|
|
@@ -341,13 +341,13 @@ $1$ и $4$, начинается с ${01001\ldots}$. Эти последоват
|
|
|
\emph{единичные} множества, каждое из которых обладает одним единственным
|
|
|
элементом. Пустое множество мы будем обозначать через
|
|
|
$\OLemptyset$~\footnote{Употребляется также
|
|
|
-обозначение $\Lambda$. --- \textit{Прим. ред.}}, единичное множество с
|
|
|
+обозначение $\Lambda$.~---~\textit{Прим.~ред.}}, единичное множество с
|
|
|
единственным элементом $a$ --- через $\{a\}$, а множество с элементами
|
|
|
$a$,~$b$,~$c$,~$\ldots$ --- через ${\{a,b,c,\ldots\}}$.
|
|
|
|
|
|
Множество называют также \emph{совокупностью}, \emph{классом}, \emph{системой},
|
|
|
\emph{семейством}, \emph{комплексом}, \emph{областью}~\footnote{В подлиннике ---
|
|
|
-\textit{aggregate, collection, class, domain, totality}. --- \textit{Прим.
|
|
|
+\textit{aggregate, collection, class, domain, totality}.~---~\textit{Прим.~%
|
|
|
ред.}}. То, что $a$ является элементом $M$, можно
|
|
|
%% ======================= Страница 16 =======================
|
|
|
выразить ещё словами: $a$ есть \emph{член} $M$, или \emph{принадлежит} $M$, или
|
|
|
@@ -355,7 +355,7 @@ $a$,~$b$,~$c$,~$\ldots$ --- через ${\{a,b,c,\ldots\}}$.
|
|
|
не является элементом $M$, то в символах это записывается так:
|
|
|
${a\OLnotin M}$~\footnote{В зарубежной литературе (в том числе в подлиннике)
|
|
|
вместо ${a\in M}$ пишут также ${a\,\mathcal{E}\, M}$, а вместо ${a\OLnotin M}$
|
|
|
-пишут ${a\,\cancel{\mathcal{E}}\, M}$. --- \textit{Прим. ред.}}.
|
|
|
+пишут ${a\,\cancel{\mathcal{E}}\, M}$.~---~\textit{Прим.~ред.}}.
|
|
|
|
|
|
Мы считаем, что два множества $M$ и $N$ совпадают (и пишем ${M=N}$)‚ если они
|
|
|
имеют одни и те же элементы, т.~е. ${a\in M}$ для любого предмета $a$ тогда и
|
|
|
@@ -401,7 +401,7 @@ $M$~\footnote{Во многих зарубежных работах (в том
|
|
|
${M_{1}\subset M}$. В советской литературе символом ${M_{1}\subset M}$
|
|
|
обозначают обычно утверждение, состоящее в том, что ${M_{1}\subseteq M}$ и
|
|
|
${M_{1}\neq M}$‚ т.~е. что $M_{1}$ является истинным подмножеством множества $M$
|
|
|
-(см. ниже). --- \textit{Прим. ред.}}.
|
|
|
+(см. ниже).~---~\textit{Прим.~ред.}}.
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Пример 1.}{exmpl:p3-1}{1}
|
|
|
Множество ${\{ a, b, c\}}$ из трёх элементов $a$,~$b$,~$c$ имеет восемь
|
|
|
@@ -416,7 +416,7 @@ $\OLemptyset$ и само множество $M$. Последнее назыв
|
|
|
\emph{истинными}~\footnote{Всякое подмножество множества $M$, отличное от
|
|
|
$\OLemptyset$ и $M$ (иначе говоря, всякое непустое истинное
|
|
|
подмножество множества $M$), называется \emph{собственным подмножеством}, или
|
|
|
-\emph{правильной частью} множества $M$. --- \textit{Прим. ред.}}. Очевидно, что
|
|
|
+\emph{правильной частью} множества $M$.~---~\textit{Прим.~ред.}}. Очевидно, что
|
|
|
если ${M_{2}\subseteq M_{1}}$ и ${M_{1}\subseteq M}$ (сокращённо
|
|
|
${M_{2}\subseteq M_{1}\subseteq M}$)‚ то ${M_{2}\subseteq M}$.
|
|
|
|
|
|
@@ -434,12 +434,12 @@ ${M\OLsetminus N}$ множеств $M$ и $N$ (при ${N\subseteq M}$,
|
|
|
\emph{в множестве} $M$) определяется как множество предметов, принадлежащих $M$,
|
|
|
но не принадлежащих $N$\olNt{~\footnote{Часто сумма множеств $M$ и $N$
|
|
|
обозначается ${M\cup N}$, их пересечение ${M\cap N}$ и их разность
|
|
|
-${M\setminus N}$. --- \textit{Прим. ред.}}}{}.
|
|
|
+${M\setminus N}$.~---~\textit{Прим.~ред.}}}{}.
|
|
|
%
|
|
|
% исправлена ошибка. В оригинале было
|
|
|
-% "обоим множествам M и N (т. е. принадлежащих множеству M или множеству N)."
|
|
|
+% "обоим множествам M и N (т.е. принадлежащих множеству M или множеству N)."
