|
@@ -325,7 +325,7 @@ $1$ и $4$, начинается с ${01001\ldots}$. Эти последоват
|
|
|
Могут ли эти несчётные множества быть поставлены друг с другом в
|
|
Могут ли эти несчётные множества быть поставлены друг с другом в
|
|
|
\isom-соответствие и нет ли ещё и других типов бесконечных множеств?
|
|
\isom-соответствие и нет ли ещё и других типов бесконечных множеств?
|
|
|
Рекомендуем читателю попытаться самостоятельно ответить на эти вопросы
|
|
Рекомендуем читателю попытаться самостоятельно ответить на эти вопросы
|
|
|
-(ответы даны в \textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}).
|
|
|
|
|
|
|
+(ответы даны в~\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}).
|
|
|
Рассмотрим теперь теорию Кантора в её общем виде.
|
|
Рассмотрим теперь теорию Кантора в её общем виде.
|
|
|
|
|
|
|
|
\section{Кардинальное число}
|
|
\section{Кардинальное число}
|
|
@@ -336,7 +336,7 @@ $1$ и $4$, начинается с ${01001\ldots}$. Эти последоват
|
|
|
\emph{множество} и \emph{элемент} Кантор описывает следующим образом: <<Под
|
|
\emph{множество} и \emph{элемент} Кантор описывает следующим образом: <<Под
|
|
|
,,множеством`` мы понимаем любое объединение в одно целое $M$ определённых
|
|
,,множеством`` мы понимаем любое объединение в одно целое $M$ определённых
|
|
|
вполне различаемых объектов $m$ из нашего восприятия или мысли (которые
|
|
вполне различаемых объектов $m$ из нашего восприятия или мысли (которые
|
|
|
-называются ,,элементами`` $M$)>>~\cite[стр.~481]{cantor1895}.
|
|
|
|
|
|
|
+называются ,,элементами`` $M$)>>~\cite[стр.~481]{cantor1895-1897}.
|
|
|
|
|
|
|
|
К множествам присоединяются \emph{пустое} множество, не имеющее элементов, и
|
|
К множествам присоединяются \emph{пустое} множество, не имеющее элементов, и
|
|
|
\emph{единичные} множества, каждое из которых обладает одним единственным
|
|
\emph{единичные} множества, каждое из которых обладает одним единственным
|
|
@@ -363,7 +363,7 @@ ${a\OLnotin M}$~\footnote{В зарубежной литературе (в то
|
|
|
только тогда, когда ${a\in N}$.
|
|
только тогда, когда ${a\in N}$.
|
|
|
|
|
|
|
|
Два множества $M$ и $N$ мы называем \emph{эквивалентными} (и пишем ${M\sim N}$),
|
|
Два множества $M$ и $N$ мы называем \emph{эквивалентными} (и пишем ${M\sim N}$),
|
|
|
-если существует \isom-соответствие (\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets})
|
|
|
|
|
|
|
+если существует \isom-соответствие~(\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets})
|
|
|
между ними. (Иногда мы будем писать ,,соответствие ${M\sim N}$`` для
|
|
между ними. (Иногда мы будем писать ,,соответствие ${M\sim N}$`` для
|
|
|
обозначения некоторого индивидуального \isom-соответствия между $M$ и $N$,
|
|
обозначения некоторого индивидуального \isom-соответствия между $M$ и $N$,
|
|
|
которое должно существовать, если ${M\sim N}$.)
|
|
которое должно существовать, если ${M\sim N}$.)
|
|
@@ -386,7 +386,7 @@ ${\OLcard{M}=\OLcard{N}}$ тогда и только тогда, когда ${M\
|
|
|
нам даны, мы называем ,,мощностью`` или ,,кардинальным числом`` множества $M$>>.
|
|
нам даны, мы называем ,,мощностью`` или ,,кардинальным числом`` множества $M$>>.
|
|
|
Эта двойная абстракция подсказывает канторовское обозначение
|
|
Эта двойная абстракция подсказывает канторовское обозначение
|
|
|
<<$\dbloverline{M}$>> для кардинального числа множества $M$.
|
|
<<$\dbloverline{M}$>> для кардинального числа множества $M$.
|
|
|
-Фрэге~\cite{frege1884} и Рассел~\cite{russel1902} отождествляют кардинальное
|
|
|
|
|
|
|
+Фрэге~\cite{frege1884} и Рассел~\cite{russell1902} отождествляют кардинальное
|
|
|
число $\OLcard{M}$ с множеством множеств, эквивалентных $M$, тогда как
|
|
число $\OLcard{M}$ с множеством множеств, эквивалентных $M$, тогда как
|
|
|
Нейман~\cite{neumann1928}
|
|
Нейман~\cite{neumann1928}
|
|
|
% TODO: уточнить ibid предыдущей ссылки на билиографию
|
|
% TODO: уточнить ibid предыдущей ссылки на билиографию
|
|
@@ -506,11 +506,11 @@ $\OLcard{N}$ три отношения ${\OLcard{M}<\OLcard{N}}$, ${\OLcard{M}=\
|
|
|
и ${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$ ,,взаимно исключают друг друга``, иначе говоря, не
|
|
и ${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$ ,,взаимно исключают друг друга``, иначе говоря, не
|
|
|
более чем одно из них может иметь место.
|
|
более чем одно из них может иметь место.
|
|
|
|
|
|
|
|
-Только после значительного продвижения в рассматриваемой теории (см. ссылки в
|
|
|
|
|
-\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}) можно выяснить, являются
|
|
|
|
|
-ли эти три отношения ,,исчерпывающими``, другими словами, должно ли иметь место
|
|
|
|
|
-хотя бы одно из них. Ситуация отчасти прояснится в результате следующей теоремы,
|
|
|
|
|
-после которой останется только вопрос, может ли встретиться
|
|
|
|
|
|
|
+Только после значительного продвижения в рассматриваемой теории (см. ссылки
|
|
|
|
|
+в~\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}) можно выяснить,
|
|
|
|
|
+являются ли эти три отношения ,,исчерпывающими``, другими словами, должно ли
|
|
|
|
|
+иметь место хотя бы одно из них. Ситуация отчасти прояснится в результате
|
|
|
|
|
+следующей теоремы, после которой останется только вопрос, может ли встретиться
|
|
|
случай~\ref{case:p3-3}.
|
|
случай~\ref{case:p3-3}.
|
|
|
%% ======================= Страница 18 =======================
|
|
%% ======================= Страница 18 =======================
|
|
|
|
|
|
|
@@ -520,7 +520,7 @@ $\OLcard{N}$ три отношения ${\OLcard{M}<\OLcard{N}}$, ${\OLcard{M}=\
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Теорема A.}{theorem:A}{A}
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Теорема A.}{theorem:A}{A}
|
|
|
\emph{Если} ${M\sim N_{1}\subseteq N}$ и ${N\sim M_{1}\subseteq M}$‚ \emph{то}
|
|
\emph{Если} ${M\sim N_{1}\subseteq N}$ и ${N\sim M_{1}\subseteq M}$‚ \emph{то}
|
|
|
${M\sim N}$. Другими словами, \emph{в
|
|
${M\sim N}$. Другими словами, \emph{в
|
|
|
-случае}~\ref{case:p3-2}~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}
|
|
|
|
|
|
|
+случае}~\ref{case:p3-2}~~\ref{sec:3-cardinal_number}
|
|
|
\emph{обязательно} ${\OLcard{M}=\OLcard{N}}$. (Бернштейн~\cite{bernstein1898}.)
|
|
\emph{обязательно} ${\OLcard{M}=\OLcard{N}}$. (Бернштейн~\cite{bernstein1898}.)
