par 7

definitions.tex

@@ -114,7 +114,7 @@
 %     * для использования более поздней (современной) нотации расскомментируйте
 %       строку
 %
-%%% \def\LaterNotation{1}
+%%%%% \def\LaterNotation{1}
 %
 %некоторые часто встречающиеся символы и обозначения
 %

parts/part1-the_problems_of_foundations.tex

@@ -872,7 +872,7 @@ ${M\OLcup N=\OLunion{\{ M, N\}}}$, ${M\OLcap N=\OLintersec{\{ M, N\}}}$.
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Теорема D.}{theorem:D}{D}
 \emph{Если} $\setOfSets{M}$ --- \emph{некоторое множество множеств и если для
-каждого элемента} $M$ \emph{из} $\setOfSets{M}$ \emph{найдётся другои элемент}
+каждого элемента} $M$ \emph{из} $\setOfSets{M}$ \emph{найдётся другой элемент}
 $M'$ \emph{из} $\setOfSets{M}$ \emph{такой}, \emph{что}
 ${\OLcard{M}<\OLcard{M'}}$, \emph{то}
 ${\OLcard{M}<\OLcard{\OLunion{\setOfSets{M}}}}$ \emph{для каждого элемента} $M$
@@ -1075,18 +1075,18 @@ $n$\emph{-мерного} или $\alephZero$\emph{-мерного простр
 Мы начнём с описания натуральных чисел как объектов, которые могут быть
 порождены, если отправляться от начального объекта $0$ (\emph{нуль}) и
 последовательно переходить от уже порождённого объекта $n$ к другому объекту
-$n+1$ или $n'$ (\emph{следующему за} $n$).
+${n+1}$ или $n'$ (\emph{следующему за} $n$).
 
 При этом мы считаем возможным, как бы далеко мы уже ни зашли при получении $n$,
 сделать ещё один шаг и получить $n'$. Употребление обозначения со штрихом
-<<$n'$>> вместо более обычного <<$n+1$>> подчёркивает, что $'$ есть первичная
+<<$n'$>> вместо более обычного <<${n+1}$>> подчёркивает, что~$'$~есть первичная
 унарная\footnote{Т. е. с одним аргументом. --- \textit{Прим. перев.}} операция
-или функция, употребляемая при порождении натуральных чисел, тогда как $+$ может
+или функция, употребляемая при порождении натуральных чисел, тогда как~$+$~может
 быть определён на дальнейшей стадии как бинарная операция или функция от двух
 натуральных чисел.
 
 Чтобы получить натуральные числа с их обычными обозначениями, остаётся лишь
-разъяснить, что $0, 1, 2, 3, \ldots$ заменяют соответственно
+разъяснить, что ${0, 1, 2, 3, \ldots}$ заменяют соответственно
 \begin{equation*}
 0,\; 0',\; 0'',\; 0''',\;\ldots\text{.}
 \end{equation*}
@@ -1099,17 +1099,17 @@ $n+1$ или $n'$ (\emph{следующему за} $n$).
 следующему натуральному числу $n'$. Это описание можно следующим образом разбить
 на несколько пунктов:
 
-1.\itemlabel{p6e1}{1} $0$ является \emph{натуральным числом}.
-2.\itemlabel{p6e2}{2} Если $n$ --- \emph{натуральное
+1.\itemlabel{list:p6-l1-i1}{1} $0$ является \emph{натуральным числом}.
+2.\itemlabel{list:p6-l1-i2}{2} Если $n$ --- \emph{натуральное
 число}, то и $n'$ --- \emph{натуральное число}.
-3.\itemlabel{p6e3}{3} Никаких \emph{натуральных чисел}, кроме тех, которые
-получаются согласно \ref{p6e1} и \ref{p6e2}, нет.
+3.\itemlabel{list:p6-l1-i3}{3} Никаких \emph{натуральных чисел}, кроме тех,
+которые получаются согласно \ref{list:p6-l1-i1} и \ref{list:p6-l1-i2}, нет.
 