|
|
|
% но очевидно, что имелось в виду
|
|
|
-% "обоим множествам M и N (т. е. принадлежащих множеству M _и_ множеству N)."
|
|
|
+% "обоим множествам M и N (т.е. принадлежащих множеству M _и_ множеству N)."
|
|
|
%
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Пример 2.}{exmpl:p3-2}{2}
|
|
|
@@ -797,15 +797,15 @@ $m_{1}$ принадлежит $T$‚ так и в том, когда $m_{1}$ н
|
|
|
|
|
|
Таким образом, предположение, что $T$ принадлежит $\setOfSets{S}$, приводит к
|
|
|
противоречию. Поэтому методом \emph{reductio ad absurdum}~\footnote{Приведение к
|
|
|
-нелепости (лат.). --- \textit{Прим. перев.}} (согласно которому отрицание
|
|
|
+нелепости~(лат.).~---~\textit{Прим.~перев.}} (согласно которому отрицание
|
|
|
предложения доказывается путём вывода противоречия из этого предложения) мы
|
|
|
заключаем, что $T$ не принадлежит $\setOfSets{S}$.
|
|
|
|
|
|
Если $M$ --- данное множество, то множество всех подмножеств $M$‚ т.~е.
|
|
|
множество, элементами которого служат (все) подмножества множества $M$,
|
|
|
обозначается через $\OLpowerset{M}$\olNt{(<<$\mathfrak{U}$>> от немецкого
|
|
|
-<<Untermenge>>~\footnote{<<Untermenge>> означает <<подможество>>. ---
|
|
|
-\textit{Прим. ред.}})}{}.
|
|
|
+<<Untermenge>>~\footnote{<<Untermenge>> означает <<подможество>>.~---~%
|
|
|
+\textit{Прим.~ред.}})}{}.
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Теорема C.}{theorem:C}{C}
|
|
|
@@ -864,7 +864,7 @@ ${\OLunion{\setOfSets{M}}}$. Множество предметов, каждый
|
|
|
каждому элементу $M$ из $\setOfSets{M}$, называется \emph{пересечением} или
|
|
|
\emph{общей частью} множеств, принадлежащих $\setOfSets{M}$, и обозначается
|
|
|
посредством ${\OLintersec{\setOfSets{M}}}$\olNt{ (<<$\mathfrak{D}$>> от
|
|
|
-немецкого <<Durchschnitt>>~\footnote{Пересечение. --- \textit{Прим. ред.}})}{}.
|
|
|
+немецкого <<Durchschnitt>>~\footnote{Пересечение.~---~\textit{Прим.~ред.}})}{}.
|
|
|
Эти понятия совпадают с введёнными в~\textsection~\ref{sec:cardinal_number}, за
|
|
|
исключением того, что теперь они выражены в виде операций над множеством
|
|
|
$\setOfSets{M}$ множеств $M$, которые складываются или перемножаются. Например,
|
|
|
@@ -911,7 +911,7 @@ ${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
|
|
|
{\renewcommand*{\multicitedelim}{\space или\space}%
|
|
|
Хаусдорф~\cite[стр.~61\protect\footnotemark]{hausdorff1914,hausdorff1927}}
|
|
|
\footnotetext{Стр.~65 русского издания книги Хаусдорфа. См. также теорему~19 на
|
|
|
-стр.~107 книги П.~С.~Александрова~\cite{aleksandrov1948} --- \textit{Прим.
|
|
|
+стр.~107 книги П.~С.~Александрова~\cite{aleksandrov1948}~---~\textit{Прим.~%
|
|
|
ред.}} или Френкель~\cite[стр.~205]{fraenkel1928}. Краткое рассмотрение
|
|
|
знаменитой <<континуум-проблемы>>, состоящей в решении вопроса, существует ли
|
|
|
хоть одно кардинальное число между $\alephZero$ и $2^{\alephZero}$, см. у
|
|
|
@@ -957,9 +957,9 @@ ${f(1)=}$числу нулей между первой единицей и вт
|
|
|
или, если удалить алгебраические числа, то останутся \emph{трансцендентные
|
|
|
числа}. В аналитической геометрии Декарта действительные числа служат
|
|
|
координатами \emph{точек действительной эвклидовой прямой}. Это множество есть
|
|
|
-,,линейный континуум``~\footnote{От латинского слова continuum --- непрерывное.
|
|
|
---- \textit{Прим. перев.}}, и в соответствии с этим кардинальное число
|
|
|
-$2^{\alephZero}$ является ,,мощностью континуума``.
|
|
|
+,,линейный континуум``~\footnote{От латинского слова continuum ---
|
|
|
+непрерывное.~---~\textit{Прим.~перев.}}, и в соответствии с этим кардинальное
|
|
|
+число $2^{\alephZero}$ является ,,мощностью континуума``.
|
|
|
|
|
|
Теперь мы можем следующим образом получить множество \emph{упорядоченных пар
|
|
|
действительных чисел} или, рассматривая пару ${(x, y)}$ как декартовы координаты
|
|
|
@@ -1080,7 +1080,7 @@ ${n+1}$ или $n'$ (\emph{следующему за} $n$).
