par 17, chapter 4, part 2

notation_defs.tex

@@ -41,8 +41,8 @@
     {\olNt{\mathbf{e}}{\boldsymbol{\varepsilon}}}
 \newcommand{\OLlambda}[2]%                           лямбда-исчисление
     {\olNt{\mathrm{\uplambda} #1\;\,#2}{\mathrm{\uplambda} #1\,.\, #2}}
-\newcommand{\OLprec}{\olNt{<}{\prec}}%               порядок
-\newcommand{\OLpreceq}%                              предшественник
+\newcommand{\OLprec}{\olNt{<}{\prec}}%               предшественник
+\newcommand{\OLpreceq}%                              предшественник или равен
     {\olNt{\leqslant}{\preccurlyeq}}%
 \newcommand{\OLsucc}{\olNt{>}{\succ}}%               последователь
 \newcommand{\OLsucceq}%                              последователь или равен

parts/intros.tex

@@ -102,7 +102,7 @@ $x$,\hspace*{.25em}&$y$,\hspace*{.25em}&$z$\\
 курсив~---~для содержательных.)
 %%
 %% Пока что в предыдущих абзацах сохранено оригинальное начертание шрифтов
-%% оригинала, но тут явная ошибка: дело в том, во-первых, плантин -- это
+%% оригинала, но тут явная ошибка: дело в том, что, во-первых, плантин -- это
 %% семейство сериф-шрифтов; а, во-вторых, начиная с четвёртой главы
 %% действительно используются два шрифта в формулах. Но в целом книге
 %% (и в оригинале тоже) использовано четыре шрифта в формулах:
@@ -114,6 +114,9 @@ $x$,\hspace*{.25em}&$y$,\hspace*{.25em}&$z$\\
 %% а формальные обозначены полупрописным курсивом. Надо разобраться с этой
 %% фразой, вероятно она ошибочна.
 %%
+%% И ещё интересно, чем Есенину-Вольпину буквы "o" и "q" не угодили? )))
+%% Может стоит их вернуть на законные места?
+%%
 
 \bigskip
 

parts/part1-the_problems_of_foundations.tex

@@ -753,7 +753,7 @@ P\OLcup\{a_{0},b_{0},a_{1},b_{1},\ldots\}\text{.}
 \label{sec:5-higher_transfinite_cardinals}
 
 %
-% для следующах двух абзацев рассмотреть возможность добавления ссылок
+% TODO: для следующах двух абзацев рассмотреть возможность добавления ссылок
 % к прописным ссылкам:
 % "в последнем примере"
 % "эту теорему"
@@ -775,14 +775,14 @@ P\OLcup\{a_{0},b_{0},a_{1},b_{1},\ldots\}\text{.}
 теоремы, только слегка изменив рассуждения, и не пользуясь теоремой
 эквивалентности.
 
-\begin{SCEnvWLabel}{Лемма\kern1exA.}{lemma:A}{A}
+\begin{SCEnvWLabel}{Лемма\kern1exA.}{lemma:p5-A}{A}
 \emph{Если} $\setOfSets{S}$~---~\emph{некоторая совокупность подмножеств
 множества}~$M$ \emph{и}~${M\sim\setOfSets{S}}$, \emph{то имеется
 подмножество}~$T$ \emph{множества}~$M$‚ \emph{которое не
 принадлежит}~$\setOfSets{S}$.
 \end{SCEnvWLabel}
 
-\begin{SCEnvWLabel}{Доказательство}{lemma:A-proof}{A-proof}
+\begin{SCEnvWLabel}{Доказательство}{lemma:p5-A-proof}{A-proof}
 проводится с помощью диагонального метода Кантора. Подмножество~$M$ определено,
 если установлено, каковы те элементы~$M$, которые принадлежат этому
 подмножеству. Этого можно добиться, установив общий критерий, который для любого
@@ -790,7 +790,8 @@ P\OLcup\{a_{0},b_{0},a_{1},b_{1},\ldots\}\text{.}
 не принадлежит. Дадим теперь критерий такого рода для определения
 подмножества~$T$.
 
