~\ref{sec:82-recursive_realizability}); это будет зависеть от
|
|
|
+того, какие рассуждения охватываются доказательством непротиворечивости и какие
|
|
|
+предложения берутся в качестве действительных. В той мере, в какой это
|
|
|
+заключение было бы возможно, успешное выполнение гильбертовской программы
|
|
|
+позволило бы применять классическую математику в интуиционистских
|
|
|
+доказательствах.
|
|
|
+
|
|
|
+В первые годы после того, как оформилась гильбертовская программа, возник острый
|
|
|
+спор между Брауэром и Гильбертом. Брауэр~\cite{brouwer1923} говорил:
|
|
|
+<<Неправильная теория, не натолкнувшаяся на противоречие, не становится
|
|
|
+%% ======================= Страница 57 =======================
|
|
|
+от этого менее неправильной, подобно тому как преступное поведение, не
|
|
|
+остановленное правосудием, не становится от этого менее преступным>>.
|
|
|
+Гильберт~\cite{hilbert1928} возразил: <<Отнять у математиков закон исключённого
|
|
|
+третьего~---~это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксёрам
|
|
|
+пользоваться кулаками>>\footnote{Приведенная фраза едва ли является серьёзным
|
|
|
+возражением ввиду принципиальной беспощадности критики Брауэра. Такое возражение
|
|
|
+могло оказаться убедительным для самого Гильберта, но не для Брауэра. Но в той
|
|
|
+же статье Гильберт приводит и другие серьёзные соображения, например то, что не
|
|
|
+закон исключённого третьего, а недопустимые и бессмысленные образования понятий
|
|
|
+повинны в парадоксах теории множеств, а также то, что его <<игра формулами>>
|
|
|
+содействует изучению <<техники нашего мышления>>.~См.~{\sparseFnt Гильберт},
|
|
|
+Основания геометрии, М.,~1948, стр.~382--383.~---~\textit{Прим.~перев.}}.
|
|
|
+
|
|
|
+Согласно Брауэру~\cite{brouwer1928} и
|
|
|
+Гейтингу~\cite{heyting1931-1932,heyting1934}, возможно соглашение между
|
|
|
+интуиционизмом и формализмом при условии (по Нейману~\cite{neumann1931-1932})‚
|
|
|
+что формалисты не станут приписывать неинтуиционистской классической математике
|
|
|
+содержательного значения, благодаря которому доказательство непротиворечивости
|
|
|
+служило бы её обоснованием. Такое
|
|
|
+обоснование‚~---~говорит Брауэр‚~---~<<содержит порочный круг потому, что оно
|
|
|
+зависит от (содержательной~(inhaltlichen)) истинности предложения, что из
|
|
|
+непротиворечивости некоторого высказывания следует его истинность, т.~е. от
|
|
|
+(содержательной) истинности закона исключённого третьего>>, который является
|
|
|
+подлежащей обоснованию частью формалистской математики.
|
|
|
+
|
|
|
+Для формалистской позиции будет затруднительным объяснить, каким образом
|
|
|
+неинтуиционистская классическая математика оказывается осмысленной, если
|
|
|
+согласиться с интуиционистами в том, что её теоремам недостаёт реального смысла,
|
|
|
+в терминах которого они были бы истинны.
|
|
|
+
|
|
|
+Классическая математика строит теории совершенно не в том смысле, как
|
|
|
+интуиционистская. Гильберт~\cite{hilbert1928} говорит: <<Выставить общее
|
|
|
+требование, согласно которому каждая отдельная формула сама по себе допускала бы
|
|
|
+истолкование‚~---~отнюдь не разумно\ldots>>. В теоретической физике <<только
|
|
|
+известная часть комбинаций и следствий из физических законов может быть
|
|
|
+проверена опытом~---~подобно тому как в моей теории доказательств только
|
|
|
+действительные предложения могут быть непосредственно проверяемы>>.
|
|
|
+
|
|
|
+Классическую математическую теорию можно рассматривать как простую и изящную
|
|
|
+систематизирующую схему, благодаря которой совокупность (вероятно) истинных
|
|
|
+высказываний, сначала казавшихся разнородными и не связанными друг с другом и
|
|
|
+зачастую сначала неизвестных, объединяется в виде следствий из идеальных теорем
|
|
|
+этой теории~(ср.~Нейман~\cite{neumann1947},
|
|
|
+Эйнштейн~\cite[стр.~288]{einstein1944}).
|
|
|
+
|
|
|
+Пример аналитической теории чисел показывает, что теоремы анализа (не имеющие
|
|
|
+смысла, приемлемого для интуиционистов) часто влекут теоремы арифметики,
|
|
|
+осмысленные интуиционистски, для которых либо вовсе не известны неаналитические
|
|
|
+доказательства, либо известны лишь гораздо более сложные.
|
|
|
+
|
|
|
+Для того чтобы теория могла приносить такого рода пользу, содержащиеся в ней
|
|
|
+действительные предложения должны быть истинными. Прежде математики считали, что
|
|
|
+это обеспечивается истинностью тех теорем, которые мы теперь воспринимаем как
|
|
|
+идеальные; мы же теперь надеемся обеспечить это посредством доказательства
|
|
|
+непротиворечивости.