|
|
|
При этом мы считаем возможным, как бы далеко мы уже ни зашли при получении $n$,
|
|
|
сделать ещё один шаг и получить $n'$. Употребление обозначения со штрихом
|
|
|
<<$n'$>> вместо более обычного <<${n+1}$>> подчёркивает, что~$'$~есть первичная
|
|
|
-унарная\footnote{Т. е. с одним аргументом. --- \textit{Прим. перев.}} операция
|
|
|
+унарная\footnote{Т. е. с одним аргументом.~---~\textit{Прим.~перев.}} операция
|
|
|
или функция, употребляемая при порождении натуральных чисел, тогда как~$+$~может
|
|
|
быть определён на дальнейшей стадии как бинарная операция или функция от двух
|
|
|
натуральных чисел.
|
|
|
@@ -1236,7 +1236,7 @@ $n$, мы можем быть уверены в том, что $n$ облада
|
|
|
индуктивного определения. Обратно, наш принцип индукции можно применить для
|
|
|
доказательства пункта~\ref{list:p6-l1-i3}, применяя его со следующим
|
|
|
предложением в качестве $P(n)$: $n$ дано как натуральное число посредством
|
|
|
-пунктов~\ref{list:p6-l1-i1} и~\ref{list:p6-l1-i2}, т. е. может быть порождено
|
|
|
+пунктов~\ref{list:p6-l1-i1} и~\ref{list:p6-l1-i2}, т.~е. может быть порождено
|
|
|
путём применений операции <<следующий за>> отправляясь от $0$.
|
|
|
|
|
|
В связи с доказательством посредством математической индукции мы будем
|
|
|
@@ -1246,9 +1246,9 @@ $n$, мы можем быть уверены в том, что $n$ облада
|
|
|
\emph{индукционной переменной}, или \emph{индукционным числом}, или
|
|
|
\emph{переменной индукции}, или переменной, \emph{по} которой производится
|
|
|
индукция. Часть доказательства, состоящую в установлении~\ref{list:p7-l1-i1-1},
|
|
|
-т. е. доказательство предложения $P(0)$, мы будем называть \emph{базисом}
|
|
|
+т.~е. доказательство предложения $P(0)$, мы будем называть \emph{базисом}
|
|
|
индукции. Часть доказательства, состоящую в установлении~\ref{list:p7-l1-i2-2},
|
|
|
-т. е. доказательство того, что если $P(n)$, то $P(n')$, мы будем называть
|
|
|
+т.~е. доказательство того, что если $P(n)$, то $P(n')$, мы будем называть
|
|
|
\emph{индукционным шагом}, или \emph{шагом индукции}. Внутри индукционного шага
|
|
|
допущение $P(n)$, из которого мы выводим $P(n')$, будем называть
|
|
|
\emph{индуктивным предположением}, или \emph{предположением индукции}.
|
|
|
@@ -1280,11 +1280,11 @@ $P(1)$.
|
|
|
\emph{Для любых множеств} $M$ \emph{и} $M_{1}$ \emph{из} ${\OLcard{M}=n}$
|
|
|
\emph{и} ${M\sim M_{1}\subseteq M}$ \emph{следует} ${M_{1}=M}$.
|
|
|
\textsc{Базис:}~${n=0}$. Пусть $M$ и $M_{1}$ --- такие множества, что
|
|
|
-${\OLcard{M}=0}$, т. е. ${M=\OLemptyset}$ и
|
|
|
+${\OLcard{M}=0}$, т.~е. ${M=\OLemptyset}$ и
|
|
|
${\OLemptyset\sim M_{1}\subseteq\OLemptyset}$. Тогда ${M_{1}=\OLemptyset}$.
|
|
|
\textsc{Индукционный~шаг}.~Допустим (в качестве индуктивного предположения), что
|
|
|
индукционное предложение установлено. Пусть теперь $M$ и $M_{1}$ --- такие
|
|
|
-множества, что ${\OLcard{M}=n+1}$, т. е. ${M=N\OLcup\left\{ a\right\}}$, где
|
|
|
+множества, что ${\OLcard{M}=n+1}$, т.~е. ${M=N\OLcup\left\{ a\right\}}$, где
|
|
|
${\OLcard{N}=n}$ и ${a\OLnotin N}$ и
|
|
|
${N\OLcup\left\{ a\right\}\sim M_{1}\subseteq N\OLcup\left\{ a\right\}}$. Нам
|
|
|
надо доказать, что при этом ${M_{1}=N\OLcup\left\{ a\right\}}$. В данном
|
|
|
@@ -1342,6 +1342,7 @@ ${b\in N\OLcup\left\{ a\right\}}$)‚ ${M_{1}=N\OLcup\left\{ a\right\}}$.
|
|
|
того, скобки, заключённые между обеими скобками некоторой пары спаренных скобок
|
|
|
из собственного спаривания $2n$ скобок, спарены собственным образом.
