|
|
@@ -1727,12 +1727,262 @@ $\alephZero$ (а иногда конечные), \emph{анализ} имеет
|
|
|
теория чисел>>. При этом в дальнейшем (как в английском тексте, так и в
|
|
|
переводе) эпитеты <<в узком смысле>> и <<элементарная>> обычно опускаются.~---~%
|
|
|
\textit{Прим.~ред.}}.
|
|
|
+%% ======================= Страница 34 =======================
|
|
|
+
|
|
|
+Рассмотрим теперь бегло основную систему объектов анализа --- континуум
|
|
|
+действительных чисел.
|
|
|
+
|
|
|
+Та теория действительных чисел, которая обычно кладётся в основу анализа (за
|
|
|
+исключением исследований по критике оснований анализа), является продуктом
|
|
|
+раннего критического движения, начатого Гауссом (1777--1855), Коши (1789--1857)
|
|
|
+и Абелем (1802--1829)
|
|
|
+
|
|
|
+Это направление привело в конце девятнадцатого столетия к так называемой
|
|
|
+\emph{арифметизации анализа}, произведённой Вейерштрассом (1815--1897),
|
|
|
+Дедекиндом (1831--1916), Мерэ (1835--1911) и Кантором (1845--1918). Доверие к
|
|
|
+несколько туманной геометрической интуиции было заменено определением
|
|
|
+действительных чисел как некоторых объектов, построенных из натуральных, целых
|
|
|
+или рациональных чисел. При этом свойства действительных чисел сводились в
|
|
|
+конечном счёте к свойствам натуральных чисел. Как сказал
|
|
|
+Пуанкаре~\cite{poincare1900}, <<сегодня в анализе остаются только целые числа, а
|
|
|
+также конечные и бесконечные системы целых чисел, связанных между собой сетью
|
|
|
+отношений равенства и неравенства>>.
|
|
|
+
|
|
|
+Определение действительных чисел через натуральные, целые или рациональные может
|
|
|
+быть дано несколькими способами. Все они приводят к одной и той же абстрактной
|
|
|
+структуре континуума действительных чисел. Другими словами, то, что даёт каждое
|
|
|
+из этих определений, является
|
|
|
+представлением~(\textsection~\ref{sec:system_of_objects}) действительных чисел
|
|
|
+посредством объектов, построенных (прямо или косвенно) из натуральных чисел.
|
|
|
+
|
|
|
+Мы уже пользовались представлениями действительных чисел посредством бесконечных
|
|
|
+десятичных или двоичных
|
|
|
+дробей~(\textsection~\ref{sec:cantor_s_diagonal_method},~%
|
|
|
+\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}). В принципе можно пользоваться любым
|
|
|
+множеством, эквивалентность которого множеству таких дробей
|
|
|
+доказана~(см.~\textsection~\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}), например
|
|
|
+множеством всех множеств натуральных чисел. Но на практике выбирают такие
|
|
|
+представления, которые упрощают определения свойств действительных чисел.
|
|
|
+
|
|
|
+Упорядочение действительных чисел оказывается особенно прозрачным в случае
|
|
|
+представления посредством дедекиндовых сечений (Дедекинд~\cite{dedekind1872}).
|
|
|
+Допустим, что множество $\OLRealNumSet$ всех рациональных чисел разбито на два
|
|
|
+непустых класса $X_{1}$, $X_{2}$‚ таких, что каждое рациональное число из
|
|
|
+$X_{1}$ меньше каждого рационального числа из $X_{2}$. Такое разбиение
|
|
|
+называется \emph{дедекиндовым сечением} $\OLRealNumSet$. В случае, если не
|
|
|
+существует ни наибольшего рационального числа в нижнем классе $X_{1}$‚ ни
|
|
|
+наименьшего в верхнем классе $X_{2}$, сечение называется \emph{открытым}.
|
|
|
+Согласно идее Дедекинда, иррациональные числа должны быть именно там, где
|
|
|
+встречаются открытые сечения. Рациональное число появляется в связи с любым из
|
|
|
+двух \emph{замкнутых} сечений: одним --- для которого оно оказывается наибольшим
|
|
|
+числом в $X_{1}$, и другим --- для которого оно наименьшее число в $X_{2}$.