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
|
@@ -621,15 +621,15 @@ $0$. (\textsc{Замечание:}\ ${M'\sim\OLemptyset}$ только при ${
|
|
|
${M'\sim N\OLcup\{ a\}}$‚ где ${a\OLnotin N}$, тогда и только тогда, когда
|
|
${M'\sim N\OLcup\{ a\}}$‚ где ${a\OLnotin N}$, тогда и только тогда, когда
|
|
|
${M'=N'\OLcup\{ a'\}}$, где ${a'\OLnotin N'}$ и ${N'\sim N}$.)
|
|
${M'=N'\OLcup\{ a'\}}$, где ${a'\OLnotin N'}$ и ${N'\sim N}$.)
|
|
|
|
|
|
|
|
-Если рассматривать натуральные числа
|
|
|
|
|
-$0$,~$1$,~$2$,~$\ldots$,~$n$,~${n+1}$,~$\ldots$ как последовательность уже
|
|
|
|
|
|
|
+\itemlabel{def:p4-m_plus_one}{def:p4-m_plus_one}Если рассматривать натуральные
|
|
|
|
|
+числа $0$,~$1$,~$2$,~$\ldots$,~$n$,~${n+1}$,~$\ldots$ как последовательность уже
|
|
|
известных нам предметов, то два только что сформулированных определения
|
|
известных нам предметов, то два только что сформулированных определения
|
|
|
сопоставляют каждому натуральному числу $n$ соответствующее кардинальное число,
|
|
сопоставляют каждому натуральному числу $n$ соответствующее кардинальное число,
|
|
|
которое мы также будем обозначать через $n$. Эти кардинальные числа мы будем
|
|
которое мы также будем обозначать через $n$. Эти кардинальные числа мы будем
|
|
|
называть \emph{конечными кардинальными числами}, а множества с этими
|
|
называть \emph{конечными кардинальными числами}, а множества с этими
|
|
|
кардинальными числами --- \emph{конечными множествами}. Следующие два
|
|
кардинальными числами --- \emph{конечными множествами}. Следующие два
|
|
|
предложения будут доказаны в примере%
|
|
предложения будут доказаны в примере%
|
|
|
-~\ref{exmpl:p7-1}~\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction}
|
|
|
|
|
|
|
+~\ref{exmpl:p7-1}~~\ref{sec:7-mathematical_induction}
|
|
|
|
|
|
|
|
{\everypar{(1) }\itemlabel{prop:p4-1}{(1)} \emph{Для каждого натурального числа}
|
|
{\everypar{(1) }\itemlabel{prop:p4-1}{(1)} \emph{Для каждого натурального числа}
|
|
|
$n$ \emph{конечное кардинальное число} $n$ \emph{служит кардинальным числом для
|
|
$n$ \emph{конечное кардинальное число} $n$ \emph{служит кардинальным числом для
|
|
@@ -644,7 +644,7 @@ ${M_{1}=M}$. Иначе говоря, \emph{конечное множество
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этих двух предложений нетрудно усмотреть, что отношение равенства ${m=n}$ и
|
|
Из этих двух предложений нетрудно усмотреть, что отношение равенства ${m=n}$ и
|
|
|
отношение порядка ${m<n}$, установленные для конечных кардинальных чисел
|
|
отношение порядка ${m<n}$, установленные для конечных кардинальных чисел
|
|
|
-определениями~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}, согласуются с обычными
|
|
|
|
|
|
|
+определениями~~\ref{sec:3-cardinal_number}, согласуются с обычными
|
|
|
отношениями равенства и порядка для натуральных чисел (в частности, ${n<n+1}$
|
|
отношениями равенства и порядка для натуральных чисел (в частности, ${n<n+1}$
|
|
|
для конечных кардинальных чисел). Итак, не возникнет никакой путаницы, если мы
|
|
для конечных кардинальных чисел). Итак, не возникнет никакой путаницы, если мы
|
|
|
отождествим натуральные числа с конечными кардинальными числами.
|
|
отождествим натуральные числа с конечными кардинальными числами.
|
|
@@ -653,7 +653,7 @@ ${M_{1}=M}$. Иначе говоря, \emph{конечное множество
|
|
|
кардинальное число --- \emph{бесконечным} или \emph{трансфинитным кардинальным
|
|
кардинальное число --- \emph{бесконечным} или \emph{трансфинитным кардинальным
|
|
|
числом}. Кардинальное число множества всех натуральных чисел, а следовательно, и
|
|
числом}. Кардинальное число множества всех натуральных чисел, а следовательно, и
|
|
|
каждого счётно\nobreakdash-бесконечного
|
|
каждого счётно\nobreakdash-бесконечного
|
|
|
-множества~(\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets}) мы будем называть
|
|
|
|
|
|
|
+множества~(~\ref{sec:1-enumerable_sets}) мы будем называть
|
|
|
$\alephZero$ (читается <<алеф-нуль>>).
|
|
$\alephZero$ (читается <<алеф-нуль>>).
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Следствие B.}{theorem:A-corollary-B}{B}
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Следствие B.}{theorem:A-corollary-B}{B}
|
|
@@ -744,7 +744,7 @@ P\OLcup\{ a_{0}, b_{0}, a_{1}, b_{1}, \ldots \}\text{.}
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
%% ======================= Страница 21 =======================
|
|
%% ======================= Страница 21 =======================
|
|
|
|
|
|
|
|
-\section{Высшие трансфинитные числа}
|
|
|
|
|
|
|
+\section{Высшие трансфинитные кардинальные числа}
|
|
|
\label{sec:5-higher_transfinite_cardinals}
|
|
\label{sec:5-higher_transfinite_cardinals}
|
|
|
|
|
|
|
|
%
|
|
%
|
|
@@ -759,7 +759,7 @@ P\OLcup\{ a_{0}, b_{0}, a_{1}, b_{1}, \ldots \}\text{.}
|
|
|
%
|
|
%
|
|
|
Первая из теорем этого параграфа является общей формулировкой той ситуации, с
|
|
Первая из теорем этого параграфа является общей формулировкой той ситуации, с
|
|
|
которой мы встретились в последнем
|
|
которой мы встретились в последнем
|
|
|
-примере~\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method}. Для читателя будет
|
|
|
|
|
|
|
+примере~~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method}. Для читателя будет
|
|
|
полезно, если он попробует самостоятельно рассмотреть эту теорему или её лемму
|
|
полезно, если он попробует самостоятельно рассмотреть эту теорему или её лемму
|
|
|
для случая, когда $M$ --- небольшое конечное множество. Вторая теорема является
|
|
для случая, когда $M$ --- небольшое конечное множество. Вторая теорема является
|
|
|
обобщением той ситуации, с которой мы столкнулись в
|
|
обобщением той ситуации, с которой мы столкнулись в
|
|
@@ -872,7 +872,7 @@ ${\OLunion{\setOfSets{M}}}$. Множество предметов, каждый
|
|
|
\emph{общей частью} множеств, принадлежащих $\setOfSets{M}$, и обозначается
|
|
\emph{общей частью} множеств, принадлежащих $\setOfSets{M}$, и обозначается
|
|
|
посредством ${\OLintersec{\setOfSets{M}}}$\olNt{ (<<$\mathfrak{D}$>> от
|
|
посредством ${\OLintersec{\setOfSets{M}}}$\olNt{ (<<$\mathfrak{D}$>> от
|
|
|
немецкого <<Durchschnitt>>~\footnote{Пересечение.~---~\textit{Прим.~ред.}})}{}.
|
|
немецкого <<Durchschnitt>>~\footnote{Пересечение.~---~\textit{Прим.~ред.}})}{}.
|
|
|
-Эти понятия совпадают с введёнными в~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number},
|
|
|
|
|
|
|
+Эти понятия совпадают с введёнными в~~\ref{sec:3-cardinal_number},
|
|
|
за исключением того, что теперь они выражены в виде операций над множеством
|
|
за исключением того, что теперь они выражены в виде операций над множеством
|
|
|
$\setOfSets{M}$ множеств $M$, которые складываются или перемножаются. Например,
|
|
$\setOfSets{M}$ множеств $M$, которые складываются или перемножаются. Например,
|
|
|
${M\OLcup N=\OLunion{\{ M, N\}}}$, ${M\OLcap N=\OLintersec{\{ M, N\}}}$.
|
|
${M\OLcup N=\OLunion{\{ M, N\}}}$, ${M\OLcap N=\OLintersec{\{ M, N\}}}$.
|
|
@@ -903,7 +903,7 @@ $\alephZero$,~$2^{\alephZero}$,~$2^{2^{\alephZero}}$,~$\ldots$, является
|
|
|
иерархия продолжается неограниченно.
|
|
иерархия продолжается неограниченно.