 В этой форме наша последовательность дискретных шагов становится применением
-пункта~\ref{p6e1} и последовательностью применений пункта~\ref{p6e2}. Все три
-пункта вместе образуют пример того, что мы будем называть \emph{индуктивным
-определением}. Определяемый термин (,,натуральное число``) выделен курсивом. Эти
-пункты,
+пункта~\ref{list:p6-l1-i1} и последовательностью применений
+пункта~\ref{list:p6-l1-i2}. Все три пункта вместе образуют пример того, что мы
+будем называть \emph{индуктивным определением}. Определяемый термин
+(,,натуральное число``) выделен курсивом. Эти пункты,
 %% ======================= Страница 26 =======================
 за исключением последнего, предусматривают случаи, в которых определён этот
 термин; они называются \emph{прямыми пунктами}; последний пункт называется
@@ -1117,37 +1117,41 @@ $n+1$ или $n'$ (\emph{следующему за} $n$).
 определён, исчерпывающим образом рассмотрены в предыдущих пунктах.
 
 В этом индуктивном определении не выражено условие различия, а именно, что
-числа, различным образом порождённые применениями пунктов \ref{p6e1} и
-\ref{p6e2}, должны быть различными объектами. Это условие можно разбить на два
-следующих предложения.
+числа, различным образом порождённые применениями пунктов \ref{list:p6-l1-i1} и
+\ref{list:p6-l1-i2}, должны быть различными объектами. Это условие можно разбить
+на два следующих предложения.
 
-4.\itemlabel{p6e4}{4} Для любых натуральных чисел $m$ и $n$ из $m'=n'$ следует
-$m=n$. 5.\itemlabel{p6e5}{5} Для любого натурального числа $n$, $n'\neq 0$.
+4.\itemlabel{list:p6-l1-i4}{4} Для любых натуральных чисел $m$ и $n$ из
+${m'=n'}$ следует ${m=n}$. 5.\itemlabel{list:p6-l1-i5}{5} Для любого
+натурального числа $n$, ${n'\neq 0}$.
 
 При этом подразумевается, что $'$ есть унивалентный оператор, или однозначная
-функция, так что, обратно к~\ref{p6e4}: для любых натуральных чисел $m$ и $n$
-из $m=n$ следует $m'=n'$.
-
-Чтобы убедиться в том, что предложения \ref{p6e4} и \ref{p6e5} требуют различия
-любых двух различно порождённых чисел, мы можем рассуждать следующим образом.
-Допустим, что на некоторой данной стадии порождения чисел все до сих пор
-порождённые числа $0, 1,\ldots, n$ различны. Тогда ближайшее из далее
-порождаемых чисел --- число $n'$ должно отличаться от тех чисел
-$1, \ldots, n$, которые среди ранее порождённых следуют за какими-то числами
-(в силу~\ref{p6e4}), и от $0$ (в силу~\ref{p6e5}). Таким образом, каждый
-следующий шаг в этом порождении производит некоторое новое число.
-
-Например, $0''''\neq 0''$, в чем можно убедиться следующим образом. В
-силу~\ref{p6e4}, применённого с $0'''$ в качестве $m$ и $0'$ в качестве $n$,
-$0''''=0''$ возможно только при $0'''=0'$. Опять в силу~\ref{p6e4}, $0'''=0'$
-влечёт $0''=0$. Но в силу~\ref{p6e5} с $0'$ в качестве $n$ $0''\neq0$.
-
-Эти пять предложений~\ref{p6e1}--\ref{p6e5} с одним отличием были выбраны
-Пеано~\cite{peano1889,peano1891} в качестве аксиом, характеризующих
-натуральный ряд чисел. Пеано вместо предложения~\ref{p6e3} сформулировал
-принцип математической индукции (\textsection~\ref{sec:mathematical_induction})
-и поместил его в списке на пятом месте, сдвинув предложения \ref{p6e4} и
-\ref{p6e5} соответственно на третье и четвёртое места.
+функция, так что, обратно к~\ref{list:p6-l1-i4}: для любых натуральных чисел $m$
+и $n$ из ${m=n}$ следует ${m'=n'}$.
+
+Чтобы убедиться в том, что предложения \ref{list:p6-l1-i4} и \ref{list:p6-l1-i5}
+требуют различия любых двух различно порождённых чисел, мы можем рассуждать
+следующим образом. Допустим, что на некоторой данной стадии порождения чисел все
+до сих пор порождённые числа ${0, 1,\ldots, n}$ различны. Тогда ближайшее из
+далее порождаемых чисел --- число $n'$ должно отличаться от тех чисел
+${1, \ldots, n}$, которые среди ранее порождённых следуют за какими-то числами
+(в силу~\ref{list:p6-l1-i4}), и от $0$ (в силу~\ref{list:p6-l1-i5}). Таким
+образом, каждый следующий шаг в этом порождении производит некоторое новое
+число.
+
+Например, ${0''''\neq 0''}$, в чем можно убедиться следующим образом. В
+силу~\ref{list:p6-l1-i4}, применённого с $0'''$ в качестве $m$ и $0'$ в качестве
+$n$, ${0''''=0''}$ возможно только при ${0'''=0'}$. Опять в
+силу~\ref{list:p6-l1-i4}, ${0'''=0'}$ влечёт ${0''=0}$. Но в
+силу~\ref{list:p6-l1-i5} с $0'$ в качестве $n$ ${0''\neq 0}$.
+
+Эти пять предложений~\ref{list:p6-l1-i1}--\ref{list:p6-l1-i5} с одним отличием
+были выбраны Пеано~\cite{peano1889,peano1891} в качестве аксиом, характеризующих
+натуральный ряд чисел. Пеано вместо предложения~\ref{list:p6-l1-i3}
+сформулировал принцип математической индукции
+(\textsection~\ref{sec:mathematical_induction}) и поместил его в списке на пятом
+месте, сдвинув предложения \ref{list:p6-l1-i4} и \ref{list:p6-l1-i5}
+соответственно на третье и четвёртое места.
 