|
|
|
+Чтобы представление каждого действительного числа (рационального или
|
|
|
+иррационального) было однозначным, можно пользоваться только нижними множествами
|
|
|
+$X_{1}$ сечений, у которых $X_{1}$ не имеет наибольшего числа. Это приводит к
|
|
|
+следующему определению (в котором мы пишем $\mathbf{x}$ вместо $X_{1}$ и
|
|
|
+${\OLRealNumSet\OLsetminus\mathbf{x}}$ вместо $X_{2}$.
|
|
|
+
|
|
|
+\emph{Действительное число} --- это такое множество $\mathbf{x}$ рациональных
|
|
|
+чисел, что
|
|
|
+(a)\itemlabel{property:p9-a}{(a)} ни $\mathbf{x}$, ни
|
|
|
+${\OLRealNumSet\OLsetminus\mathbf{x}}$ не пусто;
|
|
|
+(b)\itemlabel{property:p9-b}{(b)} $\mathbf{x}$ не содержит наибольшего
|
|
|
+рационального числа;
|
|
|
+(c)\itemlabel{property:p9-c}{(c)} каждое рациональное число из $\mathbf{x}$
|
|
|
+меньше каждого рационального числа из ${\OLRealNumSet\OLsetminus\mathbf{x}}$.
|
|
|
+
|
|
|
+Множество $\setOfSets{C}$ всех действительных чисел --- это множество всех таких
|
|
|
+множеств $\mathbf{x}$ рациональных чисел.
|
|
|
+
|
|
|
+В этом определении предполагается, что уже имеется система $\OLRealNumSet$ всех
|
|
|
+рациональных чисел и эта система используется для построения представителей
|
|
|
+действительных чисел таким образом, что $\OLRealNumSet$ не оказывается
|
|
|
+подсистемой полученной системы $\setOfSets{C}$. (Если элементы
|
|
|
+$\OLRealNumSet$~---~индивидуумы, то элементами $\setOfSets{C}$ будут множества
|
|
|
+этих индивидуумов.)
|
|
|
+%% ======================= Страница 35 =======================
|
|
|
+
|
|
|
+Назовём теперь действительное число $\mathbf{x}$ \emph{рациональным}, если
|
|
|
+${\OLRealNumSet\OLsetminus\mathbf{x}}$ имеет наименьший элемент $x$, и в этом
|
|
|
+случае будем говорить, что $\mathbf{x}$ \emph{соответствует} этому рациональному
|
|
|
+числу $x$ (системы $\OLRealNumSet$). В противном случае $\mathbf{x}$ называется
|
|
|
+\emph{иррациональным} числом.
|
|
|
+
|
|
|
+Рациональные числа среди действительных образуют подсистему
|
|
|
+$\setOfSets{C}_{\OLRealNumSet}$ системы $\setOfSets{C}$,
|
|
|
+изоморфную~(\textsection~\ref{sec:system_of_objects}) первоначальной системе
|
|
|
+$\OLRealNumSet$ рациональных чисел; это подтверждается каждый раз, когда с
|
|
|
+помощью описанного представления для действительных чисел определяется некоторое
|
|
|
+понятие, которое первоначально было определено для чисел рациональных.
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Примеры.}{exmpls:p9}{exmpls:p9}
|
|
|
+Действительное число $\boldsymbol{2}$ --- это множество рациональных чисел,
|
|
|
+меньших рационального числа $2$, которому оно соответствует. Действительное
|
|
|
+число $\boldsymbol{\sqrt{2}}$ --- это множество рациональных чисел, которые или
|
|
|
+отрицательны, или имеют квадраты, меньшие рационального числа $2$ (среди этих
|
|
|
+рациональных чисел нет наибольшего). Ввиду того, что не существует рационального
|
|
|
+числа, квадрат которого ${=2}$ (как открыл Пифагор в шестом веке до~н.~э.),
|
|
|
+${\OLRealNumSet\OLsetminus\boldsymbol{\sqrt{2}}}$ состоит из положительных
|
|
|
+рациональных чисел, квадраты которых больше $2$ (среди этих рациональных чисел
|
|
|
+нет наименьшего), так что число $\boldsymbol{\sqrt{2}}$ иррационально.