|
|
|
|
|
|
|
|
Более глубокое изложение канторовской теории абстрактных множеств можно найти,
|
|
Более глубокое изложение канторовской теории абстрактных множеств можно найти,
|
|
|
-например, у Кантора~\cite{cantor1895},
|
|
|
|
|
|
|
+например, у Кантора~\cite{cantor1895-1897},
|
|
|
{\renewcommand*{\multicitedelim}{\space или\space}%
|
|
{\renewcommand*{\multicitedelim}{\space или\space}%
|
|
|
Хаусдорфа~\cite{hausdorff1914,hausdorff1927}} или у
|
|
Хаусдорфа~\cite{hausdorff1914,hausdorff1927}} или у
|
|
|
Френкеля~\cite{fraenkel1928,fraenkel1952}. Имеется родственная отрасль
|
|
Френкеля~\cite{fraenkel1928,fraenkel1952}. Имеется родственная отрасль
|
|
@@ -911,7 +911,7 @@ $\alephZero$,~$2^{\alephZero}$,~$2^{2^{\alephZero}}$,~$\ldots$, является
|
|
|
кардинальных чисел>>, которая утверждает, что возможности
|
|
кардинальных чисел>>, которая утверждает, что возможности
|
|
|
${\OLcard{M}<\OLcard{N}}$, ${\OLcard{M}=\OLcard{N}}$ и
|
|
${\OLcard{M}<\OLcard{N}}$, ${\OLcard{M}=\OLcard{N}}$ и
|
|
|
${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
|
|
${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
|
|
|
-являются исчерпывающими (конец~\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}),
|
|
|
|
|
|
|
+являются исчерпывающими (конец~~\ref{sec:3-cardinal_number}),
|
|
|
оказывается следствием из
|
|
оказывается следствием из
|
|
|
%% ======================= Страница 23 =======================
|
|
%% ======================= Страница 23 =======================
|
|
|
,,теоремы о полном упорядочении`` Цермело~\cite{zermelo1904} (см., например,
|
|
,,теоремы о полном упорядочении`` Цермело~\cite{zermelo1904} (см., например,
|
|
@@ -919,7 +919,7 @@ ${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
|
|
|
Хаусдорф~\cite[стр.~61\protect\footnotemark]{hausdorff1914,hausdorff1927}}
|
|
Хаусдорф~\cite[стр.~61\protect\footnotemark]{hausdorff1914,hausdorff1927}}
|
|
|
\footnotetext{Стр.~65 русского издания книги Хаусдорфа. См. также теорему~19 на
|
|
\footnotetext{Стр.~65 русского издания книги Хаусдорфа. См. также теорему~19 на
|
|
|
стр.~107 книги П.~С.~Александрова~\cite{aleksandrov1948}~---~\textit{Прим.~%
|
|
стр.~107 книги П.~С.~Александрова~\cite{aleksandrov1948}~---~\textit{Прим.~%
|
|
|
-ред.}} или Френкель~\cite[стр.~205]{fraenkel1928}. Краткое рассмотрение
|
|
|
|
|
|
|
+ред.}} или Френкель~\cite[стр.~205]{fraenkel1928}). Краткое рассмотрение
|
|
|
знаменитой <<континуум-проблемы>>, состоящей в решении вопроса, существует ли
|
|
знаменитой <<континуум-проблемы>>, состоящей в решении вопроса, существует ли
|
|
|
хоть одно кардинальное число между $\alephZero$ и $2^{\alephZero}$, см. у
|
|
хоть одно кардинальное число между $\alephZero$ и $2^{\alephZero}$, см. у
|
|
|
Гёделя~\cite{goedel1947}.
|
|
Гёделя~\cite{goedel1947}.
|
|
@@ -938,7 +938,7 @@ ${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
|
|
|
{exmpl:p5-1}{example-p5-1}
|
|
{exmpl:p5-1}{example-p5-1}
|
|
|
Это --- кардинальное число, приписанное множеству всех подмножеств множества
|
|
Это --- кардинальное число, приписанное множеству всех подмножеств множества
|
|
|
всех натуральных чисел, которое мы описали
|
|
всех натуральных чисел, которое мы описали
|
|
|
-в~\textsection~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method} как множество всех
|
|
|
|
|
|
|
+в~~\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method} как множество всех
|
|
|
\emph{множеств натуральных чисел}. Там мы представили элементы этого множества
|
|
\emph{множеств натуральных чисел}. Там мы представили элементы этого множества
|
|
|
\emph{бесконечными последовательностями из нулей и единиц}. Эти нули и единицы
|
|
\emph{бесконечными последовательностями из нулей и единиц}. Эти нули и единицы
|
|
|
можно рассматривать как цифры в двоичной (или диадической) системе счисления,
|
|
можно рассматривать как цифры в двоичной (или диадической) системе счисления,
|
|
@@ -998,7 +998,7 @@ $n$\emph{\nobreakdash-ки действительных чисел} или \emph
|
|
|
натурального $n$ и даже \emph{бесконечные последовательности действительных
|
|
натурального $n$ и даже \emph{бесконечные последовательности действительных
|
|
|
чисел} или \emph{точки действительного эвклидова}
|
|
чисел} или \emph{точки действительного эвклидова}
|
|
|
$\alephZero$\emph{\nobreakdash-мерного пространства}. Этот последний пример
|
|
$\alephZero$\emph{\nobreakdash-мерного пространства}. Этот последний пример
|
|
|
-можно рассмотреть с помощью метода~\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets},
|
|
|
|
|
|
|
+можно рассмотреть с помощью метода~~\ref{sec:1-enumerable_sets},
|
|
|
посредством которого $\alephZero$ последовательностей нулей и единиц
|
|
посредством которого $\alephZero$ последовательностей нулей и единиц
|
|
|
\begin{equation*}
|
|
\begin{equation*}
|
|
|
\xymatrix@!@=1.6666667ex{
|
|
\xymatrix@!@=1.6666667ex{
|
|
@@ -1158,10 +1158,10 @@ $n$, ${0''''=0''}$ возможно только при ${0'''=0'}$. Опять
|
|
|
Эти пять предложений~\ref{list:p6-l1-i1}--\ref{list:p6-l1-i5} с одним отличием
|
|
Эти пять предложений~\ref{list:p6-l1-i1}--\ref{list:p6-l1-i5} с одним отличием
|
|
|
были выбраны Пеано~\cite{peano1889,peano1891} в качестве аксиом, характеризующих
|
|
были выбраны Пеано~\cite{peano1889,peano1891} в качестве аксиом, характеризующих
|
|
|
натуральный ряд чисел. Пеано вместо предложения~\ref{list:p6-l1-i3}
|
|
натуральный ряд чисел. Пеано вместо предложения~\ref{list:p6-l1-i3}
|
|
|
-сформулировал принцип математической индукции
|
|
|
|
|
-(\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction}) и поместил его в списке на пятом
|
|
|
|
|
-месте, сдвинув предложения \ref{list:p6-l1-i4} и \ref{list:p6-l1-i5}
|
|
|
|
|
-соответственно на третье и четвёртое места.
|
|
|
|
|
|
|
+сформулировал принцип математической
|
|
|
|
|
+индукции~(\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction}) и поместил его в
|
|
|
|
|
+списке на пятом месте, сдвинув предложения~\ref{list:p6-l1-i4}
|
|
|
|
|
+и~\ref{list:p6-l1-i5} соответственно на третье и четвёртое места.
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь мы не рассматриваем внутреннюю природу натуральных чисел; нас интересует
|
|
Здесь мы не рассматриваем внутреннюю природу натуральных чисел; нас интересует
|
|
|
только, как они образуют натуральный ряд. Каждое индивидуальное натуральное
|
|
только, как они образуют натуральный ряд. Каждое индивидуальное натуральное
|
|
@@ -1176,10 +1176,10 @@ $n$, ${0''''=0''}$ возможно только при ${0'''=0'}$. Опять
|
|
|
|
|
|
|
|
Разумеется, имея дело с предложениями типа <<некоторое уравнение имеет два
|
|
Разумеется, имея дело с предложениями типа <<некоторое уравнение имеет два
|
|
|
корня>>, мы продолжаем пользоваться тем, что натуральные числа суть кардинальные
|
|
корня>>, мы продолжаем пользоваться тем, что натуральные числа суть кардинальные
|
|
|
-числа конечных множеств
|
|
|
|
|
|
|
+числа конечных множеств~%
|
|
|
(\textsection~\ref{sec:4-the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
|
|
(\textsection~\ref{sec:4-the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
|
|
|
|
|
|
|
|
-\begin{SCEnvWLabel}{Порядок}{order:p6}{order:p6}
|
|
|
|
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Порядок.}{order:p6}{order:p6}
|
|
|
Согласно индуктивному определению натуральных чисел, они порождаются в некотором
|
|
Согласно индуктивному определению натуральных чисел, они порождаются в некотором
|
|
|
(обычном) порядке. Таким образом, мы определяем, что ${m<n}$, если $m$
|
|
(обычном) порядке. Таким образом, мы определяем, что ${m<n}$, если $m$
|
|
|
порождается раньше $n$ по ходу порождения $n$. Расчленяя это, мы получаем
|
|
порождается раньше $n$ по ходу порождения $n$. Расчленяя это, мы получаем
|
|
@@ -1436,7 +1436,7 @@ ${b\in N\OLcup\left\{ a\right\}}$)‚ ${M_{1}=N\OLcup\left\{ a\right\}}$.