-\begin{SCEnvWLabel}{Критерий.}{lemma:A-proof-criterion}{A-proof-criterion}
+\begin{SCEnvWLabel}{Критерий.}%
+                   {lemma:p5-A-proof-criterion}{lemma:p5-A-proof-criterion}
 В \isom-соответствии, которое дано по условию~${M\sim\setOfSets{S}}$, любой
 элемент~$m$ множества~$M$ отвечает некоторому элементу~$S$
 множества~$\setOfSets{S}$. Но $S$~является одним из подмножеств~$M$.
@@ -821,12 +822,12 @@ $T$~принадлежит~$\setOfSets{S}$. Выберем тот элемент
 <<подможество>>.~---~\textit{Прим.~ред.}})}{}.
 \end{SCEnvWLabel}
 
-\begin{SCEnvWLabel}{Теорема\kern1exC.}{theorem:C}{C}
+\begin{SCEnvWLabel}{Теорема\kern1exC.}{theorem:p5-C}{C}
 \emph{Для любого множества}~$M$ \emph{справедливо
 соотношение}~${\OLcard{M}<\OLcard{\OLpowerset{M}}}$ (теорема Кантора).
 \end{SCEnvWLabel}
 
-\begin{SCEnvWLabel}{Доказательство.}{theorem:C-proof}{C-proof}
+\begin{SCEnvWLabel}{Доказательство.}{theorem:p5-C-proof}{C-proof}
 Если $N_{1}$~---~совокупность единичных подмножеств множества~$M$‚
 то~${M\sim N_{1}\subset\OLpowerset{M}}$. Значит, по
 следствию~\ref{theorem:p4-A-corollary-A} из теоремы~\ref{theorem:p4-A},%
@@ -834,10 +835,11 @@ $T$~принадлежит~$\setOfSets{S}$. Выберем тот элемент
 противоречие с теоремой, что~${\OLcard{M}=\OLcard{\OLpowerset{M}}}$, т.~е.%
 %% ======================= Страница 22 =======================
 ~${M\sim\OLpowerset{M}}$. Тогда $\OLpowerset{M}$~будет удовлетворять условиям
-для~$\setOfSets{S}$ леммы~\ref{lemma:A}. В силу леммы найдётся подмножество~$T$
-множества~$M$, которое не принадлежит~$\OLpowerset{M}$. Это невозможно, потому
-что $\OLpowerset{M}$~есть множество всех подмножеств~$M$. Следовательно, должно
-иметь место неравенство~${\OLcard{M}<\OLcard{\OLpowerset{M}}}$.
+для~$\setOfSets{S}$ леммы~\ref{lemma:p5-A}. В силу леммы найдётся
+подмножество~$T$ множества~$M$, которое не принадлежит~$\OLpowerset{M}$. Это
+невозможно, потому что $\OLpowerset{M}$~есть множество всех подмножеств~$M$.
+Следовательно, должно иметь место
+неравенство~${\OLcard{M}<\OLcard{\OLpowerset{M}}}$.
 \end{SCEnvWLabel}
 
 Если в качестве множества~$M$ этой теоремы мы возьмём множество с трансфинитным
@@ -850,7 +852,7 @@ $T$~принадлежит~$\setOfSets{S}$. Выберем тот элемент
 через~$2^{\OLcard{M}}$. Заметим, что это согласуется с обычной арифметикой,
 если $M$~конечно.)
 
-\begin{SCEnvWLabel}{Лемма\kern1exB.}{lemma:B}{B}
+\begin{SCEnvWLabel}{Лемма\kern1exB.}{lemma:p5-B}{B}
 \emph{Если} $S$~---~\emph{множество}, \emph{а}
 $\setOfSets{M}$~---~\emph{некоторое множество подмножеств}~$S$ \emph{и
 для каждого элемента}~$M$ \emph{из}~$\setOfSets{M}$ \emph{найдётся другой
@@ -859,7 +861,7 @@ $\setOfSets{M}$~---~\emph{некоторое множество подмноже
 \emph{для каждого элемента}~$M$ \emph{из}~$\setOfSets{M}$.
 \end{SCEnvWLabel}
 
-\begin{SCEnvWLabel}{Доказательство.}{lemma:B-proof}{B-proof}
+\begin{SCEnvWLabel}{Доказательство.}{lemma:p5-B-proof}{lemma:p5-B-proof}
 Так как~${M\subseteq S}$, то, по следствию~\ref{theorem:p4-A-corollary-A} из
 теоремы~\ref{theorem:p4-A},~${\OLcard{M}\leqslant\OLcard{S}}$. Допустим, что, в
 противоречие с леммой,~${\OLcard{M}=\OLcard{S}}$. Но
@@ -886,7 +888,7 @@ $\setOfSets{M}$~---~\emph{некоторое множество подмноже
 Например,~${M\OLcup N=\OLunion{\{ M, N\}}}$,%
 ~${M\OLcap N=\OLintersec{\{ M, N\}}}$.
 