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
-stub
|
|
|
+Отношение порядка для действительных чисел определяется таким образом:
|
|
|
+${\mathbf{x}\boldsymbol{<}\mathbf{y}}$, если существует рациональное число $r$,
|
|
|
+которое входит в $\mathbf{y}$, но не в $\mathbf{x}$. (Теперь докажите, что
|
|
|
+$\setOfSets{C}$ линейно упорядочено посредством отношения $\boldsymbol{<}$ и что
|
|
|
+система ${(\setOfSets{C}_{\OLRealNumSet}, \boldsymbol{<})}$ изоморфна системе
|
|
|
+${(\OLRealNumSet, <)}$.)
|
|
|
+
|
|
|
+Действительное число $\mathbf{v}$ называется \emph{верхней гранью} множества
|
|
|
+$\setOfSets{M}$ действительных чисел, если
|
|
|
+${\mathbf{v}\boldsymbol{\geqslant}\mathbf{x}}$ для каждого действительного числа
|
|
|
+$\mathbf{x}$, принадлежащего $\setOfSets{M}$.
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{(A)}{theorem:p9-A}{(A)}
|
|
|
+\emph{Если непустое множество} $\setOfSets{M}$ \emph{действительных чисел имеет
|
|
|
+верхнюю грань}, \emph{то оно имеет и наименьшую верхнюю грань} $\mathbf{u}$
|
|
|
+(${=\OLsup\setOfSets{M}}$).
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Доказательство.}{theorem:p9-A-proof}{theorem:p9-A-proof}
|
|
|
+Нам надо построить $\mathbf{u}$ как множество рациональных чисел, обладающее
|
|
|
+свойствами~\ref{property:p9-a}--\ref{property:p9-c}. $\setOfSets{M}$ дано нам
|
|
|
+как множество таких множеств рациональных чисел. Множество $\mathbf{u}$ мы
|
|
|
+определяем так: рациональное число ${r\in\mathbf{u}}$ тогда и только тогда,
|
|
|
+когда ${r\in\mathbf{x}}$ для некоторого действительного числа
|
|
|
+${\mathbf{x}\in\setOfSets{M}}$. В
|
|
|
+обозначениях~\textsection~\ref{sec:higher_transfinite_cardinals}
|
|
|
+${\mathbf{u}=\OLunion{\setOfSets{M}}}$. Читателю предоставляется доказать, что
|
|
|
+${\mathbf{u}=\OLsup\setOfSets{M}}$. (Доказать, что
|
|
|
+$\mathbf{u}$~---~действительное число, $\mathbf{u}$ является верхней гранью
|
|
|
+множества $\setOfSets{M}$ и $\setOfSets{M}$ не имеет верхней грани
|
|
|
+${\mathbf{v}\boldsymbol{<}\mathbf{u}}$.)
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлена опечатка:
|
|
|
+%% в оригинале последний в абзаце символ "<" выполнен нормальным шрифтом
|
|
|
+%% вместо жирного
|
|
|
+%%
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+Аналогично определяются нижние грани. Если действительное число $\mathbf{x}$
|
|
|
+рационально, положим
|
|
|
+${\overline{\mathbf{x}}=\mathbf{x}\OLcup\left\{ x\right\}}$; в противном случае
|
|
|
+пусть ${\overline{\mathbf{x}}=\mathbf{x}}$. Пусть
|
|
|
+${\boldsymbol{-}\mathbf{x}}$~---~множество рациональных чисел ${-r}$ для
|
|
|
+${r\in\OLRealNumSet\OLsetminus\overline{\mathbf{x}}}$. (Если $\mathbf{x}$
|
|
|
+рационально, то ${\boldsymbol{-}\mathbf{x}}$ соответствует ${-x}$.) Пусть
|
|
|
+${\boldsymbol{\setOfSets{M}}}$~---~множество действительных чисел
|
|
|
+${\boldsymbol{-}\mathbf{x}}$ для ${\mathbf{x}\in\setOfSets{M}}$. Если
|
|
|
+$\mathbf{w}$~---~нижняя грань для $\setOfSets{M}$, то
|
|
|
+${\boldsymbol{-}\mathbf{w}}$~---~верхняя грань для
|
|
|
+${\boldsymbol{-}\setOfSets{M}}$, так что ${\boldsymbol{-}\setOfSets{M}}$ имеет
|
|
|
+$\OLsup$ и
|
|
|
+${\boldsymbol{-}\left(\OLsup\boldsymbol{-}\setOfSets{M}\right)=%
|
|
|
+ \OLinf\setOfSets{M}}$~%
|
|
|
+\footnote{$\OLinf$~---~наибольшая нижняя грань.~---~\textit{Прим.~перев.}}.