|
|
|
+
|
|
|
+Теория посредством лёгких переходов может подниматься на более высокие уровни,
|
|
|
+на которых она только очень косвенно связана с систематизацией действительных
|
|
|
+предложений; теснее она связана с систематизацией идеальных предложений на
|
|
|
+промежуточных уровнях. В этой связи интересно, увеличивают ли последовательно
|
|
|
+все более высокие теоретические построения область охваченных ими действительных
|
|
|
+предложений первоначального рода, а также
|
|
|
+%% ======================= Страница 58 =======================
|
|
|
+вызывают ли они существенные упрощения ранее имевшихся
|
|
|
+доказательств~(см.~конец~\textsection~\ref{sec:42-goedel_s_theorem}).
|
|
|
+
|
|
|
+Неясным является то, насколько высокие теоретические структуры можно применять
|
|
|
+для систематизации действительных истин данного рода, например, оправдано ли
|
|
|
+применение анализа для систематизации арифметических истин. Исторически
|
|
|
+аналитическая теория чисел явилась побочным продуктом, а действительные движущие
|
|
|
+силы развития классического анализа возникли из таких наук, как геометрия в её
|
|
|
+физическом применении.
|
|
|
+
|
|
|
+Гильберт и Бернайс~\cite{hilbert_and_bernays1934} подчёркивают, что в науках
|
|
|
+<<мы преимущественно имеем дело с теориями, которые не воспроизводят полностью
|
|
|
+действительного положения вещей, а являются \emph{упрощающей идеализацией} этого
|
|
|
+положения вещей, в чем и состоит их значение>>~(стр.~2\nobreakdash--3). Анализ
|
|
|
+служит <<образованием идей~(Ideenbildung)>>‚ в терминах которых могут быть
|
|
|
+выражены эти теории или к которым они могут быть сведены посредством метода
|
|
|
+моделей. Доказательство непротиворечивости анализа убедило бы нас в
|
|
|
+непротиворечивости идеализаций, которые осуществляются в этих теориях~(стр.~19).
|
|
|
+
|
|
|
+Вейль~\cite{weyl1926,weyl1928,weyl1931} замечает, что в теоретической физике с
|
|
|
+опытом согласуются не отдельные утверждения, а вся теоретическая система в
|
|
|
+целом. В результате получается не истинное описание того, что дано, а
|
|
|
+теоретическое, чисто символическое построение мира. (Он также утверждает, что
|
|
|
+наш теоретический интерес не заключается исключительно и даже преимущественно в
|
|
|
+,,действительных предложениях``, например в том, что данная стрелка находится
|
|
|
+возле такого\nobreakdash-то деления на шкале, а скорее в идеальных
|
|
|
+предположениях, например в предположении, что электрон является универсальным
|
|
|
+электрическим квантом). Глубокий философский вопрос состоит в том, какая
|
|
|
+,,истина`` или объективность соответствует этому теоретическому построению мира,
|
|
|
+далеко выходящему за пределы непосредственного опыта. Этот вопрос тесно связан
|
|
|
+с другим: что побуждает нас принять за основу определённую избранную нами
|
|
|
+систему аксиом? Непротиворечивость для этого необходима, но не достаточна. Если
|
|
|
+предоставить математика самому себе, он вместе с Брауэром ограничится
|
|
|
+интуитивными истинами; у него не найдётся достаточного мотива, чтобы идти
|
|
|
+дальше. Если же заставить математика заняться вместе с физиком процессом
|
|
|
+теоретического построения мира, он будет на стороне Гильберта.
|
|
|
+
|
|
|
+Заключение о точке зрения формалистов будет частично зависеть от плодов
|
|
|
+предлагаемой ими программы. Для этой программы нужна область исследования,
|
|
|
+называемая <<метаматематикой>>, в которой они намерены, в частности, установить
|
|
|
+непротиворечивость классической математики.
|
|
|
+
|
|
|
+Заметим заранее, что метаматематика потребует строгой математической техники для
|
|
|
+исследования большого многообразия проблем обоснования математики и логики, и
|
|
|
+проблема непротиворечивости будет только одной из этих проблем. Например,
|
|
|
+метаматематические методы применяются теперь при изучении систематизаций
|
|
|
+математики, возникающих из логицистической и интуиционистской школ, так же как и
|
|
|
+для возникающих из школы Гильберта. (Обратно, своим возникновением
|
|
|
+метаматематика многим обязана логицистическим и интуиционистским исследованиям.)
|
|
|
+В дальнейших частях этой книги наша цель будет состоять не в вынесении
|
|
|
+окончательного решения, утверждающего или отвергающего формалистскую точку
|
|
|
+зрения в какой\nobreakdash-либо принятой версии, а в рассмотрении существа метаматематического метода и в изучении некоторых результатов, которые были
|
|
|
+открыты на пути следования этому методу.
|
|
|
|
|
|
\section{Формализация теории}
|
|
|
\label{sec:15-formalization_of_a_theory}
|
|
|
|
|
|
+Мы собираемся теперь заняться программой, которая превращает саму математическую
|
|
|
+теорию в объект точного математического изучения. В математической теории мы
|
|
|
+изучаем систему математических объектов. Как может математическая теория сама
|
|
|
+служить объектом математического изучения?
|
|
|
+
|
|
|
+
|
|
|
+
|
|
|
stub
|