-\begin{SCEnvWLabel}{Теорема\kern1exD.}{theorem:D}{D}
+\begin{SCEnvWLabel}{Теорема\kern1exD.}{theorem:p5-D}{D}
 \emph{Если} $\setOfSets{M}$~---~\emph{некоторое множество множеств и если для
 каждого элемента}~$M$ \emph{из}~$\setOfSets{M}$ \emph{найдётся другой
 элемент}~$M'$ \emph{из}~$\setOfSets{M}$ \emph{такой},
@@ -895,10 +897,10 @@ $\setOfSets{M}$~---~\emph{некоторое множество подмноже
 элемента}~$M$ \emph{из}~$\setOfSets{M}$.
 \end{SCEnvWLabel}
 
-\begin{SCEnvWLabel}{Доказательство.}{theorem:D-proof}{D-proof}
+\begin{SCEnvWLabel}{Доказательство.}{theorem:p5-D-proof}{theorem:p5-D-proof}
 В силу определения~${\OLunion{\setOfSets{M}}}$ каждый элемент~$M$
 из~$\setOfSets{M}$ является подмножеством множества~${\OLunion{\setOfSets{M}}}$.
-Теперь теорема следует из леммы~\ref{lemma:B}, если взять в
+Теперь теорема следует из леммы~\ref{lemma:p5-B}, если взять в
 ней~${\OLunion{\setOfSets{M}}}$ в качестве~$S$.
 \end{SCEnvWLabel}
 
@@ -908,7 +910,7 @@ $\setOfSets{M}$~---~\emph{некоторое множество подмноже
 числа~${\alephZero,2^{\alephZero},2^{2^{\alephZero}},\ldots}$, является
 множеством с ещё б{\'o}льшим трансфинитным кардинальным числом, чем любое из
 этих кардинальных чисел. Исходя из этого множества, можно с помощью
-теоремы~\ref{theorem:C} получить новую возрастающую последовательность. Эта
+теоремы~\ref{theorem:p5-C} получить новую возрастающую последовательность. Эта
 иерархия продолжается неограниченно.
 
 Более глубокое изложение канторовской теории абстрактных множеств можно найти,
@@ -1377,7 +1379,7 @@ $n$~левых скобок~<<$($>> и $n$~правых скобок~<<$)$>> и
 Следующие три леммы содержат ответ на поставленный вопрос и некоторые
 относящиеся к нему сведения.
 
-\begin{SCEnvWLabel}{Лемма\kern1ex1.}{lemma:1}{1}
+\begin{SCEnvWLabel}{Лемма\kern1ex1.}{lemma:p7-1}{1}
 \emph{При всяком собственном спаривании} $2n$~\emph{скобок}~(${n>0}$)
 \emph{имеется по крайней мере одна самая внутренняя пара}, \emph{т}.~\emph{е}.
 \emph{пара скобок}, \emph{между которыми нет никаких других скобок}.
@@ -1391,17 +1393,17 @@ $n$~левых скобок~<<$($>> и $n$~правых скобок~<<$)$>> и
 своей пары~$)_{i}$ или образует самую внутреннюю пару, или окружает некоторое
 множество скобок, к которым можно применить индуктивное предположение.)
 
-\begin{SCEnvWLabel}{Лемма\kern1ex2.}{lemma:2}{2}
+\begin{SCEnvWLabel}{Лемма\kern1ex2.}{lemma:p7-2}{2}
 \emph{Всякое множество из} $2n$~\emph{скобок допускает не более одного
 собственного спаривания}.
 \end{SCEnvWLabel}
 
 Это доказывается (простой) индукцией по~$n$. (\textsc{Указание.}~В индукционном
-шаге в силу леммы~\ref{lemma:1} среди данных скобок имеется самая внутренняя
+шаге в силу леммы~\ref{lemma:p7-1} среди данных скобок имеется самая внутренняя
 пара. Если её удалить‚ то к множеству оставшихся скобок будет применимо
 индуктивное предположение.)
 