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлен брак оригинала:
|
|
|
+%% во второй строке предыдущего абзаца в оригинале непропечатано надчёркивание
|
|
|
+%% над переменной x
|
|
|
+%%
|
|
|
+
|
|
|
+Если $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$~---~действительные числа, то пусть
|
|
|
+${\mathbf{x}\boldsymbol{+}\mathbf{y}}$ будет множеством рациональных чисел
|
|
|
+${r+s}$ для ${r\in\mathbf{x}}$ и ${s\in\mathbf{y}}$; пусть ${\mathbf{x}\boldsymbol{-}\mathbf{y}=%
|
|
|
+ \mathbf{x}\boldsymbol{+}\left(\boldsymbol{-}\mathbf{y}\right)}$; наконец, пусть
|
|
|
+${\boldsymbol{|}\mathbf{x}\boldsymbol{|}=\mathbf{x}}$, если
|
|
|
+${\mathbf{x}\boldsymbol{\geqslant}\boldsymbol{0}}$, и
|
|
|
+${\boldsymbol{|}\mathbf{x}\boldsymbol{|}=\boldsymbol{-}\mathbf{x}}$, если
|
|
|
+${\mathbf{x}\boldsymbol{<}\boldsymbol{0}}$. (Не следует путать $\boldsymbol{+}$
|
|
|
+и $\boldsymbol{-}$ со сложением и вычитанием множеств, которые обозначаются
|
|
|
+через $\OLcup$ и $\OLsetminus$.)
|
|
|
+
|
|
|
+Пусть дана бесконечная последовательность $\mathbf{a}_{0}$,~$\mathbf{a}_{1}$,~%
|
|
|
+$\ldots$,~$\mathbf{a}_{n}$,~$\ldots$ действительных чисел и действительное число
|
|
|
+$\mathbf{a}$; мы говорим, что ${\lim\mathbf{a}_{n}=\mathbf{a}}$‚
|
|
|
+%% ======================= Страница 36 =======================
|
|
|
+если для каждого действительного числа
|
|
|
+${\OLepsilon\boldsymbol{>}\boldsymbol{0}}$ найдётся натуральное число
|
|
|
+$n_{\OLepsilon}$, такое, что для каждого ${n>n_{\OLepsilon}}$ имеет место
|
|
|
+${\boldsymbol{|}%
|
|
|
+ \mathbf{a}_{n}\boldsymbol{-}\mathbf{a}%
|
|
|
+ \boldsymbol{|}\boldsymbol{<}\OLepsilon}$. Например,
|
|
|
+${\lim\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}^{n}}=\boldsymbol{0}}$
|
|
|
+(где ${\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}^{n}}}$~---~действительное число,
|
|
|
+соответствующее рациональному числу ${\frac{1}{2^{n}}}$).
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{(B)}{theorem:p9-B}{(B)}
|
|
|
+\emph{Если} ${\mathbf{u}=\OLsup\setOfSets{M}}$
|
|
|
+(\emph{как в}~\ref{theorem:p9-A}), \emph{то существует такая
|
|
|
+последовательность} $\mathbf{a}_{0}$,~$\mathbf{a}_{1}$,~$\ldots$,~%
|
|
|
+$\mathbf{a}_{n}$,~$\ldots$ \emph{элементов} $\setOfSets{M}$, \emph{что}
|
|
|
+${\lim\mathbf{a}_{n}=\mathbf{u}}$.
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Доказательство.}{theorem:p9-B-proof}{theorem:p9-B-proof}
|
|
|
+Пусть $\setOfSets{M}_{n}$ есть множество действительных чисел, принадлежащих
|
|
|
+$\setOfSets{M}$ и ${\boldsymbol{>}%
|
|
|
+ \mathbf{u}\boldsymbol{-}\frac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}^{n}}}$. (Доказать,
|
|
|
+что $\setOfSets{M}_{n}$ непусто.) Пусть $\mathbf{a}_{n}$~---~любое
|
|
|
+действительное число, выбранное из $\setOfSets{M}_{n}$. (Доказать, что
|
|
|
+${\lim\mathbf{a}_{n}=\mathbf{u}}$.)