 Здесь мы не рассматриваем внутреннюю природу натуральных чисел; нас интересует
 только, как они образуют натуральный ряд. Каждое индивидуальное натуральное число
@@ -1167,39 +1171,265 @@ $0''''=0''$ возможно только при $0'''=0'$. Опять в сил
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Порядок}{order:p6}{order:p6}
 Согласно индуктивному определению натуральных чисел, они порождаются в некотором
-(обычном) порядке. Таким образом, мы определяем, что $m<n$, если $m$ порождается
-раньше $n$ по ходу порождения $n$. Расчленяя это, мы получаем следующее
-индуктивное определение отношения $m<n$ (где $m$, $n$ пробегают натуральный
-ряд).
+(обычном) порядке. Таким образом, мы определяем, что ${m<n}$, если $m$
+порождается раньше $n$ по ходу порождения $n$. Расчленяя это, мы получаем
+следующее индуктивное определение отношения ${m<n}$ (где $m$, $n$ пробегают
+натуральный ряд).
 
-O1.\itemlabel{p6o1}{O1} $m<m'$. O2.\itemlabel{p6o2}{O2} Если $m<n$, то $m<n'$.
-O3.\itemlabel{p6o3}{O3} $m<n$ в том и только в том случае, если это вытекает из
-\ref{p6o1} и \ref{p6o2}.
+O1.\itemlabel{list:p6-l2-i1}{O1} ${m<m'}$. O2.\itemlabel{list:p6-l2-i2}{O2} Если
+${m<n}$, то ${m<n'}$. O3.\itemlabel{list:p6-l2-i3}{O3} ${m<n}$ в том и только в
+том случае, если это вытекает из \ref{list:p6-l2-i1} и \ref{list:p6-l2-i2}.
 
 Если взять это определение для некоторого фиксированного $m$ в качестве
 индуктивного определения класса чисел $n$, больших $m$, то оно имеет вид
-первоначального индуктивного определения натуральных чисел с заменой $0$ на $m'$.
+первоначального индуктивного определения натуральных чисел с заменой $0$ на
+$m'$.
 \end{SCEnvWLabel}
 