-\begin{SCEnvWLabel}{Лемма\kern1ex3.}{lemma:3}{3}
+\begin{SCEnvWLabel}{Лемма\kern1ex3.}{lemma:p7-3}{3}
 \emph{Если множество из} $2n$~\emph{скобок и подмножество последовательных}
 $2m$~\emph{скобок из их числа оба допускают собственные спаривания}, \emph{то
 собственное спаривание этого подмножества образует часть собственного спаривания
@@ -1438,15 +1440,16 @@ $2m$~\emph{скобок из их числа оба допускают собс
 \end{equation*}
 
 Собственное спаривание, указанное нижними индексами, обнаруживается посредством
-следующего ,,алгоритма`` (подсказанного доказательством леммы~\ref{lemma:2}) на
-каждой стадии, двигаясь слева, находим первую самую внутреннюю пару среди ещё не
-использованных и присоединяем эту пару к спариванию. По лемме~\ref{lemma:2}
-никакого другого собственного спаривания найти невозможно. Скобки с третьей по
-двенадцатую образуют подмножество последовательных скобок, собственное
-спаривание которых уже получено в процессе спаривания всего множества. По
-лемме~\ref{lemma:3}, не существует никакого подмножества последовательных
-скобок, допускающего собственное спаривание, отличное от каждого из тех, которые
-уже введены при собственном спаривании всего множества.
+следующего ,,алгоритма`` (подсказанного доказательством леммы~\ref{lemma:p7-2})
+на каждой стадии, двигаясь слева, находим первую самую внутреннюю пару среди ещё
+не использованных и присоединяем эту пару к спариванию. По
+лемме~\ref{lemma:p7-2} никакого другого собственного спаривания найти
+невозможно. Скобки с третьей по двенадцатую образуют подмножество
+последовательных скобок, собственное спаривание которых уже получено в процессе
+спаривания всего множества. По лемме~\ref{lemma:p7-3}, не существует никакого
+подмножества последовательных скобок, допускающего собственное спаривание,
+отличное от каждого из тех, которые уже введены при собственном спаривании всего
+множества.
 
 \section{Системы объектов}
 \label{sec:8-system_of_objects}
@@ -2203,7 +2206,7 @@ $x$&$0$&\multicolumn{1}{|c|}{$1$}&&&$x$&$0$&%
 Несколько аналогичных антиномий встречается в теории трансфинитных
 кардинальных чисел, в частности \emph{парадокс Кантора} (найденный им
 в~1899~г.). Рассмотрим множество всех множеств; обозначим его
-через~$\setOfSets{M}$. По теореме Кантора~(теорема~\ref{theorem:C}~%
+через~$\setOfSets{M}$. По теореме Кантора~(теорема~\ref{theorem:p5-C}~%
 \textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals})~%
 ${\OLcard{\OLpowerset{\setOfSets{M}}}>\OLcard{\setOfSets{M}}}$. Кроме того, так
 как $\setOfSets{M}$~есть множество всех множеств, а
@@ -2220,9 +2223,9 @@ ${\OLcard{\OLpowerset{\setOfSets{M}}}\leqslant\OLcard{\setOfSets{M}}}$‚ а
 
 Отправляясь от того же самого~$\setOfSets{M}$, мы можем получить парадокс также
 следующим образом. Для каждого элемента~$M$ из~$\setOfSets{M}$, т.~е. для
-произвольного множества~$M$ по теореме~\ref{theorem:C} найдётся другой
+произвольного множества~$M$ по теореме~\ref{theorem:p5-C} найдётся другой
 элемент~$M'$ из~$\setOfSets{M}$, а именно~${\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$, такой,
-что~${\OLcard{M}<\OLcard{M'}}$. Отсюда, по теореме~\ref{theorem:D},~%
+что~${\OLcard{M}<\OLcard{M'}}$. Отсюда, по теореме~\ref{theorem:p5-D},~%
 ${\OLcard{M}<\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}}$ для любого элемента~$M$
 из~$\setOfSets{M}$. Но $\setOfSets{M}$~---~множество всех множеств, так
 что ${\OLunion{\setOfSets{M}}}$~является одним из его элементов. Выбирая этот
@@ -2285,7 +2288,7 @@ $T$~---~это не множество, которое не является э
 могут служить только множества, то, коль скоро $\setOfSets{M}$~является
 множеством всех множеств, ${\OLpowerset{\setOfSets{M}}=\setOfSets{M}}$~и
 множество~$T$ парадокса Рассела получается, если доказательство
-леммы~\ref{lemma:A}~\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}
+леммы~\ref{lemma:p5-A}~\textsection~\ref{sec:5-higher_transfinite_cardinals}
 применить к тождественному
 \isom-соответствию~${\setOfSets{M}\sim\OLpowerset{\setOfSets{M}}}$, при котором
 каждый элемент множества~$\setOfSets{M}$ соответствует

parts/part2-mathematical_logic.tex

@@ -244,7 +244,6 @@ ${\exists\mathit{c}%
     \left(\mathit{b}\right)%
 \right)}$~---~формулы. Наконец, в силу~\ref{listItem:p17-list2-2}, формулой
 является
-%{\renewcommand{\theequation}{\Alph{equation}}%
 \begin{equation}\label{eq:p17-A}\tag{A}
 \left(
     \exists\mathit{c}
@@ -268,18 +267,300 @@ ${\exists\mathit{c}%
 