|
|
|
область $D$ (или, может быть‚ несколько таких множеств) объектов‚ между которыми
|
|
область $D$ (или, может быть‚ несколько таких множеств) объектов‚ между которыми
|
|
|
установлены некоторые соотношения.
|
|
установлены некоторые соотношения.
|
|
|
|
|
|
|
|
-Например, натуральный ряд (\textsection~\ref{sec:6-the_natural_numbers})
|
|
|
|
|
|
|
+Например, натуральный ряд~(\textsection~\ref{sec:6-the_natural_numbers})
|
|
|
образует систему типа ${(D, 0, \vphantom{s}')}$‚ где $D$~---~множество,
|
|
образует систему типа ${(D, 0, \vphantom{s}')}$‚ где $D$~---~множество,
|
|
|
$0$~---~элемент множества $D$, а $'$~---~унарная операция над элементами
|
|
$0$~---~элемент множества $D$, а $'$~---~унарная операция над элементами
|
|
|
множества $D$. Другой простой тип системы --- это ${(D, \OLprec)}$‚ где
|
|
множества $D$. Другой простой тип системы --- это ${(D, \OLprec)}$‚ где
|
|
@@ -1707,7 +1707,7 @@ $\OLprec$~---~обычное отношение порядка для каждо
|
|
|
определённые) счётные системы объектов, например целые или рациональные числа.
|
|
определённые) счётные системы объектов, например целые или рациональные числа.
|
|
|
Всякую конкретную систему такого рода (или соответствующую этой системе теорию)
|
|
Всякую конкретную систему такого рода (или соответствующую этой системе теорию)
|
|
|
можно называть \emph{арифметикой} (an arithmetic). Рассмотрение обычно
|
|
можно называть \emph{арифметикой} (an arithmetic). Рассмотрение обычно
|
|
|
-происходит абстрактно (\textsection~\ref{sec:8-system_of_objects}). Объекты
|
|
|
|
|
|
|
+происходит абстрактно~(\textsection~\ref{sec:8-system_of_objects}). Объекты
|
|
|
обычно рассматриваются как \emph{индивидуумы} (т.~е. без анализа их построения
|
|
обычно рассматриваются как \emph{индивидуумы} (т.~е. без анализа их построения
|
|
|
из других объектов), исключая некоторые случаи (например, основные свойства
|
|
из других объектов), исключая некоторые случаи (например, основные свойства
|
|
|
неотрицательных рациональных чисел изучаются при помощи представления их в виде
|
|
неотрицательных рациональных чисел изучаются при помощи представления их в виде
|
|
@@ -1792,7 +1792,7 @@ $X_{1}$ меньше каждого рационального числа из $
|
|
|
иррационального) было однозначным, можно пользоваться только нижними множествами
|
|
иррационального) было однозначным, можно пользоваться только нижними множествами
|
|
|
$X_{1}$ сечений, у которых $X_{1}$ не имеет наибольшего числа. Это приводит к
|
|
$X_{1}$ сечений, у которых $X_{1}$ не имеет наибольшего числа. Это приводит к
|
|
|
следующему определению (в котором мы пишем $\mathbf{x}$ вместо $X_{1}$ и
|
|
следующему определению (в котором мы пишем $\mathbf{x}$ вместо $X_{1}$ и
|
|
|
-${\OLRealNumSet\OLsetminus\mathbf{x}}$ вместо $X_{2}$.
|
|
|
|
|
|
|
+${\OLRealNumSet\OLsetminus\mathbf{x}}$ вместо $X_{2}$).
|
|
|
|
|
|
|
|
\emph{Действительное число} --- это такое множество $\mathbf{x}$ рациональных
|
|
\emph{Действительное число} --- это такое множество $\mathbf{x}$ рациональных
|
|
|
чисел, что
|
|
чисел, что
|
|
@@ -2156,7 +2156,7 @@ $x$&$0$&\multicolumn{1}{|c|}{$1$}&&&$x$&$0$&%
|
|
|
ещё в 1895~г., возник в канторовской теории трансфинитных ординальных
|
|
ещё в 1895~г., возник в канторовской теории трансфинитных ординальных
|
|
|
чисел~\footnote{Речь идёт о парадоксе, к которому приводит рассмотрение
|
|
чисел~\footnote{Речь идёт о парадоксе, к которому приводит рассмотрение
|
|
|
порядкового типа множества всех порядковых чисел. Ср. Хаусдорф, Теория
|
|
порядкового типа множества всех порядковых чисел. Ср. Хаусдорф, Теория
|
|
|
-множеств~\cite[стр. 65 перевода на русский язык]{hausdorff1927}~---~%
|
|
|
|
|
|
|
+множеств~\cite[стр.~65 перевода на русский язык]{hausdorff1927}~---~%
|
|
|
\emph{Прим. перев.}}.
|
|
\emph{Прим. перев.}}.
|
|
|
%%
|
|
%%
|
|
|
%% исправлена опечатка
|
|
%% исправлена опечатка
|
|
@@ -2219,7 +2219,7 @@ ${\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}<\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}}$.
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{(C)}{paradox:p11-C}{(C)}
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{(C)}{paradox:p11-C}{(C)}
|
|
|
-\emph{Парадокс Рассела}~\cite{russel1902-1903}‚ независимо от него открытый также
|
|
|
|
|
|
|
+\emph{Парадокс Рассела}~\cite{russell1902-1903}‚ независимо от него открытый также
|
|
|
Цермело, связан с множеством всех множеств, которые не являются элементами самих
|
|
Цермело, связан с множеством всех множеств, которые не являются элементами самих
|
|
|
себя. Обозначим это множество через $T$. Является ли $T$ элементом самого себя?
|
|
себя. Обозначим это множество через $T$. Является ли $T$ элементом самого себя?
|
|
|
|
|
|
|
@@ -2252,7 +2252,7 @@ ${\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}<\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}}$.
|
|
|
применить к тождественному \isom-соответствию
|
|
применить к тождественному \isom-соответствию
|
|
|
${\setOfSets{M}\sim\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$, при котором каждый элемент
|
|
${\setOfSets{M}\sim\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$, при котором каждый элемент
|
|
|
множества $\setOfSets{M}$ соответствует в ${\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$ самому
|
|
множества $\setOfSets{M}$ соответствует в ${\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$ самому
|
|
|
-себе. Популяризируя этот парадокс, Рассел~\cite{russel1919} рассматривает
|
|
|
|
|
|
|
+себе. Популяризируя этот парадокс, Рассел~\cite{russell1919} рассматривает
|
|
|
деревенского парикмахера, который бреет всех тех и только тех жителей своей
|
|
деревенского парикмахера, который бреет всех тех и только тех жителей своей
|
|
|
деревни, которые не бреются сами. Бреет ли он самого себя? (Конечно, здесь мы не
|
|
деревни, которые не бреются сами. Бреет ли он самого себя? (Конечно, здесь мы не
|
|
|
можем избежать парадокса просто путём заключения, что никогда не было такого
|
|
можем избежать парадокса просто путём заключения, что никогда не было такого
|
|
@@ -2341,7 +2341,7 @@ ${\setOfSets{M}\sim\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$, при котором кажд
|
|
|
%% ======================= Страница 42 =======================
|
|
%% ======================= Страница 42 =======================
|
|
|
Павлом в <<Послании к Титу>> I, 12, как принадлежащее одному критскому
|
|
Павлом в <<Послании к Титу>> I, 12, как принадлежащее одному критскому
|
|
|
<<пророку>>, которого раннее христианство, согласно позднейшим исследованиям,
|
|
<<пророку>>, которого раннее христианство, согласно позднейшим исследованиям,
|
|
|
-отождествляло с Эпименидом. См. Вейль~\cite[стр.228]{weyl1949}.)
|
|
|
|
|
|
|
+отождествляло с Эпименидом. См. Вейль~\cite[стр.~228]{weyl1949}.)