-
+%% ======================= Страница 27 =======================
 
 \section{Математическая индукция}
 \label{sec:mathematical_induction}
 
-stub
+Пусть $P$ --- некоторое свойство натуральных чисел. Допустим, что:
+
+(1)\itemlabel{list:p7-l1-i1}{(1)} $0$ обладает свойством $P$.
+
+(2)\itemlabel{list:p7-l1-i2}{(2)} Если какое-нибудь натуральное число $n$
+обладает свойством $P$, то и следующее за ним число $n'$ обладает свойством $P$.
+
+Тогда каждое натуральное число обладает свойством $P$.
+
+Это --- принцип \emph{математической индукции}. Мы можем высказать его немного
+короче, пользуясь <<$n$>> в качестве переменной для натурального числа и
+<<$P(n)$>> как обозначением для предложения, состоящего в том, что $n$ обладает
+свойством $P$: если~\ref{list:p7-l1-i1}\itemlabel{list:p7-l1-i1-1}{(1)}~$P(0)$
+и~\ref{list:p7-l1-i2}\itemlabel{list:p7-l1-i2-2}{(2)}~для любого $n$ из $P(n)$
+следует $P(n')$, то $P(n)$ для всех $n$.
+
+Обоснование этого принципа индукции является почти непосредственным, если
+натуральные числа рассматриваются как объекты, порождённые согласно индуктивному
+определению~\ref{list:p6-l1-i1}--\ref{list:p6-l1-i3}~%
+\textsection~\ref{sec:the_natural_numbers}. Предположим, что имеется свойство
+$P$, для которого справедливы
+свойства~\ref{list:p7-l1-i1-1}~и~\ref{list:p7-l1-i2-2}. Должно ли тогда каждое
+натуральное число $n$ обладать свойством $P$? Мы рассматриваем положительный
+ответ просто как утверждение, что, если нам дано произвольное натуральное число
+$n$, мы можем быть уверены в том, что $n$ обладает свойством $P$. Но любое
+натуральное число $n$ дано в точности тогда, когда (фактически или в принципе)
+мы имеем его порождение согласно индуктивному определению, отправляясь от $0$ и
+применяя некоторое указанное число раз операцию <<следующий за>>. При этих
+обстоятельствах, чтобы заключить, что $n$ обладает свойством $P$, мы можем
+воспользоваться~\ref{list:p7-l1-i1-1}~и~\ref{list:p7-l1-i2-2}. Например, $P(4)$
+потому, что $4$ задается как $0''''$; в силу~\ref{list:p7-l1-i1-1}~$P(0)$;
+отсюда в силу~\ref{list:p7-l1-i2-2}~$P(0')$; опять в
+силу~\ref{list:p7-l1-i2-2}~$P(0'')$; опять в
+силу~\ref{list:p7-l1-i2-2}~$P(0''')$ и опять в
+силу~\ref{list:p7-l1-i2-2}~$P(0'''')$.
+
+Иначе говоря,~\ref{list:p7-l1-i1-1}~и~\ref{list:p7-l1-i2-2} служат орудиями,
+которые позволяют нам, параллельно с порождением натуральных чисел согласно
+пунктам~\ref{list:p6-l1-i1} и~\ref{list:p6-l1-i2} индуктивного определения,
+проверять для каждого порождаемого числа, что оно обладает свойством $P$.
+
+Это рассуждение зависит, конечно, от косвенного пункта~\ref{list:p6-l1-i3}
+индуктивного определения. Обратно, наш принцип индукции можно применить для
+доказательства пункта~\ref{list:p6-l1-i3}, применяя его со следующим
+предложением в качестве $P(n)$: $n$ дано как натуральное число посредством
+пунктов~\ref{list:p6-l1-i1} и~\ref{list:p6-l1-i2}, т. е. может быть порождено
+путём применений операции <<следующий за>> отправляясь от $0$.
+
+В связи с доказательством посредством математической индукции мы будем
+пользоваться следующей терминологией. Предложение $P(n)$, зависящее от
+переменного натурального числа $n$, мы будем называть \emph{индукционным
+предложением}, или \emph{предложением индукции}, а переменную $n$ ---
+\emph{индукционной переменной}, или \emph{индукционным числом}, или
+\emph{переменной индукции}, или переменной, \emph{по} которой производится
+индукция. Часть доказательства, состоящую в установлении~\ref{list:p7-l1-i1-1},
+т. е. доказательство предложения $P(0)$, мы будем называть \emph{базисом}
+индукции. Часть доказательства, состоящую в установлении~\ref{list:p7-l1-i2-2},
+т. е. доказательство того, что если $P(n)$, то $P(n')$, мы будем называть