 %% ======================= Страница 70 =======================
 
+Из индуктивных определений терма и формулы следует, что каждый терм и каждая
+формула могут быть построены из $0$~и переменных посредством ряда шагов, каждый
+из которых соответствует некоторому прямому пункту одного из этих
+определений~(\textsection~\ref{sec:6-the_natural_numbers}) и может быть назван
+\emph{применением} этого пункта.
+
+Каждый шаг, за исключением применений
+пунктов~\ref{listItem:p17-list1-1}~или~\ref{listItem:p17-list1-2} из определения
+терма, производится следующим образом: вначале нам дано одно или два ранее
+полученных выражения. Заключаем данное выражение или каждое из данных выражений
+в скобки и вводим выражение одного из следующих десяти видов:
+\begin{equation}\label{eq:p17-B}\tag{B}
+\OLimpl,\;\;\;\OLand,\;\;\;\vee,\;\;\;\neg,\;\;\;\forall\mathrm{x},\;\;\;%
+\exists\mathrm{x},\;\;\;=,\;\;\;+,\;\;\;\OLmult,\;\;\;'\text{,}
+\end{equation}
+
+\noindent%
+где $\mathrm{x}$~---~переменная. Выражение каждого из этих десяти видов мы будем
+называть \emph{оператором}. В частности,
+$\OLimpl$,~$\OLand$,~$\vee$,~$\neg$~являются \emph{пропозициональными связками},
+а операторы вида ${\forall\mathrm{x}}$~или~${\exists\mathrm{x}}$~суть
+\emph{кванторы}, причём ${\forall\mathrm{x}}$~---~\emph{квантор общности}, а
+${\exists\mathrm{x}}$~---~\emph{квантор существования}; операторы этих шести
+видов называются \emph{логическими операторами}.
+
+Данное выражение или пара выражений называются \emph{областью действия}
+оператора в получающемся выражении. Прослеживая всё построение терма или
+формулы, устанавливая очевидным образом соответствие между частями данного
+выражения или пары выражений и частями выражения получающегося на каждом шаге
+построения, мы приходим к определению \emph{области действия} не только для
+оператора, введённого последним в законченный терм или формулу, но и для всякого
+оператора в этом терме или формуле.
 \end{SCEnvWLabel}
 
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex3.}{exmpl:p17-3}{exmpl:p17-3}
+В формуле~(\ref{eq:p17-A}) область действия первого вхождения оператора~$=$
+состоит из
+части~${\left(\left(\mathit{c}\right)'\right)+\left(\mathit{a}\right)}$ и
+первого вхождения $\mathit{b}$, а область действия ${\exists\mathit{c}}$~есть
+часть~${%
+\left(
+    \left(
+        \left(\mathit{c}\right)'
+    \right)+
+    \left(\mathit{a}\right)
+\right)=
+\left(\mathit{b}\right)}$.
+\end{SCEnvWLabel}
 
+Отметим теперь следующий факт, к строгому доказательству которого мы сейчас
+перейдём. В данном терме или данной формуле области действия операторов можно
+установить однозначно, исходя из расположения скобок. Другими словами, скобки
+дают возможность, коль скоро дан терм или формула как конечная
+последовательность формальных символов, восстановить все существенные детали его
+(её) построения согласно индуктивным определениям терма и формулы.
+
+Строгое доказательство этого факта даётся
+леммой~\ref{lemma:p7-2}~(\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction},
+пример~\ref{exmpl:p7-2}) вместе со следующей леммой, которую можно доказать по
+индукции, исходя из индуктивных определений терма и формулы.
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Лемма\kern1ex4.}{lemma:p17-4}{4}
+\emph{В каждом данном терме или формуле существует собственное спаривание
+скобок} (\emph{число всех скобок равно}~${2n}$, \emph{из них} $n$~\emph{левых
+скобок и} $n$~\emph{правых}), \emph{такое}, \emph{что область действия всякого
+оператора входит следующим образом}:
+
+(a)\kern1ex\emph{Для операторов}, \emph{область действия которых состоит только
+из одного выражения}, \emph{эта область действия непосредственно заключается в
+парные скобки и оператор ставится вне этой пары скобок вплотную к ней},
+\emph{т}.~\emph{е}. \emph{непосредственно слева от левой скобки} (\emph{в
+случае}~$\neg$,~${\forall\mathrm{x}}$,~${\exists\mathrm{x}}$) \emph{или
+непосредственно справа от правой скобки} (\emph{в случае}~$'$).
+
+(b)\kern1ex\emph{Для операторов}, \emph{область действия которых состоит из двух
+выражений} (\emph{именно}~$\OLimpl$,~$\OLand$,~$\vee$,~$=$,~$+$,~$\OLmult$)‚
+\emph{каждое из этих двух выражений непосредственно заключается в парные
+скобки}, \emph{а оператор ставится непосредственно между правой скобкой пары},
+\emph{в которую заключено левое выражение}, \emph{и левой скобкой пары}, \emph{в
+которую заключено правое выражение}.
+\end{SCEnvWLabel}
 