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем различать два рода лжецов: лжецы первого рода, которые иногда говорят
|
|
Будем различать два рода лжецов: лжецы первого рода, которые иногда говорят
|
|
|
правду, и лжецы второго рода, которые говорят только ложь. Будем понимать
|
|
правду, и лжецы второго рода, которые говорят только ложь. Будем понимать
|
|
@@ -2361,7 +2361,7 @@ ${\setOfSets{M}\sim\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$, при котором кажд
|
|
|
<<высказывание, которое я сейчас произношу, ложно>>. Стоящее в кавычках
|
|
<<высказывание, которое я сейчас произношу, ложно>>. Стоящее в кавычках
|
|
|
высказывание не может быть без противоречия ни истинным, ни ложным. Этот вариант
|
|
высказывание не может быть без противоречия ни истинным, ни ложным. Этот вариант
|
|
|
парадокса приписывается Эвбулиду (четвёртый век до~н.~э.) и был хорошо известен
|
|
парадокса приписывается Эвбулиду (четвёртый век до~н.~э.) и был хорошо известен
|
|
|
-в древности. (См. Рюстов\cite{rustow1910}.) Если высказывание <<все
|
|
|
|
|
|
|
+в древности. (См. Рюстов~\cite{rustow1910}.) Если высказывание <<все
|
|
|
критяне~---~лжецы\ldots>> не принадлежит Эпимениду или первоначально не
|
|
критяне~---~лжецы\ldots>> не принадлежит Эпимениду или первоначально не
|
|
|
воспринималось как парадокс, то эвбулидовский вариант лжеца может быть древнее,
|
|
воспринималось как парадокс, то эвбулидовский вариант лжеца может быть древнее,
|
|
|
чем вариант <<лгущего критянина>>.
|
|
чем вариант <<лгущего критянина>>.
|
|
@@ -2369,7 +2369,7 @@ ${\setOfSets{M}\sim\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$, при котором кажд
|
|
|
В древней <<дилемме крокодила>> крокодил украл ребёнка. Крокодил обещал отцу
|
|
В древней <<дилемме крокодила>> крокодил украл ребёнка. Крокодил обещал отцу
|
|
|
вернуть ребёнка, если отец угадает, вернёт ему крокодил ребёнка или нет. Что
|
|
вернуть ребёнка, если отец угадает, вернёт ему крокодил ребёнка или нет. Что
|
|
|
должен сделать крокодил, если отец скажет, что крокодил не вернёт ему ребёнка?
|
|
должен сделать крокодил, если отец скажет, что крокодил не вернёт ему ребёнка?
|
|
|
-(См.~Прандтль~\cite[стр.493]{prandtl1855}.)
|
|
|
|
|
|
|
+(См.~Прандтль~\cite[стр.~493]{prandtl1855}.)
|
|
|
|
|
|
|
|
С этим парадоксом связана следующая загадка. Путешественник попал к людоедам.
|
|
С этим парадоксом связана следующая загадка. Путешественник попал к людоедам.
|
|
|
Они разрешают ему произнести какое-нибудь высказывание и ставят условие, что
|
|
Они разрешают ему произнести какое-нибудь высказывание и ставят условие, что
|
|
@@ -2402,12 +2402,353 @@ ${\setOfSets{M}\sim\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$, при котором кажд
|
|
|
сможем рассматривать множество всех натуральных чисел, пока нам не станет
|
|
сможем рассматривать множество всех натуральных чисел, пока нам не станет
|
|
|
известно, что этими числами не исчерпываются все кардинальные числа, и та же
|
|
известно, что этими числами не исчерпываются все кардинальные числа, и та же
|
|
|
самая
|
|
самая
|
|
|
|
|
+%% ======================= Страница 43 =======================
|
|
|
|
|
+трудность возникает на более высоких ступенях. Если мы запретим множество всех
|
|
|
|
|
+множеств, то получим конфликт с канторовским определением множества. Чтобы
|
|
|
|
|
+вообще имелась теория множеств, надо иметь теоремы, справедливые для всех
|
|
|
|
|
+множеств, а все множества, по канторовскому определению, образуют множество.
|
|
|
|
|
+Если это не так, то мы должны указать, каким определением множества мы будем
|
|
|
|
|
+пользоваться взамен, или же дополнить канторовское определение некоторым
|
|
|
|
|
+дальнейшим критерием, устанавливающим, когда описанная в его определении
|
|
|
|
|
+совокупность объектов образует множество (Сколем~\cite{skolem1929-30}).
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Аксиоматическая теория множеств.}%
|
|
|
|
|
+{spar:p12-axiomatic_set_theory}{spar:p12-axiomatic_set_theory}
|
|
|
|
|
+Были предложены построения теории множеств, в которых понятие множества связано
|
|
|
|
|
+лишь такими ограничениями, исключающими образование слишком обширных множеств,
|
|
|
|
|
+какие необходимы для предупреждения известных антиномий. Ввиду того, что
|
|
|
|
|
+свободное пользование нашими понятиями при построении множеств согласно
|
|
|
|
|
+канторовскому определению приводит к крушению, употребление
|
|
|
|
|
+теоретико-множественных понятий регулируется аксиомами вроде тех, которым
|
|
|
|
|
+подчиняются ,,точка`` и ,,прямая`` в эвклидовой планиметрии. Первая система
|
|
|
|
|
+\emph{аксиоматической теории множеств} принадлежит Цермело~\cite{zermelo1908}.
|
|
|
|
|
+Френкель~\cite{fraenkel1922, fraenkel1925},
|
|
|
|
|
+Сколем~\cite{skolem1922-23,skolem1929}, Нейман~\cite{neumann1925,neumann1928},
|
|
|
|
|
+Бернайс~\cite{bernays1937-54} и другие улучшили аксиоматическое рассмотрение
|
|
|
|
|
+множеств. На базе аксиоматической теории множеств можно обосновать анализ, и эта
|
|
|
|
|
+база является, пожалуй, простейшей базой, предложенной для построения
|
|
|
|
|
+существующей математики с тех пор, как были обнаружены парадоксы. В связи с
|
|
|
|
|
+аксиоматической теорией множеств были сделаны некоторые очень интересные
|
|
|
|
|
+открытия, особенно Сколемом~\cite{skolem1922-23}~(см.~ниже~\textsection~%
|
|
|
|
|
+\ref{sec:75-axiom_systems_skolem_s_paradox_the_natural_number_sequence}) и
|
|
|
|
|
+Гёделем~\cite{goedel1938,goedel1939,goedel1940}\footnote{А также
|
|
|
|
|
+П.~С.~Новиковым\cite{novikov1951}.~---~\textit{Прим. ред.}}.
|
|
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
|
|
-stub
|
|
|
|
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Широкая постановка проблемы оснований математики.}%
|
|
|
|
|
+{spar:p12-the_broader_problem_of_foundations}%
|
|
|
|
|
+{spar:p12-the_broader_problem_of_foundations}
|
|
|
|
|
+~Допустим, что при аксиоматизации теории множеств парадоксы устраняются~---~а у
|
|
|
|
|
+нас имеется лишь единственный довод в пользу этого допущения, состоящий в том,
|
|
|
|
|
+что до сих пор при упомянутых выше аксиоматизациях не было обнаружено ни одного
|
|
|
|
|
+парадокса,~---~означает ли это, что мы получили полное решение той проблемы,
|
|
|
|
|
+которая была поставлена в связи с парадоксами?