+\emph{индукционным шагом}, или \emph{шагом индукции}. Внутри индукционного шага
+допущение $P(n)$, из которого мы выводим $P(n')$, будем называть
+\emph{индуктивным предположением}, или \emph{предположением индукции}.
+
+Иногда для проведения индукционного шага необходимо допустить в качестве
+индуктивного предположения не просто $P(n)$, а то, что $P(m)$ для всех
+${m\leqslant n}$. Читателю предоставляется самостоятельно убедиться в том, что
+принцип индукции сохраняет силу и в этой изменённой форме, которая называется
+\emph{возвратной индукцией}, или \emph{индукцией пробега}. Индукцией можно
+пользоваться при доказательстве предложения, зависящего не от натурального,
+а от целого положительного числа; в этом случае базис состоит из доказательства
+$P(1)$.
+%% ======================= Страница 28 =======================
+
+Изучающий встречался с математической индукцией в курсах элементарной алгебры. В
+качестве примеров предложений, требующих доказательства по индукции и не
+очевидных, пока эти доказательства не проведены, часто приводят формулы для
+суммирования прогрессий. Многие предложения, которые обычно принимаются на веру,
+при строгом доказательстве зависят от индукции, а в других случаях индукционный
+шаг настолько прост, что от него отделываются словами <<и так далее>> или
+чем-нибудь в этом роде (например, теоремы~\ref{theorem:A}~и~\ref{theorem:B}
+из~\textsection~\ref{sec:the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}).
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Пример 1.}{exmpl:p7-1}{1}
-Докажем
-предложения~\ref{prop:p4-1}~и~\ref{prop:p4-2}~%
+Докажем предложения~\ref{prop:p4-1}~и~\ref{prop:p4-2}~%
 из~\textsection~\ref{sec:the_equivalence_theorem_finite_and_infinite_sets}
 при помощи индукции по $n$. Сделаем это для~\ref{prop:p4-2},
-предоставляя~\ref{prop:p4-1} читателю.
+предоставляя~\ref{prop:p4-1} читателю. Индукционное предложение таково:
+\emph{Для любых множеств} $M$ \emph{и} $M_{1}$ \emph{из} ${\OLcard{M}=n}$
+\emph{и} ${M\sim M_{1}\subseteq M}$ \emph{следует} ${M_{1}=M}$.
+\textsc{Базис:}~${n=0}$. Пусть $M$ и $M_{1}$ --- такие множества, что
+${\OLcard{M}=0}$, т. е. ${M=\OLemptyset}$ и
+${\OLemptyset\sim M_{1}\subseteq\OLemptyset}$. Тогда ${M_{1}=\OLemptyset}$.
+\textsc{Индукционный~шаг}.~Допустим (в качестве индуктивного предположения), что
+индукционное предложение установлено. Пусть теперь $M$ и $M_{1}$ --- такие
+множества, что ${\OLcard{M}=n+1}$, т. е. ${M=N\OLcup\left\{ a\right\}}$, где
+${\OLcard{N}=n}$ и ${a\OLnotin N}$ и
+${N\OLcup\left\{ a\right\}\sim M_{1}\subseteq N\OLcup\left\{ a\right\}}$. Нам
+надо доказать, что при этом ${M_{1}=N\OLcup\left\{ a\right\}}$. В данном
+\isom -соответствии ${N\OLcup\left\{ a\right\}\sim M_{1}}$ элемент $a$ множества
+${N\OLcup\left\{ a\right\}}$ соответствует некоторому элементу $b$ из $M_{1}$.
+Поэтому
+${N\sim M_{1}\OLsetminus\left\{ b\right\}\subset
+ \left(N\OLcup\left\{ a\right\}\right)\OLsetminus\left\{ b\right\}}$.
+Кроме того,
+${\left(N\OLcup\left\{ a\right\}\right)\OLsetminus\left\{ b\right\}\sim N}$.
+Поэтому
+${\OLcard{\left(N\OLcup\left\{ a\right\}\right)\OLsetminus\left\{ b\right\}}=n}$
+и
+${\left(N\OLcup\left\{ a\right\}\right)\OLsetminus\left\{ b\right\}\sim
+ M_{1}\OLsetminus\left\{ b\right\}\subseteq
+ \left(N\OLcup\left\{ a\right\}\right)\OLsetminus\left\{ b\right\}}$.
+По индуктивному предположению, применённому с
+${\left(N\OLcup\left\{ a\right\}\right)\OLsetminus\left\{ b\right\}}$ в качестве
+$M$ и ${M_{1}\OLsetminus\left\{ b\right\}}$ в качестве $M_{1}$,
+${M_{1}\OLsetminus\left\{ b\right\}=
+ \left(N\OLcup\left\{ a\right\}\right)\OLsetminus\left\{ b\right\}}$.
+Следовательно (ввиду того, что ${b\in M_{1}}$ и
+${b\in N\OLcup\left\{ a\right\}}$)‚ ${M_{1}=N\OLcup\left\{ a\right\}}$.
 \end{SCEnvWLabel}
 