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+%% ======================= Страница 29 =======================
|
|
|
|
|
|
Следующие три леммы содержат ответ на поставленный вопрос и некоторые
|
|
|
относящиеся к нему сведения.
|
|
|
@@ -1354,7 +1355,7 @@ ${b\in N\OLcup\left\{ a\right\}}$)‚ ${M_{1}=N\OLcup\left\{ a\right\}}$.
|
|
|
|
|
|
Это доказывается возвратной индукцией по $n$. Можно по желанию рассматривать $n$
|
|
|
как целое положительное или как натуральное число. В последнем случае базис
|
|
|
-\emph{выполняется тривиально}, т. е. является истинным предложением в силу того,
|
|
|
+\emph{выполняется тривиально}, т.~е. является истинным предложением в силу того,
|
|
|
что условие не выполнено. (\textsc{Указание.} При индукционном шаге самая левая
|
|
|
скобка будет некоторой левой скобкой $(_{i}$, которая вместе со второй скобкой
|
|
|
своей пары $)_{i}$ или образует самую внутреннюю пару, или окружает некоторое
|
|
|
@@ -1425,16 +1426,308 @@ ${b\in N\OLcup\left\{ a\right\}}$)‚ ${M_{1}=N\OLcup\left\{ a\right\}}$.
|
|
|
установлены некоторые соотношения.
|
|
|
|
|
|
Например, натуральный ряд (\textsection~\ref{sec:the_natural_numbers}) образует
|
|
|
-систему типа ${(D,0,')}$‚ где $D$~---~множество, $0$~---~элемент множества $D$,
|
|
|
-а $'$~---~унарная операция над элементами множества $D$. Другой простой тип
|
|
|
-системы --- это ${(D,<)}$‚ где $D$~---~множество, а $<$~---~бинарное отношение
|
|
|
-между элементами этого множества.
|
|
|
+систему типа ${(D, 0, \vphantom{s}')}$‚ где $D$~---~множество, $0$~---~элемент
|
|
|
+множества $D$, а $'$~---~унарная операция над элементами множества $D$. Другой
|
|
|
+простой тип системы --- это ${(D, <)}$‚ где $D$~---~множество, а
|
|
|
+$<$~---~бинарное отношение между элементами этого множества.
|
|
|
+%% ======================= Страница 30 =======================
|
|
|
+
|
|
|
+Если об объектах системы мы ничего не знаем, кроме соотношений, имеющихся между
|
|
|
+ними в системе, то такая система называется \emph{абстрактной}. В этом случае
|
|
|
+устанавливается только структура системы, а природа её объектов остаётся
|
|
|
+неопределённой во всех отношениях, кроме одного, --- что они согласуются с этой
|
|
|
+структурой.
|
|
|
+
|
|
|
+Всякая дальнейшая спецификация природы объектов даёт \emph{представление} (или
|
|
|
+\emph{модель}) этой абстрактной системы, т.~е. систему объектов, удовлетворяющих
|
|
|
+соотношениям абстрактной системы и, кроме того, обладающих, вообще говоря, и
|
|
|
+другими свойствами. Эти объекты не обязаны быть более конкретными, потому что
|
|
|
+они могут быть выбраны из некоторой другой абстрактной системы (или даже из той
|
|
|
+же самой, но при новой интерпретации соотношений).
|
|
|
+
|
|
|
+Вот несколько представлений абстрактного натурального ряда: (a) натуральные
|
|
|
+числа как мощности конечных множеств; (b) целые положительные числа ($1$
|
|
|
+представляет абстрактный объект $0$); (c) чётные натуральные числа ($+2$
|
|
|
+представляет абстрактную операцию $'$). (d) Иногда товары упаковывают в ящики,
|
|
|
+снабжённые этикеткой, на которой изображён рисунок самого этого ящика. Физически
|
|
|
+точность такого рисунка должна быть ограниченной. Но если мы вообразим идеальную
|
|
|
+точность рисунка, то можно представить $0$ посредством самого ящика, $1$ ---
|
|
|
+посредством рисунка ящика, помещённого на ящике, $2$ --- посредством рисунка
|
|
|
+ящика в рисунке ящика, помещённом на ящике, и т.~д.
|
|
|
+
|
|
|
+Два представления одной и той же абстрактной системы (\emph{просто})
|
|
|
+\emph{изоморфны}, т.~е. могут быть поставлены в \isom -соответствие, сохраняющее
|
|
|
+отношения. Точнее, две системы ${(D_{1}, 0_{1}, \vphantom{s}'\vphantom{s}_{1})}$
|
|
|
+и ${(D_{2}, 0_{2}, \vphantom{s}'\vphantom{s}_{2})}$ типа
|
|
|
+${(D, 0, \vphantom{s}')}$ просто изоморфны, если существует
|
|
|
+\isom -соответствие между $D_{1}$ и $D_{2}$, при котором $0_{1}$
|
|
|
+соответствует $0_{2}$ (что обозначается через ${0_{1}\leftrightarrow 0_{2}}$), и
|
|
|
+если ${m_{1}\leftrightarrow m_{2}}$‚ то
|
|
|
+${m_{1}\vphantom{s}'\vphantom{s}_{1}\leftrightarrow
|
|
|
+ m_{2}\vphantom{s}'\vphantom{s}_{2}}$. Две системы ${(D_{1}, <_{1})}$ и
|
|
|
+${(D_{2}, <_{2})}$ типа ${(D, <)}$ изоморфны, если существует
|
|
|
+\isom -соответствие между $D_{1}$ и $D_{2}$, при котором, если
|
|
|
+${m_{1}\leftrightarrow m_{2}}$ и ${n_{1}\leftrightarrow n_{2}}$, то
|
|
|
+${m_{1}<_{1}n_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${m_{2}<_{2}n_{2}}$.