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Что касается геометрии, то со времени открытия неэвклидовой геометрии математики
|
|
|
|
|
+стали понимать, что имеется несколько возможных видов пространства. Системы
|
|
|
|
|
+аксиом выделяют тот или иной вид пространства или некоторые общие свойства
|
|
|
|
|
+различных пространств, которыми геометр должен заниматься. Если в формальной
|
|
|
|
|
+аксиоматической теории возникнет противоречие, то это будет означать просто, что
|
|
|
|
|
+была постулирована неосуществимая комбинация свойств.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Но что касается кульминирующих в теории множеств арифметики и анализа, то до
|
|
|
|
|
+современной эпохи критицизма математики обычно считали, что они имеют дело с
|
|
|
|
|
+системами объектов, порождаемыми генетически теми определениями, которые
|
|
|
|
|
+предназначены для полного описания их структуры. Считали, что теоремы выражают
|
|
|
|
|
+истины, относящиеся к этим системам, а не предложения, гипотетически приложимые
|
|
|
|
|
+ко всяким системам объектов, удовлетворяющих аксиомам (если такие системы
|
|
|
|
|
+объектов существуют). А тогда, как могут в этих областях появляться
|
|
|
|
|
+противоречия, если только нет какого-нибудь дефекта в логике или ошибки в тех
|
|
|
|
|
+методах построения и рассуждений о математических объектах, которым мы до сих
|
|
|
|
|
+пор доверяли?
|
|
|
|
|
+%%
|
|
|
|
|
+%% исправлена опечатка
|
|
|
|
|
+%% в оригинале "системам объектов, удовлетворяющим аксиомам"
|
|
|
|
|
+%%
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Сказать, что теперь эти области надо строить на аксиоматической основе,~---~ это
|
|
|
|
|
+ещё не значит избавиться от проблемы. И после аксиоматизации на некотором уровне
|
|
|
|
|
+остаются ещё истина и ложь. Если аксиоматика содержательна
|
|
|
|
|
+%% ======================= Страница 44 =======================
|
|
|
|
|
+(т.~е. не формальна), то аксиомы должны быть истинными. Если же аксиоматика
|
|
|
|
|
+формальна, то по крайней мере нам нужна уверенность, что теоремы следуют из
|
|
|
|
|
+аксиом; и, кроме того, чтобы математическое творчество не сводилось к
|
|
|
|
|
+бессмыслице, должно иметься какое-то соответствие между этими результатами и
|
|
|
|
|
+некоторой действительностью, лежащей вне аксиоматической теории. Формально
|
|
|
|
|
+аксиоматизированные математические предложения не могут составить всей
|
|
|
|
|
+математики; должна иметься также интуитивно понимаемая математика. Если мы
|
|
|
|
|
+вынуждены отказаться от нашей прежней веры, что она содержит всю арифметику,
|
|
|
|
|
+анализ и теорию множеств, то мы не можем испытать полного удовлетворения, пока
|
|
|
|
|
+не узнаем, в чем была ошибочность этой веры и где теперь должна проходить
|
|
|
|
|
+разделительная черта.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Таким образом, непосредственная проблема устранения парадоксов поглощается более
|
|
|
|
|
+широкой проблемой обоснования математики и логики. Какова природа математической
|
|
|
|
|
+истины? Какой смысл имеют математические предложения и на какого рода
|
|
|
|
|
+доказательствах они основаны? С этой широкой проблемой или комплексом проблем
|
|
|
|
|
+философия имеет дело независимо от того, что в окраинных областях математики
|
|
|
|
|
+появились парадоксы. Исторически последнее обстоятельство привело к более
|
|
|
|
|
+интенсивному изучению этого вопроса математиками, чем это, вероятно, было бы при
|
|
|
|
|
+других обстоятельствах; очевидно, что эти парадоксы накладывают условия на
|
|
|
|
|
+решение задачи\footnote{Интересные результаты, проливающие свет на проблему
|
|
|
|
|
+парадоксов, принадлежат Д.~А.~Бочвару~\cite{bochvar1938, bochvar1944} и
|
|
|
|
|
+П.~С.~Новикову~\cite{novikov1947}.~---~\textit{Прим. ред.}}.
|
|
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Непредикативные определения.}%
|
|
|
|
|
+{spar:p12-impredicative_definition}%
|
|
|
|
|
+{spar:p12-impredicative_definition}
|
|
|
|
|
+Пусть множество $M$ и объект $m$ определены таким образом, что, с одной стороны,
|
|
|
|
|
+$m$ является элементом $M$‚ а с другой стороны, определение $m$ зависит от $M$;
|
|
|
|
|
+тогда мы будем говорить, что процесс (или определение $m$, или определение $M$)
|
|
|
|
|
+является \emph{непредикативным}. Аналогично, когда свойством $P$ обладает
|
|
|
|
|
+некоторый объект $m$, определение которого зависит от $P$ (при этом множеством
|
|
|
|
|
+$M$ служит множество объектов, обладающих свойством $P$). Непредикативное
|
|
|
|
|
+определение является порочным\footnote{В подлиннике circular.~---~\textit{Прим.
|
|
|
|
|
+перев.}}, по крайней мере по виду, так как то, что в нем определяется, принимает
|
|
|
|
|
+участие в своём собственном определении.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Каждая из антиномий~\textsection~\ref{sec:11-the_paradoxes} использует
|
|
|
|
|
+непредикативное определение. В~\ref{paradox:p11-B} множество
|
|
|
|
|
+$\setOfSets{M}$ всех множеств содержит в качестве элементов множества
|
|
|
|
|
+$\OLpowerset{\setOfSets{M}} $ и $\OLunion{\setOfSets{M}}$, определяемые через
|
|
|
|
|
+$\setOfSets{M}$. В парадоксе Рассела~\ref{paradox:p11-C} непредикативный
|
|
|
|
|
+процесс бросается в глаза после следующей переработки определения $T$. Мы
|
|
|
|
|
+разделим множество $\setOfSets{M}$ всех множеств на две части, из которых первая
|
|
|
|
|
+содержит те элементы, которые содержат самих себя, а вторая (которая и есть
|
|
|
|
|
+$T$)~---~те‚ которые не содержат самих себя. Затем мы помещаем $T$ (определённое
|
|
|
|
|
+этим разделением $\setOfSets{M}$ на две части) обратно в $\setOfSets{M}$ и
|
|
|
|
|
+спрашиваем, в какую часть $\setOfSets{M}$ оно при этом попадает. В парадоксе
|
|
|
|
|
+Ришара~\ref{paradox:p11-D} совокупность всех выражений русского языка, которые
|
|
|
|
|
+образуют определение функции (действительного числа или натурального числа),
|
|
|
|
|
+рассматривается как содержащая выражение, стоящее в кавычках и определяемое
|
|
|
|
|
+через эту совокупность. В парадоксе Эпименида~\ref{paradox:p11-E} совокупность
|
|
|
|
|
+всех высказываний разделяется на две части~---~совокупность всех истинных и
|
|
|
|
|
+совокупность всех ложных высказываний. Высказывание, зависящее от этого
|
|
|
|
|
+разделения, считается затем принадлежащим первоначальной совокупности, когда мы
|
|
|
|
|
+спрашиваем, истинно оно или ложно.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Пуанкаре~\cite{poincare1905-1906,poincare1908} считал, что причина парадоксов
|
|
|
|
|
+лежит в этих непредикативных определениях, а
|
|
|
|
|
+Рассел~\cite{russell1906,russell1910} провозгласил это же объяснение в своём
|
|
|
|
|
+принципе порочного круга: никакая совокупность не может содержать элементов,
|
|
|
|
|
+определимых только в терминах этой совокупности, а также элементов, включающих в
|
|
|
|
|
+себя или предполагающих эту совокупность. Возможно, что в этом состоит
|
|
|
|
|
+достаточное разрешение и точное проникновение
|
|
|
|
|
+%% ======================= Страница 45 =======================
|
|
|
|
|
+в сущность парадоксов, но возникает следующее затруднение: части математики,
|
|
|
|
|
+которые мы желаем сохранить, и в том числе анализ, также содержат
|
|
|
|
|
+непредикативные определения.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Примером служит определение
|
|
|
|
|
+${\mathbf{u}=\OLsup\setOfSets{M}}$~%
|
|
|
|
|
+(\textsection~\ref{sec:9-number_theory_vs_analysis}~\ref{theorem:p9-A}).
|
|
|
|
|
+Согласно дедекиндовскому определению действительных чисел, множество
|
|
|
|
|
+$\setOfSets{C}$ всех действительных чисел~---~это множество всех тех множеств
|
|
|
|
|
+$\mathbf{x}$ рациональных чисел, которые обладают тремя
|
|
|
|
|
+свойствами~\ref{property:p9-a},~\ref{property:p9-b},~\ref{property:p9-c}. Эта
|
|
|
|
|
+совокупность разбивается затем на две части $\setOfSets{M}$ и
|
|
|
|
|
+${\setOfSets{C}\OLsetminus\setOfSets{M}}$. Мы определяем $\mathbf{u}$ как
|
|
|
|
|
+${\OLunion{\setOfSets{M}}}$ и затем рассматриваем это множество
|
|
|
|
|
+${\OLunion{\setOfSets{M}}}$ как элемент $\setOfSets{C}$. Это определение
|
|
|
|
|
+${\mathbf{u}=\OLunion{\setOfSets{M}}}$ в общем случае зависит от
|
|
|
|
|
+$\setOfSets{C}$, так как $\setOfSets{M}$ в общем случае определяется как
|
|
|
|
|
+множество тех элементов $\setOfSets{C}$, которые обладают некоторым свойством
|
|
|
|
|
+$P$.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Можно пытаться защищать это непредикативное определение, истолковывая его не как
|
|
|
|
|
+определение или создание в первый раз действительного числа $\mathbf{u}$ (при
|
|
|
|
|
+таком истолковании определение совокупности $\setOfSets{C}$ всех действительных
|
|
|
|
|
+чисел было бы порочным\footnote{В подлиннике circular.~---~\textit{Прим.