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+Несмотря на то, что в этой теории анализ оказывается <<арифметизованным>>,
|
|
|
+сохраняется глубокое различие между арифметикой и анализом, потому что в
|
|
|
+качестве объектов анализа приходится пользоваться бесконечными множествами
|
|
|
+объектов арифметики.
|
|
|
|
|
|
\section{Функции}
|
|
|
\label{sec:functions}
|
|
|
|
|
|
+В самом общем смысле (однозначная) \emph{функция} $f$, или ${f(x)}$, или
|
|
|
+${y=f(x)}$ \emph{от одной переменной} $x$~---~это соответствие, в силу которого
|
|
|
+каждому элементу $x$ некоторого множества $X$ отвечает единственный элемент $y$
|
|
|
+некоторого множества $Y$.
|
|
|
+
|
|
|
+Множество $X$ называется при этом \emph{областью изменения независимой
|
|
|
+переменной}, или \emph{областью определения функции}. Функцию называют также
|
|
|
+\emph{отображением} $X$ \emph{в} $Y$ (или \emph{функцией от} элемента множества
|
|
|
+$X$, \emph{принимающей в качестве значения} элемент множества $Y$, или
|
|
|
+\emph{операцией над} элементом множества $X$, \emph{дающей} элемент множества
|
|
|
+$Y$, и т.~д.).
|
|
|
+
|
|
|
+\emph{Область изменения зависимой переменной} $y$, или ${f(x)}$‚~---~это
|
|
|
+подмножество $Y_{1}$ множества $Y$, состоящее из тех элементов $Y$, которые
|
|
|
+используются при этом соответствии, т.~е. из тех, которые посредством функции
|
|
|
+$f$ поставлены в соответствие каким-нибудь элементам множества $X$. При этом $X$
|
|
|
+и $Y_{1}$ находятся в \emph{много-однозначном соответствии}, потому что каждому
|
|
|
+элементу из $X$ соответствует ровно один элемент из $Y_{1}$, но элемент из
|
|
|
+$Y_{1}$ может (вообще говоря) соответствовать многим элементам из $X$. Элемент
|
|
|
+$x$ из $X$ является \emph{аргументом функции}, или \emph{значением независимой
|
|
|
+переменной}. Соответствующий элемент $y$ из $Y$ является \emph{соответствующим
|
|
|
+значением функции}, или \emph{зависимой переменной}, или \emph{значением функции
|
|
|
+для этого аргумента}. (Иногда <<аргумент>> употребляется в смысле <<независимой
|
|
|
+переменной>>.)
|
|
|
+
|
|
|
+(Однозначная) \emph{функция} $f$, или ${f(x_{1}, \ldots, x_{n})}$‚ или
|
|
|
+${y=f(x_{1}, \ldots, x_{n})}$, \emph{от} $n$ \emph{переменных}
|
|
|
+${x_{1}, \ldots, x_{n}}$~---~это соответствие, в силу которого каждой
|
|
|
+упорядоченной $n$-ке ${(x_{1}, \ldots, x_{n})}$ объектов, где
|
|
|
+${x_{1}\in X_{1}}$, ${x_{2}\in X_{2}}$, $\ldots$, ${x_{n}\in X_{n}}$, отвечает
|
|
|
+единственный объект $y$, где ${y\in Y}$. Функцию от $n$ переменных можно
|
|
|
+рассматривать как функцию от одной переменной, множеством $X$ для которой служит
|
|
|
+класс всех упорядоченных $n$-ок ${(x_{1}, \ldots, x_{n})}$ указанного вида.
|
|
|
+Терминология, введённая для функций от одной переменной, распространяется на
|
|
|
+случай $n$ переменных. Так, $X_{1}$ есть \emph{область изменения} переменной
|
|
|
+$x_{1}$, $X_{2}$~---~\emph{область изменения} $x_{2}$, $\ldots$, $X_{n}$~---~%
|
|
|
+\emph{область изменения} $x_{n}$. При этом множества $X_{1}$, $X_{2}$, $\ldots$‚
|
|
|
+$X_{n}$ могут все совпадать, или же может иметься и несколько (вплоть до $n$)
|
|
|
+различных областей изменения. Всякая отдельная последовательность
|
|
|
+${x_{1}, \ldots, x_{n}}$ элементов соответственно из ${X_{1}, \ldots, X_{n}}$
|
|
|
+является \emph{cистемой}, или \emph{набором} (или $n$-кой) \emph{аргументов}.
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлена опечатка
|
|
|
+%% в оригинале было "истемой" вместо "системой"
|
|
|
+%%
|
|
|
+
|
|
|
stub
|
|
|
|
|
|
|