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex3~\textup{(окончание)}.}%
+{exmpl:p17-3-end}{exmpl:p17-3-end}
+Рассмотренный пример формулы~(\ref{eq:p17-A}) содержит 22 скобки. По
+лемме~\ref{lemma:p17-4}, эти 22 скобки допускают собственное спаривание,
+%% ======================= Страница 71 =======================
+которое находится из процесса построения формулы согласно определениям терма и
+формулы и которое указывает области действия операторов. Так как существует
+собственное спаривание, то, по лемме~\ref{lemma:p7-2}, это спаривание однозначно
+и поэтому может быть найдено посредством алгоритма
+из~\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction}, без предварительного знания
+построения формулы согласно определениям терма и формулы. Мы фактически уже
+проделали это в конце~\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction}, где те же
+самые 22 скобки рассматривались независимо от стоящих между ними символов.
+Пользуясь полученным разбиением на пары для этих 22 скобок, входящих в полную
+формулу~(\ref{eq:p17-A}), можно заметить, что область действия первого
+вхождения~$=$ состоит из выражения, заключённого между
+скобками~${\big(\vphantom{a}^{3}_{4}\;\:\big)\vphantom{a}^{10}_{4}}$, и
+выражения, заключённого между
+скобками~${\big(\vphantom{a}^{11}_{5}\;\:\big)\vphantom{a}^{12}_{5}}$. Это
+согласуется с нашим прежним определением этой области действия. Аналогично,
+область действия~${\exists\mathit{c}}$ заключена между
+скобками~${\big(\vphantom{a}^{2}_{6}\;\:\big)\vphantom{a}^{13}_{6}}$.
+\end{SCEnvWLabel}
 
+Лемма~\ref{lemma:p7-3} из~\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction}, хотя
+она и не требуется для доказательства того, что области действия могут быть
+найдены по распределению скобок, полезна при рассуждениях об областях действий в
+частях и во всем выражении (терме или формуле). Например, если
+$\mathrm{М}$,~$\mathrm{N}$~и~$\mathrm{A}$~---~формулы и $\mathrm{A}$~входит
+в~${\left(\mathrm{M}\right)\OLimpl\left(\mathrm{N}\right)}$ как (связная) часть,
+отличная от всей формулы, то можно заключить, что эта часть (или каждая такая
+часть) является частью~$\mathrm{М}$ или частью~$\mathrm{N}$.
+
+При выборе наших определений терма и формулы мы, конечно, вводили скобки ради
+вышеизложенной цели, однозначного определения областей действия. Ясно, однако,
+что обычно в определениях вводят больше скобок, чем строго необходимо для этой
+цели. Ничего не меняя в определениях, мы можем согласиться опускать лишние
+скобки для сокращения записи термов и формул или представляющих их
+метаматематических выражений.
+
+Возможности в этом направлении расширяются употреблением соглашений, аналогичных
+тем, которые приняты в алгебре, где <<${a\OLmult b+c}$>> понимается в 
+смысле~${\left(a\OLmult b\right)+c}$. Мы будем говорить в этом случае, что
+$+$~имеет \emph{ранг}, более высокий, чем~$\OLmult$‚ и припишем нашим операторам
+ранги, понижающиеся в том порядке, в котором мы их перечислили выше
+в~(\ref{eq:p17-B}). Чтобы восстановить любые скобки, опущенные при сокращении
+терма или формулы, можно, выбирая последовательно каждый раз из всех
+присутствующих операторов тот, который раньше других встречается в
+списке~(\ref{eq:p17-B}), т.~е. оператор наивысшего ранга, придавать ему
+наибольшую область действия, совместимую с требованием, чтобы всё выражение было
+термом или формулой.
+%%
+%% исправлен шрифт в алгебраических формулах
+%% надо отметить, что в оригинале присутсвует тот же недочёт, что и в переводе -
+%% используется не подходящий по смыслу шрифт
+%%
 
+Мы не всегда будем опускать максимальное число скобок, допускаемое нашим
+соглашением, стремясь обеспечить максимальное удобство для чтения. (С этой целью
+мы будем также иногда заменять круглые скобки на квадратные или фигурные.)
 