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример 2.}{exmpl:p7-2}{2}
+В математических формулах скобки вводятся попарно, чтобы показать, каким образом
+формула составляется из связанных между собой частей. В более сложных случаях
+употребляют скобки разных родов, например, $(\quad)$, $\{\quad\}$, $[\quad]$, а
+очень сложных случаев удаётся избежать при помощи различных сокращений. Однако
+принципиально остаётся вопрос, можно ли, пользуясь только одним родом скобок,
+однозначно установить распадение формулы на части. (Этот вопрос допускает
+эквивалентную геометрическую формулировку, связанную с погружением интервалов.)
+
+Чтобы уточнить этот вопрос, допустим, что у нас имеется $2n$ скобок, из них $n$
+левых скобок <<$($>> и $n$ правых скобок <<$)$>> и что они расположены в
+линейном порядке слева направо. Именно таким образом они могут встретиться в
+математической формуле, причём между ними будут как-то расположены другие
+символы этой формулы, которыми мы сейчас не интересуемся.
+
+Мы будем говорить, что две пары скобок \emph{разделяют друг друга}, если они
+встречаются в порядке ${(_{i}\;(_{j}\,)_{i}\;)_{j}}$, где индексы $i$ служат для
+указания одной пары, а индексы $j$ --- для указания другой, и другие скобки
+также могут встретиться в каком-нибудь расположении относительно этих четырёх
+указанных.
+
+Мы будем называть \isom -соответствие между $n$ левыми скобками и $n$ правыми
+скобками (короче, \emph{спаривание} этих $2n$ скобок) \emph{собственным}, если
+каждой левой скобке ставится в соответствие (спаривается с ней) некоторая правая
+скобка, расположенная правее её, и если никакие две пары спаренных скобок не
+разделяют друг друга.
+
+Почти очевидно, что если $2n$ скобок спарены собственным образом, то после
+удаления любой из этих пар остающиеся скобки спарены собственным образом. Кроме
+того, скобки, заключённые между обеими скобками некоторой пары спаренных скобок
+из собственного спаривания $2n$ скобок, спарены собственным образом.
+\end{SCEnvWLabel}
+
+Следующие три леммы содержат ответ на поставленный вопрос и некоторые
+относящиеся к нему сведения.
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Лемма 1.}{lemma:1}{1}
+\emph{При всяком собственном спаривании} $2n$ \emph{скобок} (${n>0}$) 
+\emph{имеется по крайней мере одна самая внутренняя пара}, \emph{т}. \emph{е}.
+\emph{пара скобок}, \emph{между которыми нет никаких других скобок}.
+\end{SCEnvWLabel}
+
+Это доказывается возвратной индукцией по $n$. Можно по желанию рассматривать $n$
+как целое положительное или как натуральное число. В последнем случае базис
+\emph{выполняется тривиально}, т. е. является истинным предложением в силу того,
+что условие не выполнено. (\textsc{Указание.} При индукционном шаге самая левая
+скобка будет некоторой левой скобкой $(_{i}$, которая вместе со второй скобкой
+своей пары $)_{i}$ или образует самую внутреннюю пару, или окружает некоторое
+множество скобок, к которым можно применить индуктивное предположение.)
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Лемма 2.}{lemma:2}{2}