|
|
|
|
|
+перев.}}), а только как описание, которое выделяет это индивидуальное число
|
|
|
|
|
+$\mathbf{u}$ из уже существующей совокупности $\setOfSets{C}$ всех
|
|
|
|
|
+действительных чисел. Но этот же довод можно применить для защиты
|
|
|
|
|
+непредикативных определений в парадоксах.
|
|
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Конструктивный континуум Вейля.}%
|
|
|
|
|
+{spar:p12-weil_s_constructive_continuum}%
|
|
|
|
|
+{spar:p12-weil_s_constructive_continuum}
|
|
|
|
|
+Непредикативный характер некоторых определений анализа особенно подчёркивался
|
|
|
|
|
+Вейлем, который в своей книге~<<Das Kontinuum>>~(Континуум)~\cite{weyl1918}
|
|
|
|
|
+предпринял исследование того, какая часть анализа может быть построена без
|
|
|
|
|
+непредикативных определений. Можно указать ряд операций, достаточных для
|
|
|
|
|
+построения многих частных категорий иррациональных чисел. Вейлю удалось на этом
|
|
|
|
|
+пути получить значительную часть анализа~---~но не теорему о том, что
|
|
|
|
|
+произвольное непустое множество $\setOfSets{M}$ действительных чисел, имеющее
|
|
|
|
|
+верхнюю границу‚ имеет наименьшую верхнюю
|
|
|
|
|
+границу~(см.~также~Вейль~\cite{weyl1919}).
|
|
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Имеются три основных направления в основаниях математики: (i) логицистическая
|
|
|
|
|
+школа (Рассел и Уайтхед, Англия), (ii) интуиционистская школа (Брауэр,
|
|
|
|
|
+Голландия) и (iii) формалистическая, или аксиоматическая, школа (Гильберт,
|
|
|
|
|
+Германия). (Иногда вместо <<логицистическая>> говорят <<логистическая>>; но
|
|
|
|
|
+термин <<логистика>> имеет также другой смысл,
|
|
|
|
|
+см.~\textsection~\ref{sec:15-formalization_of_a_theory}.) Эта широкая
|
|
|
|
|
+классификация не включает различных других точек зрения, которые не столь широко
|
|
|
|
|
+культивировались или не совмещают в такой же степени реконструкцию математики и
|
|
|
|
|
+философию, лежащую в её основе.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Логицизм.}{spar:p12-logicism}{spar:p12-logicism}
|
|
|
|
|
+Логицистический тезис состоит в том, что математика является отраслью логики.
|
|
|
|
|
+Математические понятия следует определять в терминах логических понятий. Теоремы
|
|
|
|
|
+математики следует доказывать как теоремы логики.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Лейбниц~\cite{leibniz1666} первый рассматривал логику как науку, идеи и принципы
|
|
|
|
|
+которой лежат в основе всех других наук. Дедекинд~\cite{dedekind1888} и
|
|
|
|
|
+Фреге~\cite{frege1884,frege1893,frege1903} занимались определением
|
|
|
|
|
+математических понятий в терминах логических, а
|
|
|
|
|
+Пеано~\cite{peano1889,peano1894-1908}~---~выражением математических теорем в
|
|
|
|
|
+логическом символизме.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Для иллюстрации того, каким образом математические понятия определяются через
|
|
|
|
|
+логические, примем сначала определение кардинального числа по
|
|
|
|
|
+Фреге-Расселу~(\textsection~\ref{sec:3-cardinal_number}) и определения
|
|
|
|
|
+кардинального числа $0$ и кардинального числа ${n+1}$ для каждого кардинального
|
|
|
|
|
+числа $n$\footnote{Имеется в виду определение ${n+1}$ на
|
|
|
|
|
+стр.~\pageref{def:p4-m_plus_one}.~---~\textit{Прим. перев.}}~%
|
|
|
|
|
+(\textsection~\ref{sec:4-the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
|
|
|
|
|
+Тогда \emph{конечное кардинальное} (или \emph{натуральное}) \emph{число} можно
|
|
|
|
|
+определить как кардинальное число, обладающее каждым свойством $P$, таким, что
|
|
|
|
|
+(1)\itemlabel{prop:p12-1}{(1)}~$0$~обладает свойством $P$ и
|
|
|
|
|
+(2)%
|
|
|
|
|
+%% ======================= Страница 46 =======================
|
|
|
|
|
+\itemlabel{prop:p12-2}{(2)}~${n+1}$~обладает свойством $P$, коль скоро
|
|
|
|
|
+$n$ обладает свойством~$P$. Короче говоря, натуральное число определяется как
|
|
|
|
|
+кардинальное число, для которого имеет место математическая индукция. Эта точка
|
|
|
|
|
+зрения резко отличается от той, которая была принята
|
|
|
|
|
+в~\textsection\textsection~\ref{sec:6-the_natural_numbers}~%
|
|
|
|
|
+и~\ref{sec:7-mathematical_induction}, где мы, исходя из интуитивного понимания
|
|
|
|
|
+натурального ряда, извлекли принцип, что если дано некоторое частное свойство
|
|
|
|
|
+$P$ натуральных чисел, такое, что~\ref{prop:p12-1}~и~\ref{prop:p12-2}, то любое
|
|
|
|
|
+натуральное число должно обладать свойством $P$. Здесь же мы исходим из
|
|
|
|
|
+совокупности всех свойств кардинальных чисел, предполагая тем самым её
|
|
|
|
|
+существование в логике, и затем уже определяем натуральный ряд чисел. Заметим,
|
|
|
|
|
+что это определение непредикативно, потому что определяемое свойство~---~быть
|
|
|
|
|
+натуральным числом~---~принадлежит совокупности свойств кардинальных чисел,
|
|
|
|
|
+которая предполагается в определении.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Чтобы приспособить логицистическое построение математики к той ситуации, которая
|
|
|
|
|
+возникла в связи с открытием парадоксов, Рассел посредством своей
|
|
|
|
|
+\emph{разветвлённой теории типов}~\cite{russell1908,russell1910}%
|
|
|
|
|
+\footnote{См.~также
|
|
|
|
|
+Гильберт~и~Аккерман~\cite{hilbert_and_ackerman1928}.~---~\textit{Прим. ред.}}
|
|
|
|
|
+исключил непредикативные определения. Грубо говоря, эта теория состоит в
|
|
|
|
|
+следующем. Первичные объекты или индивидуумы (т.~е. данные вещи, которые не
|
|
|
|
|
+подвергаются логическому анализу) приписываются одному типу (скажем,
|
|
|
|
|
+\emph{типу}~$0$), свойства индивидуумов~---~\emph{типу}~$1$, свойства свойств
|
|
|
|
|
+индивидуумов~---~\emph{типу}~$2$ и~т.~д.; не допускается никаких свойств,
|
|
|
|
|
+которые не попадали бы в один из этих логических типов (например, свойства
|
|
|
|
|
+,,предикабельно`` и ,,импредикабельно``
|
|
|
|
|
+из~\textsection~\ref{sec:11-the_paradoxes} при этом исключаются из логики). При
|
|
|
|
|
+более подробном изложении описываются также допустимые типы для других объектов,
|
|
|
|
|
+таких, как отношения и классы\footnote{Каждый класс приписывается тому же типу,
|
|
|
|
|
+что и соответствующее свойство, т.~е. свойство, присущее всем элементам данного
|
|
|
|
|
+класса и только им, а каждое $n$-аргументное~(${n>1}$) отношение~---~типу~%
|
|
|
|
|
+(${i_{1}, \ldots, i_{n}}$), где ${i_{p}}$ (${1\leqslant p\leqslant n}$)~---~тип
|
|
|
|
|
+$p$-го аргумента отношения. Таким образом, типы отношений~---~это уже не числа.