-stub
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex4.}{exmpl:p17-4}{exmpl:p17-4}
+Восстановление скобок
+в~<<${\mathrm{A}\OLimpl\mathrm{B}\vee\mathrm{C}\OLand\mathrm{D}}$>> даёт
+последовательно~%
+<<${\mathrm{A}\OLimpl
+\left(
+    \mathrm{B}\vee\mathrm{C}\OLand\mathrm{D}
+\right)}$>>,
+<<${\mathrm{A}\OLimpl
+\left(
+    \left(
+        \mathrm{B}\vee\mathrm{C}
+    \right)
+    \OLand\mathrm{D}
+\right)}$>>,
+<<${\left(\mathrm{A}\right)\OLimpl
+\left(
+    \left(
+        \left(\mathrm{B}\right)\vee\left(\mathrm{C}\right)
+    \right)
+    \OLand\left(\mathrm{D}\right)
+\right)}$>>. Рассмотренный пример формулы~(\ref{eq:p17-A}) сокращённо
+записывается в виде
+\begin{equation}\label{eq:p17-A-stroke}\tag{A$'$}
+\exists\mathit{c}
+\left(\mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}\right)
+\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}\text{.}
+\end{equation}
+
+Другого рода сокращения даёт нам введение нового символа вместе с методом
+обратного перевода любого выражения, содержащего новый символ, в выражение, не
+содержащее последнего. Например,
+термы~${
+\left(0\right)',
+\left(\left(0\right)'\right)',
+\left(\left(\left(0\right)'\right)'\right)'\ldots}$ мы сокращаем
+соответственно в~<<$1$>>,~<<$2$>>,~<<$3$>>,~$\ldots\:$;
+формулу~${\neg\mathit{a}=\mathit{b}}$ сокращаем
+в~<<${\mathit{a}\neq\mathit{b}}$>>, а
+формулу~${\exists\mathit{c}\left(\mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}\right)}$
+сокращаем в <<${\mathit{a}<\mathit{b}}$>>. Рассмотренная
+формула~(\ref{eq:p17-A}) может быть при этом записана так:
+\begin{equation}\label{eq:p17-A-stroke-stroke}\tag{A$''$}
+\mathit{a}<\mathit{b}\OLimpl\mathit{a}\neq\mathit{b}\text{.}
+\end{equation}
+\end{SCEnvWLabel}
+
+%% ======================= Страница 72 =======================
+
+Общее правило для сокращения <<$\neq$>> позволяет нам
+писать~<<${\mathrm{s}\neq\mathrm{t}}$>> как сокращение
+для~${\neg\mathrm{s}=\mathrm{t}}$‚ где $\mathrm{s}$~и~$\mathrm{t}$~---~термы.
+Общее правило для сокращения~<<$<$>> позволяет нам
+писать~<<${\mathrm{s}<\mathrm{t}}$>> как сокращение
+для~${\exists\mathrm{x}\left(\mathrm{x}'+\mathrm{s}=\mathrm{t}\right)}$‚
+где $\mathrm{x}$~---~переменная, а $\mathrm{s}$~и~$\mathrm{t}$~---~термы, не
+содержащие~$\mathrm{x}$. При восстановлении сокращения, если оно было связано с
+опусканием переменной, как в случае~<<$<$>>, имеется произвол в отношении выбора
+подлежащей восстановлению переменной. Так, при
+восстановлении~<<${\mathrm{s}<\mathrm{t}}$>> мы можем выбрать в
+качестве~$\mathrm{x}$ любую переменную, не содержащуюся
+в~$\mathrm{s}$~и~$\mathrm{t}$. Этот произвол является мало существенным,
+поскольку утверждения, которые мы собираемся делать о сокращённой формуле, имеют
+место независимо от выбора допустимой переменной.
+
+Мы будем считать, что все эти сокращения относятся только к изложению
+метаматематики. Это соответствует нашим целям, и таким путём мы сохраняем
+теоретически более простые основные определения, посредством которых
+устанавливается формальная система. Метаматематические утверждения о термах и
+формулах системы должны поэтому рассматриваться как относящиеся к несокращённым
+выражениям в буквальном смысле определений, какого бы рода стенографией мы ни
+пользовались при записи этих утверждении.
 