+\emph{Всякое множество из} $2n$ \emph{скобок допускает не более одного
+собственного спаривания}.
+\end{SCEnvWLabel}
+
+Это доказывается (простой) индукцией по $n$. (\textsc{Указание.} В индукционном
+шаге в силу леммы~\ref{lemma:1} среди данных скобок имеется самая внутренняя
+пара. Если её удалить‚ то к множеству оставшихся скобок будет применимо
+индуктивное предположение.)
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Лемма 3.}{lemma:3}{3}
+\emph{Если множество из} $2n$ \emph{скобок и подмножество последовательных} $2m$
+\emph{скобок из их числа оба допускают собственные спаривания}, \emph{то
+собственное спаривание этого подмножества образует часть собственного спаривания
+всего множества}, \emph{т}. \emph{е}. \emph{каждая скобка подмножества спарена с
+одной и той же скобкой в обоих спариваниях}.
+\end{SCEnvWLabel}
+
+Это доказывается индукцией по $m$.
+
+Например, рассмотрим 22 скобки:
+\begin{equation*}
+\big(\vphantom{a}^{1}_{7}\;\:
+ \big(\vphantom{a}^{2}_{6}\;\:
+  \big(\vphantom{a}^{3}_{4}\;\:
+   \big(\vphantom{a}^{4}_{2}\;\:
+    \big(\vphantom{a}^{5}_{1}\;\:
+    \big)\vphantom{a}^{6}_{1}\;\:
+   \big)\vphantom{a}^{7}_{2}\;\:
+   \big(\vphantom{a}^{8}_{3}\;\:
+   \big)\vphantom{a}^{9}_{3}\;\:
+  \big)\vphantom{a}^{10}_{4}\;\:
+  \big(\vphantom{a}^{11}_{5}\;\:
+  \big)\vphantom{a}^{12}_{5}\;\:
+ \big)\vphantom{a}^{13}_{6}\;\:
+\big)\vphantom{a}^{14}_{7}\;\:
+\big(\vphantom{a}^{15}_{11}\;\:
+ \big(\vphantom{a}^{16}_{10}\;\:
+  \big(\vphantom{a}^{17}_{8}\;\:
+  \big)\vphantom{a}^{18}_{8}\;\:
+  \big(\vphantom{a}^{19}_{9}\;\:
+  \big)\vphantom{a}^{20}_{9}\;\:
+ \big)\vphantom{a}^{21}_{10}\;\:
+\big)\vphantom{a}^{22}_{11}\;\:
+\end{equation*}
+
+Собственное спаривание, указанное нижними индексами, обнаруживается посредством
+следующего ,,алгоритма`` (подсказанного доказательством леммы~\ref{lemma:2}) на
+каждой стадии, двигаясь слева, находим первую самую внутреннюю пару среди ещё не
+использованных и присоединяем эту пару к спариванию. По лемме~\ref{lemma:2}
+никакого другого собственного спаривания найти невозможно. Скобки с третьей по
+двенадцатую образуют подмножество последовательных скобок, собственное
+спаривание которых уже получено в процессе спаривания всего множества. По
+лемме~\ref{lemma:3}, не существует никакого подмножества последовательных
+скобок, допускающего собственное спаривание, отличное от каждого из тех, которые
+уже введены при собственном спаривании всего множества.
 
 \section{Системы объектов}
 \label{sec:system_of_objects}
 
+Под системой $S$ объектов мы будем иметь в виду (непустое) множество класс, или
+область $D$ (или, может быть‚ несколько таких множеств) объектов‚ между которыми
+установлены некоторые соотношения.
+
+Например, натуральный ряд (\textsection~\ref{sec:the_natural_numbers}) образует
+систему типа ${(D,0,')}$‚ где $D$~---~множество, $0$~---~элемент множества $D$,
+а $'$~---~унарная операция над элементами множества $D$. Другой простой тип
+системы --- это ${(D,<)}$‚ где $D$~---~множество,  а $<$~---~бинарное отношение
+между элементами этого множества.
+
 stub
 
 \section{Арифметика и анализ}