|
|
|
+
|
|
|
+Обратно, любые две изоморфные системы служат представлениями одной и той же
|
|
|
+абстрактной системы, которая получается путём абстрагирования от любой из них,
|
|
|
+т.~е. путём игнорирования всех отношений и свойств, за исключением тех, которые
|
|
|
+рассматриваются в этой абстрактной системе.
|
|
|
+
|
|
|
+Второй пример абстрактной системы типа ${(D, 0, \vphantom{s}')}$. Пусть $D$
|
|
|
+содержит ровно два (различных) объекта $0$ и $1$ и пусть ${0'=1}$ и ${1'=0}$.
|
|
|
+Это будет так называемая система \emph{вычетов по модулю} $2$. Натуральный ряд
|
|
|
+превращается в эту систему, если каждое число заменять его остатком от деления
|
|
|
+на $2$ (т.~е. его \emph{вычетом} по модулю $2$), так что получается
|
|
|
+\begin{equation*}
|
|
|
+0,\; 1,\; 0,\; 1,\; 0,\; 1,\;\ldots\;\text{.}
|
|
|
+\end{equation*}
|
|
|
|
|
|
-stub
|
|
|
+\noindent%
|
|
|
+(Системы вычетов впервые были рассмотрены Гауссом в 1801 г.)
|
|
|
+
|
|
|
+Третий пример. Пусть $S$ состоит из двух последовательностей
|
|
|
+{\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}%
|
|
|
+\begin{equation}\label{eq:p8-1}
|
|
|
+0,\; 1,\; 2,\; 3,\;\ldots\text{;}\quad\quad
|
|
|
+\omega,\; \omega+1,\; \omega+2,\; \omega+3,\;\ldots\text{,}
|
|
|
+\end{equation}
|
|
|
+
|
|
|
+\noindent%
|
|
|
+каждая из которых имеет ту же структуру, что и натуральный ряд, и при том ни
|
|
|
+один элемент какой-либо из этих последовательностей не является непосредственно
|
|
|
+следующим за каким-либо элементом другой последовательности.
|
|
|
+
|
|
|
+Каждый из этих трёх примеров можно очевидным образом изменить так, что получится
|
|
|
+система типа ${(D, <)}$. В третьем примере мы при этом будем рассматривать
|
|
|
+элементы в порядке, показанном в строке~\eqref{eq:p8-1}, и называть их
|
|
|
+\emph{ординальными числами}, \emph{м{\'e}ньшими чем} $2\omega$ (из канторовской
|
|
|
+теории ординальных чисел).}
|
|
|
+
|
|
|
+Система вычетов по модулю $2$ (или её представление) не изоморфна натуральному
|
|
|
+ряду (или его представлению), так как между обеими этими
|
|
|
+%% ======================= Страница 31 =======================
|
|
|
+системами невозможно установить \isom -соответствия. Система ординальных чисел,
|
|
|
+меньших $2\omega$, не изоморфна натуральному ряду, потому что при установлении
|
|
|
+\isom -соответствия невозможно сохранить операцию ,,следующий за`` $'$ (или
|
|
|
+отношение порядка $<$).
|
|
|
+
|
|
|
+В этом параграфе мы будем употреблять <<$S$>> для обозначения системы и <<$D$>>
|
|
|
+для обозначения её множества объектов, в случае когда система имеет одно такое
|
|
|
+множество. Часто можно, не боясь путаницы, упростить обозначения, пользуясь
|
|
|
+одной буквой в обеих целях. Например, это можно сделать, если понимать
|
|
|
+натуральный ряд $\OLNaturalNumSet$ как выше. Этого нельзя сделать, если речь
|
|
|
+идёт о системе ${(\OLNaturalNumSet, <)}$, состоящей из натурального ряда чисел,
|
|
|
+причём чётные (нечётные) числа упорядочены, как обычно, и все чётные числа
|
|
|
+предшествуют всем нечётным. (Эта система служит представлением для ординальных
|
|
|
+чисел, меньших $2\omega$.)
|
|
|
+
|
|
|
+При введении в математику систем объектов можно исходить из двух противоположных
|
|
|
+методов, или точек зрения (см. Гильберт~\cite{hilbert1900}).
|
|
|
+
|
|
|
+\emph{Генетический}, или \emph{конструктивный}, метод иллюстрируется
|
|
|
+индуктивным определением натуральных
|
|
|
+чисел~(\textsection~\ref{sec:the_natural_numbers}). В этой связи натуральные
|
|
|
+числа рассматриваются как порождаемые (generated), или конструируемые в
|
|
|
+некотором определённом порядке. (Этим не исключается их абстрактное
|
|
|
+рассмотрение.)
|
|
|
+
|
|
|
+При \emph{аксиоматическом} методе, или методе \emph{постулатов}, с другой
|
|
|
+стороны некоторые предложения, именуемые \emph{аксиомами} или
|
|
|
+\emph{постулатами}, с самого начала кладутся в основу в качестве допущении или
|
|
|
+условий относительно системы $S$ объектов. Затем получаются следствия из этих
|
|
|
+аксиом, которые и образуют теорию относительно любой существующей системы
|
|
|
+объектов $S$, удовлетворяющей этим аксиомам.