 \section{Свободные и связанные переменные}
 \label{sec:18-free_and_bound_variables}
 
+Вхождение переменной~$\mathrm{x}$ в формулу~$\mathrm{A}$ называется
+\emph{связанным} (или вхождением в качестве \emph{связанной переменной}), если
+оно является вхождением в квантор~${\forall\mathrm{x}}$
+или~${\exists\mathrm{x}}$ или в область действия квантора~${\forall\mathrm{x}}$
+или~${\exists\mathrm{x}}$ (с тем же самым~$\mathrm{x}$); в противном случае
+вхождение называется \emph{свободным} (или вхождением в качестве
+\emph{свободной переменной}).
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex1.}{exmpl:p18-1}{exmpl:p18-1}
+В~${
+\exists\mathit{c}
+\left(\mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}\right)
+\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}}$‚ оба вхождения~$\mathit{a}$ и оба
+вхождения~$\mathit{b}$~---~свободные‚ а оба
+вхождения~$\mathit{c}$~---~связанные. В~${
+\exists\mathit{c}
+\left(\mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}\right)
+\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}+\mathit{c}}$ первые два
+вхождения~$\mathit{c}$~---~связанные, а третье~---~свободное.
+В~${
+\exists\mathit{c}\left(
+    \exists\mathit{c}\left(
+        \mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}
+    \right)\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}+\mathit{c}
+\right)}$ все вхождения~$\mathit{c}$~---~связанные.
+\end{SCEnvWLabel}
+
+Мы будем говорить также, что любое вхождение переменной~$\mathrm{x}$ в
+терм~$\mathrm{t}$ является \emph{свободным}, как это будет следовать из
+приведённого определения, если заменить в нем слова <<формула~$\mathrm{A}$>>
+на <<терм~$\mathrm{t}$>>. Различие между свободным и связанным вхождением
+переменной всегда связано с термом или формулой, для которых (в каждом случае)
+рассматривается это вхождение.
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex2.}{exmpl:p18-2}{exmpl:p18-2}
+Третье вхождение~$\mathit{c}$ в~${
+\exists\mathit{c}\left(
+    \exists\mathit{c}\left(
+        \mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}
+    \right)\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}+\mathit{c}
+\right)}$ является свободным, если его рассматривать как вхождение в саму эту
+часть~$\mathit{c}$, или в часть~${\mathit{c}'}$, или в
+часть~${\mathit{c}'+\mathit{a}}$‚ или в
+часть~${\mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}}$, и связанным, если его рассматривать
+как вхождение в часть~${
+\exists\mathit{c}\left(
+    \mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}
+\right)}$‚ или в часть~${
+\exists\mathit{c}\left(
+    \mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}
+\right)\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}+\mathit{c}}$, или во всю формулу.
+\end{SCEnvWLabel}
+
+Если переменная~$\mathrm{x}$ входит в качестве свободной переменной (коротко:
+входит свободно) в~$\mathrm{A}$, то говорят, что $\mathrm{x}$~является
+\emph{свободной переменной} выражения~$\mathrm{A}$, или что
+$\mathrm{A}$~\emph{содержит}~$\mathrm{x}$ \emph{в качестве свободной
+переменной} (коротко: $\mathrm{A}$~\emph{содержит свободно}~$\mathrm{x}$);
+аналогично для связанных переменных.
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex3.}{exmpl:p18-3}{exmpl:p18-3}
+Свободные переменные в~${
+\exists\mathit{c}\left(
+    \mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}
+\right)\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}+\mathit{c}
+}$ суть~$\mathit{a}$,~$\mathit{b}$~и~$\mathit{c}$, а единственная связанная
+переменная есть~$\mathit{c}$.
+\end{SCEnvWLabel}
+
+Связанное вхождение переменной~$\mathrm{x}$ в формулу~$\mathrm{A}$ связано
+\emph{тем} вхождением квантора~${\forall\mathrm{x}}$ или~~${\exists\mathrm{x}}$
+(с тем же самым~$\mathrm{x}$), в области действия которого
+%% ======================= Страница 73 =======================
+
+
 stub
 
 \section{Правила преобразования}