|
|
|
|
|
+Но можно и не вводить этих типов, определяя вместо этого отношения через классы
|
|
|
|
|
+упорядоченных $n$-ок; при этом $n$-ка ${\langle x_{1}, \ldots, x_{n}\rangle}$
|
|
|
|
|
+определяется при ${n>2}$ как
|
|
|
|
|
+${\left\langle x_{1}, \langle x_{2}, \ldots, x_{n}\rangle\right\rangle}$, а
|
|
|
|
|
+${\langle x, y\rangle}$ определяется как ${\left((x)(x, y)\right)}$, так что в
|
|
|
|
|
+конечном счёте теория отношений сводится к теории классов и можно обойтись
|
|
|
|
|
+натуральными типами. См.~\textit{Гильберт и Аккерман}, Основы теоретической
|
|
|
|
|
+логики, М.---Л., 1947, стр.~192~и~199, Гёдель~\cite{goedel1940}. Такое описание
|
|
|
|
|
+разветвлённой теории типов в деталях отличается от ступенчатого исчисления
|
|
|
|
|
+Гильберта и Аккермана.~---~\textit{Прим. перев.}}. Затем, чтобы исключить
|
|
|
|
|
+непредикативные определения внутри каждого типа, типы, отличные от типа~$0$,
|
|
|
|
|
+разделяются далее на порядки. Так, для типа~$1$ свойства, определяемые без
|
|
|
|
|
+упоминания о какой-либо совокупности, принадлежат \emph{порядку}~$0$, а
|
|
|
|
|
+свойства, определяемые при помощи совокупности свойств данного порядка,
|
|
|
|
|
+принадлежат следующему за ним порядку. (Логицистическое определение натурального
|
|
|
|
|
+числа становится теперь предикативным, если в нём $P$ рассматривать как
|
|
|
|
|
+пробегающее только по свойствам данного порядка, а свойство быть натуральным
|
|
|
|
|
+числом относится при этом к следующему порядку.) Но это разделение на порядки
|
|
|
|
|
+делает невозможным построение обычного анализа, который, как мы видели выше,
|
|
|
|
|
+содержит непредикативные определения. Чтобы избежать этого затруднения, Рассел
|
|
|
|
|
+постулировал свою \emph{аксиому сводимости}, которая утверждает, что для каждого
|
|
|
|
|
+свойства, принадлежащего ненулевому порядку, имеется равнообъёмное (т.~е.
|
|
|
|
|
+имеющее место в точности для тех же объектов) свойство порядка~$0$. Если только
|
|
|
|
|
+определимые свойства рассматриваются как существующие, то эта аксиома означает,
|
|
|
|
|
+что для каждого непредикативного определения внутри данного типа имеется
|
|
|
|
|
+эквивалентное ему предикативное.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Дедукция математики как области логики была выполнена на этой основе с помощью
|
|
|
|
|
+некоторого логического символизма в фундаментальном труде Уайтхеда и Рассела
|
|
|
|
|
+<<Principia mathematica>> (в трех томах~\cite{whitehead_and_russell1910-1913}).
|
|
|
|
|
+Эта книга имела огромное влияние на последующее развитие символической логики.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Эта дедукция математики из логики была предложена в качестве интуитивной
|
|
|
|
|
+аксиоматики. В аксиомы предлагается поверить или, по крайней мере, предлагается
|
|
|
|
|
+принять их как вероятные гипотезы о мире.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Теперь возникает трудность: на каком основании будем мы верить в аксиому
|
|
|
|
|
+сводимости? Если свойство надлежит строить, то этот вопрос должен быть решён на
|
|
|
|
|
+основе построения, а не посредством аксиомы. Как допускают авторы во введении ко
|
|
|
|
|
+второму изданию их книги (1925), <<эта аксиома имеет чисто прагматическое
|
|
|
|
|
+оправдание: она приводит к желаемым результатам и, насколько известно, ни к
|
|
|
|
|
+каким другим. Но, конечно, эта аксиома не такого рода, чтобы мы могли остаться
|
|
|
|
|
+ею довольны>>.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Рамсей~\cite{ramsey1926} обнаружил, что желаемые результаты, и только они, могут
|
|
|
|
|
+быть, повидимому, получены без иерархии порядков (т.~е. при помощи \emph{простой
|
|
|
|
|
+теории типов}). Он классифицирует известные антиномии, разделяя их на два рода,
|
|
|
|
|
+именуемые теперь ,,логическими`` (например, антиномии Бурали-Форти, Кантора и
|
|
|
|
|
+Рассела) и ,,эпистемологическими`` или ,,семантическими`` (например, антиномии
|
|
|
|
|
+Ришара и Эпименида), и он заметил, что логические антиномии (повидимому)
|
|
|
|
|
+исключаются простой иерархией типов, а семантические (повидимому) не могут
|
|
|
|
|
+появиться внутри символического языка простой теории типов из-за отсутствия в
|
|
|
|
|
+ней тех средств, которые требуются для описания выражений того же языка. Но
|
|
|
|
|
+доводы Рамсея для обоснования непредикативных определений внутри данного типа
|
|
|
|
|
+предполагают понятие совокупности всех предикатов этого типа как существующей
|
|
|
|
|
+независимо от их конструируемости\footnote{Т.~е. возможности построить их
|
|
|
|
|
+намеченным выше способом.~---~\textit{Прим. перев.}} или определяемости. Эти
|
|
|
|
|
+доводы были названы <<теологическими>>. Таким образом, ни Уайтхеду и Расселу, ни
|
|
|
|
|
+Рамсею не удалось конструктивным путём достичь логицистической цели. (Интересный
|
|
|
|
|
+план обоснования непредикативных определений внутри данного типа, предложенный
|
|
|
|
|
+Лангфордом~\cite{langford1927} и Карнапом~\cite{carnap1931-1932}, также не
|
|
|
|
|
+свободен от трудностей.)
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Вейль~\cite{weyl1946} утверждает, что в системе <<Principia mathematica>>
|
|
|
|
|
+<<математика основывается уже не на логике, а на своего рода логическом
|
|
|
|
|
+рае\ldots>>, и он замечает, что тот, кто готов поверить в этот <<трансцендентный
|
|
|
|
|
+мир>>, может также принять систему аксиоматической теории множеств (Цермело,
|
|
|
|
|
+Френкеля~и~т.~д.), которая для дедукции математики имеет то преимущество, что
|
|
|
|
|
+устроена проще.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Логицизм рассматривает существование натурального ряда как гипотезу о
|
|
|
|
|
+действительном мире (,,аксиому бесконечности``). Совершенно отличный подход к
|
|
|
|
|
+проблеме бесконечности предлагается
|
|
|
|
|
+интуиционистами~(\textsection~\ref{sec:13-intuitionism}) и
|
|
|
|
|
+формалистами ~(\textsection~\ref{sec:14-formalism}).
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Как с интуиционистской, так и с формалистской точки зрения (абстрактный)
|
|
|
|
|
+натуральный ряд является более элементарным, чем понятия кардинального числа и
|
|
|
|
|
+всех тех свойств кардинальных чисел, которые используются в логицистическом
|
|
|
|
|
+описании натурального ряда.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+Логицистический тезис может быть, наконец, подвергнут сомнению по той причине,
|
|
|
|
|
+что логика уже предполагает математические идеи в своей формулировке. С
|
|
|
|
|
+интуиционистской точки зрения существенное математическое ядро содержится в идее
|
|
|
|
|
+итерации, которой приходится пользоваться, например, при описании иерархии типов
|
|
|
|
|
+или понятия вывода из данных посылок.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
|
|
+К числу более новых работ логицистической школы относится работа
|
|
|
|
|
+Куайна~\cite{quine1940}. Критическое, но сочувственное обсуждение
|
|
|
|
|
+логицистического хода мысли дано Гёделем~\cite{goedel1944}. Вводное изложение
|
|
|
|
|
+имеется у Рассела~\cite{russell1919} и Блэка~\cite{black1933}.
|
|
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
|
|
\section{Интуиционизм}
|
|
\section{Интуиционизм}
|
|
|
\label{sec:13-intuitionism}
|
|
\label{sec:13-intuitionism}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+В 1880-х годах, когда процветали методы Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора,
|
|
|
|
|
+Кронекер настойчиво утверждал, что их фундаментальные понятия~---~это только
|
|
|
|
|
+слова, потому что они, вообще говоря, не дают нам возможности решить,
|
|
|
|
|
+удовлетворяет ли данный объект определению.
|
|
|
|
|
+
|
|
|
stub
|
|
stub
|
|
|
|
|
|
|
|
\section{Формализм}
|
|
\section{Формализм}
|