|
|
|
+
|
|
|
+Например, рассмотрим пять аксиом Пеано. Чтобы пояснить нашу точку зрения,
|
|
|
+перепишем эти аксиомы, подставляя понятие <<элемент $D$>> вместо <<натуральное
|
|
|
+число>>:
|
|
|
+
|
|
|
+P1.\itemlabel{axiom:p8-p1}{P1} ${0\in D}$.
|
|
|
+P2.\itemlabel{axiom:p8-p2}{P2} Если ${n\in D}$, то ${n'\in D}$.
|
|
|
+P3.\itemlabel{axiom:p8-p3}{P3} Если ${m\in D}$ и ${n\in D}$, то ${m'=n'}$ только
|
|
|
+в том случае, если ${m=n}$.
|
|
|
+P4.\itemlabel{axiom:p8-p4}{P4} Если ${n\in D}$, то ${n'\neq 0}$.
|
|
|
+P5.\itemlabel{axiom:p8-p5}{P5} Пусть ${P\subseteq D}$‚ причём $P$ обладает
|
|
|
+следующими свойствами: (1) ${0\in P}$ и (2), если ${n\in P}$, то ${n'\in P}$;
|
|
|
+тогда ${P=D}$.
|
|
|
+
|
|
|
+Мы уже знаем, что только одна абстрактная система $S$ удовлетворяет этим пяти
|
|
|
+аксиомам, а именно, натуральный ряд чисел, который мы прежде ввели с
|
|
|
+генетической точки зрения.
|
|
|
+
|
|
|
+Но с аксиоматической точки зрения мы можем с равным успехом рассматривать и
|
|
|
+другие списки аксиом, например~\ref{axiom:p8-p1}--\ref{axiom:p8-p4}. Тогда $S$
|
|
|
+может быть системой натуральных чисел, или ординальных чисел, меньших $2\omega$,
|
|
|
+или любой из многих других абстрактно различных, т.~е. неизоморфных систем.
|
|
|
+
|
|
|
+Если вместо этого рассматривать
|
|
|
+аксиомы~\ref{axiom:p8-p1}--\ref{axiom:p8-p3},~\ref{axiom:p8-p5}, то различными
|
|
|
+абстрактными системами, удовлетворяющими этим аксиомам, будут следующие и только
|
|
|
+следующие системы: натуральный ряд чисел и системы вычетов по модулю $m$ для
|
|
|
+каждого целого положительного числа $m$.
|
|
|
+
|
|
|
+Допустим теперь, что мы не просто откинули~\ref{axiom:p8-p4}, но заменили её
|
|
|
+аксиомой
|
|
|
+
|
|
|
+P6.\itemlabel{axiom:p8-p6}{P6} Если ${n\in D}$, то ${n'\neq n}$, но
|
|
|
+${n''=n}$.
|
|
|
+
|
|
|
+Тогда спять только одна система удовлетворяет аксиомам --- система вычетов по
|
|
|
+модулю $2$.
|
|
|
+
|
|
|
+Для шести аксиом~\ref{axiom:p8-p1}--\ref{axiom:p8-p6} не существует никакой
|
|
|
+системы $S$‚ которая удовлетворяла бы всем этим аксиомам, потому что только
|
|
|
+натуральный ряд удовлетворяет~\ref{axiom:p8-p1}--\ref{axiom:p8-p5} и только
|
|
|
+система вычетов по модулю $2$ удовлетворяет~%
|
|
|
+\ref{axiom:p8-p1}--\ref{axiom:p8-p3},~\ref{axiom:p8-p5},~\ref{axiom:p8-p6}.
|
|
|
+
|
|
|
+Иногда говорят, что аксиомы аксиоматической теории служат неявным определением
|
|
|
+системы объектов этой теории, но это может означать только, что аксиомы
|
|
|
+определяют то, к каким системам, определённым вне теории, эта теория
|
|
|
+%% ======================= Страница 32 =======================
|
|
|
+применима. При этом возможны три случая. Или аксиомам не удовлетворяет никакая
|
|
|
+система объектов (например,~\ref{axiom:p8-p1}--\ref{axiom:p8-p6}), или
|
|
|
+удовлетворяет в точности одна абстрактная система, так что любые две системы,
|
|
|
+удовлетворяющие аксиомам, изоморфны
|
|
|
+(например,~\ref{axiom:p8-p1}--\ref{axiom:p8-p5}
|
|
|
+или~\ref{axiom:p8-p1}--\ref{axiom:p8-p3},~\ref{axiom:p8-p5},~\ref{axiom:p8-p6}),
|
|
|
+или удовлетворяет более чем одна абстрактная система, т.~е. существуют
|
|
|
+неизоморфные системы, удовлетворяющие аксиомам
|
|
|
+(например,~\ref{axiom:p8-p1}--\ref{axiom:p8-p4}‚
|
|
|
+или~\ref{axiom:p8-p1}--\ref{axiom:p8-p3},~\ref{axiom:p8-p5}). В первом случае мы
|
|
|
+будем называть множество аксиом \emph{невыполнимым}, в последних двух ---
|
|
|
+\emph{выполнимым}, и притом во втором случае --- \emph{категорическим}
|
|
|
+(Веблен~\cite{veblen1904}), а в третьем --- \emph{неполным} (ambiguous). (С
|
|
|
+другой стороны, при генетическом методе процесс порождения обычно претендует на
|
|
|
+полное определение абстрактной структуры системы, т.~е. служит категорическим
|
|
|
+определением системы.)
|
|
|
+
|
|
|
+По данной аксиоматике, вообще говоря, совершенно не видно, какой из этих трёх
|
|
|
+случаев имеет место. Исторически это иллюстрируется примером эвклидовой
|
|
|
+геометрии без постулата Эвклида о параллельных, от которого зависит теорема, что
|
|
|
+через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая,
|
|
|
+параллельная данной. От <<Начал>> Эвклида (около 330--320~гг.~до~н.~э.) до
|
|
|
+открытия неэвклидовой геометрии Лобачевским (1829) и Больаи (1833) обычно
|
|
|
+предполагалось, что эти аксиомы являются категорическими; или по крайней мере,
|
|
|
+что если бы вопрос был задан в этих терминах, то на него, вероятно, был бы
|
|
|
+получен такой ответ.
|
|
|
+
|
|
|
+Вера греков в то, что они имели дело с однозначно определённой структурой
|
|
|
+пространства, не была выражена посредством современной терминологии. Эвклид
|
|
|
+полагал, что его аксиомы выражают известные основные свойства реального
|
|
|
+пространства. Аксиоматический метод в этом старинном понимании, согласно
|
|
|
+которому объекты системы $S$ предполагаются известными прежде аксиом, можно
|
|
|
+охарактеризовать как метод \emph{содержательной} (неформальной), или
|
|
|
+\emph{материальной аксиоматики}. При этом аксиомы только выражают те свойства
|
|
|
+объектов, которые с самого начала были приняты как очевидные в силу их
|
|
|
+построения или, в случае теорий, которые применяются к эмпирическому миру,
|
|
|
+непосредственно абстрагируются из опыта или постулируются.
|
|
|
+
|
|
|
+Аксиоматический метод в новом, описанном выше понимании, при котором аксиомы
|
|
|
+предшествуют всякому описанию системы $S$ объектов, о которых идёт речь в
|
|
|
+аксиомах (и служат для введения или <<неявного определения>> системы $S$),был
|
|
|
+впервые систематически рассмотрен в книге Гильберта
|
|
|
+<<Основания геометрии>>~\cite{hilbert1899} и может быть охарактеризован как
|
|
|
+\emph{формальная} или \emph{экзистенциальная} аксиоматика. Заметим, что вопрос о
|
|
|
+том, существует ли --- и если да, то единственна ли --- абстрактная система $S$,
|
|
|
+удовлетворяющая аксиомам некоторой аксиоматической теории, можно исследовать
|
|
|
+только средствами, внешними по отношению к этой аксиоматической теории (т.~е. в
|
|
|
+некоторой другой теории). В самой же формальной аксиоматической теории область
|
|
|
+$D$ из $S$ играет роль фиксированного и полного множества объектов, причём
|
|
|
+существование всех этих объектов предполагается сразу, независимо от какого-либо
|
|
|
+порядка порождения, и к этим объектам применяются операции, отношения и т.~д. из
|
|
|
+системы $S$.
|
|
|
+
|
|
|
+В системе $S$ типа ${(D, 0, \vphantom{s}')}$ понятия $0$ и $'$ или $D$, $0$ и
|
|
|
+$'$ называются \emph{первоначальными}, или \emph{техническими}, или
|
|
|
+\emph{неопределяемыми}, т.~е. эти понятия не определены, пока не введены
|
|
|
+аксиомы. Остальные термины в аксиомах являются \emph{обычными}, или
|
|
|
+\emph{логическими}, или \emph{определяемыми}, т.~е. их значения должны быть
|
|
|
+предварительно объяснены. Относительно $D$, $0$ и $'$ заранее должно быть
|
|
|
+указано только, что $D$~---~множество, $0$~---~предмет, принадлежащий $D$,
|
|
|
+$'$~--- операция над элементом $D$; иначе говоря, заранее должны быть определены
|
|
|
+только грамматические категории, к которым принадлежат <<$D$>>, <<$0$>> и
|
|
|
+<<$'$>>. Аналогично для системы вида ${(D, <)}$ неопределяемыми понятиями
|
|
|
+являются или $<$, или $D$ и $<$.
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлен типографский брак:
|
|
|
+%% в оригинале последний символ "<" в предыдущем абзаце не пропечатан
|
|
|
+%%
|
|
|
+
|
|
|
+В математической практике генетический и аксиоматический методы введения систем
|
|
|
+объектов часто оказываются связанными, когда генетически строится пример системы
|
|
|
+объектов, удовлетворяющей аксиомам. В других случаях
|
|
|
+%% ======================= Страница 33 =======================
|
|
|
+пример заимствуется из другой формальной аксиоматической теории. (Во всех
|
|
|
+случаях, когда $S$ для данной формальной аксиоматической теории отождествляется
|
|
|
+с некоторой системой объектов, заимствованной извне, налицо \emph{применение}
|
|
|
+рассматриваемой формальной аксиоматической теории, при котором она становится
|
|
|
+материальной аксиоматической теорией.)
|
|
|
+
|
|
|
+Формальный аксиоматический метод часто с успехом применяется в связи с неполными
|
|
|
+системами аксиом в целях одновременного построения общей части теории для многих
|
|
|
+различных систем. Знаменитым примером является ,,теория групп`` из алгебры.
|
|
|
+
|
|
|
+В качестве другого примера рассмотрим следующие аксиомы
|
|
|
+\emph{линейного порядка}, которые применяются к системам типа ${(D, <)}$:
|
|
|
+
|
|
|
+L1.\itemlabel{axiom:p8-l1}{L1} Если ${m<n}$ и ${n<p}$‚ то ${m<p}$.
|
|
|
+L2.\itemlabel{axiom:p8-l2}{L2} Имеет место не более чем одно из соотношений
|
|
|
+${m<n}$, ${m=n}$‚ ${m>n}$.
|
|
|
+L3.\itemlabel{axiom:p8-l3}{L3} Имеет место по крайней мере одно из соотношений
|
|
|
+${m<n}$, ${m=n}$‚ ${m>n}$.
|
|
|
+
|
|
|
+Здесь ${m>n}$ означает ${n<m}$. Переменные $m$, $n$, $p$ относятся к
|
|
|
+произвольным элементам области $D$. Эти аксиомы выполняются, если в качестве $D$
|
|
|
+взять натуральный ряд, или множество ординальных чисел, меньших $2\omega$, или
|
|
|
+множество целых, или рациональных, или действительных чисел, а в качестве
|
|
|
+$<$~---~обычное отношение порядка для каждой из этих областей, а также для
|
|
|
+многих других систем. Опуская~\ref{axiom:p8-l3}, получаем множество аксиом
|
|
|
+\emph{частичного порядка}.
|
|
|
|
|
|
\section{Арифметика и анализ}
|
|
|
\label{sec:number_theory_vs_analysis}
|
|
|
|
|
|
+\emph{Арифметику}, или \emph{теорию чисел}, можно рассматривать как отрасль
|
|
|
+математики, в которой изучаются натуральные числа и другие (категорически
|
|
|
+определённые) счётные системы объектов, например целые или рациональные числа.
|
|
|
+Всякую конкретную систему такого рода (или соответствующую этой системе теорию)
|
|
|
+можно называть \emph{арифметикой} (an arithmetic). Рассмотрение обычно
|
|
|
+происходит абстрактно (\textsection~\ref{sec:system_of_objects}). Объекты обычно
|
|
|
+рассматриваются как \emph{индивидуумы} (т.~е. без анализа их построения из
|
|
|
+других объектов), исключая некоторые случаи (например, основные свойства
|
|
|
+неотрицательных рациональных чисел изучаются при помощи представления их в виде
|
|
|
+упорядоченных пар натуральных чисел).
|
|
|
+
|
|
|
+В \emph{арифметике в узком смысле} рассматриваются главным образом конкретные
|
|
|
+операции, именуемые $+$ (сложение) и $\cdot$ (умножение), а иногда также
|
|
|
+некоторые другие связанные с ними операции. В \emph{арифметике в широком
|
|
|
+смысле}, или \emph{теории чисел}, используется более широкий класс понятий.
|
|
|
+
|
|
|
+Эти определения мы привели для разъяснения нашей терминологии. Иногда термин
|
|
|
+<<арифметика>> употребляется и по отношению к теории операций $+$ и $\cdot$ для
|
|
|
+несчётных систем чисел (например, ,,арифметика трансфинитных кардинальных
|
|
|
+чисел``).
|
|
|
+
|
|
|
+В то время как арифметика, или теория чисел, изучает системы мощности
|
|
|
+$\alephZero$ (а иногда конечные), \emph{анализ} имеет дело с действительными
|
|
|
+числами и другими системами объектов мощности $2^{\alephZero}$ (а иногда и
|
|
|
+б{\'o}льшей мощности). Как и в теории чисел, в анализе подлежащие рассмотрению
|
|
|
+системы объектов считаются обычно категорически определёнными.
|
|
|
+
|
|
|
+Результаты анализа иногда применяются в теоретико-числовых исследованиях ---
|
|
|
+такие исследования составляют \emph{аналитическую теорию чисел}. Теория чисел,
|
|
|
+не использующая анализа, называется \emph{чистой}, или \emph{элементарной},
|
|
|
+теорией чисел\footnote{Согласно сказанному, термины <<теория чисел>> и
|
|
|
+<<арифметика>> являются синонимами (поэтому английский термин <<number theory>>
|
|
|
+переводится обычно в дальнейшем словом <<арифметика>>). Повидимому, синонимами
|
|
|
+следует считать также термины <<арифметика в узком смысле>> и <<элементарная
|
|
|
+теория чисел>>. При этом в дальнейшем (как в английском тексте, так и в
|
|
|
+переводе) эпитеты <<в узком смысле>> и <<элементарная>> обычно опускаются.~---~%
|
|
|
+\textit{Прим.~ред.}}.
|
|
|
+
|
|
|
stub
|
|
|
|
|
|
\section{Функции}
|
