|
|
@@ -3268,7 +3268,7 @@ ${a\text{\textsf{\#}}b}$~влечёт~${a\neq b}$. Но имеются пары
|
|
|
геометрия. (Клейн~(1871) достиг той же цели другим методом, пользуясь плоской
|
|
|
проективной геометрией с метрикой Кэли~(1859), а для этой последней можно
|
|
|
построить модель в эвклидовой плоскости.~(См.~Юнг~\cite{young1911},
|
|
|
-лекции~II~и~III.)
|
|
|
+лекции~II~и~III).)
|
|
|
%%
|
|
|
%% исправлена опечатка в примечании
|
|
|
%% удалена лишняя запятая в обороте "именно, оно даёт возможность наложить"
|
|
|
@@ -3538,7 +3538,8 @@ consistency (согласованность, совместность).~---~\tex
|
|
|
метаматематика многим обязана логицистическим и интуиционистским исследованиям.)
|
|
|
В дальнейших частях этой книги наша цель будет состоять не в вынесении
|
|
|
окончательного решения, утверждающего или отвергающего формалистскую точку
|
|
|
-зрения в какой\nobreakdash-либо принятой версии, а в рассмотрении существа метаматематического метода и в изучении некоторых результатов, которые были
|
|
|
+зрения в какой\nobreakdash-либо принятой версии, а в рассмотрении существа
|
|
|
+метаматематического метода и в изучении некоторых результатов, которые были
|
|
|
открыты на пути следования этому методу.
|
|
|
|
|
|
\section{Формализация теории}
|
|
|
@@ -3546,9 +3547,333 @@ consistency (согласованность, совместность).~---~\tex
|
|
|
|
|
|
Мы собираемся теперь заняться программой, которая превращает саму математическую
|
|
|
теорию в объект точного математического изучения. В математической теории мы
|
|
|
-изучаем систему математических объектов. Как может математическая теория сама
|
|
|
-служить объектом математического изучения?
|
|
|
+изучаем систему математических объектов. Как
|
|
|
+%% ======================= Страница 59 =======================
|
|
|
+может математическая теория сама служить объектом математического изучения?
|
|
|
+
|
|
|
+Результат творчества математиков воплощается в предложениях~---~доказанных
|
|
|
+предложениях или теоремах данной математической теории. Невозможно в точных
|
|
|
+терминах изучить, что происходит в уме математика, но можно рассматривать
|
|
|
+систему этих предложений.
|
|
|
+
|
|
|
+Система этих предложений должна быть высказана полностью. Их нельзя всех
|
|
|
+выписать, но изучающему должны быть известны все условия, определяющие, какие
|
|
|
+предложения имеют место в теории.
|
|
|
+
|
|
|
+Прежде всего, предложения теории следует распределить, принимая во внимание их
|
|
|
+дедуктивные взаимоотношения; те предложения, из которых остальные логически
|
|
|
+выводимы, следует принять за аксиомы (или постулаты).
|
|
|
+
|
|
|
+Этот первый шаг будет выполнен только после того, как посредством аксиом будут
|
|
|
+выражены все свойства неопределяемых или технических терминов, существенные для
|
|
|
+вывода теорем. Тогда можно будет, производя выводы, рассматривать технические
|
|
|
+термины как слова, сами по себе не имеющие смысла. Ибо утверждение, что они
|
|
|
+имеют значения, необходимые для вывода теорем и отличные от тех, которые можно
|
|
|
+вывести из аксиом, регулирующих употребление этих терминов, сводится к
|
|
|
+утверждению, что не все их свойства, существенные для выводов, выражены
|
|
|
+посредством аксиом. После того как таким образом исключены из рассмотрения
|
|
|
+значения технических терминов, мы пришли к точке зрения формальной
|
|
|
+аксиоматики~(\textsection~\ref{sec:8-system_of_objects}).
|
|
|
+
|
|
|
+Технические термины всё ещё обладают грамматическими свойствами: они являются
|
|
|
+существительными, прилагательными, глаголами и~т.~д. Кроме того, остаются ещё
|
|
|
+обычные, или логические, термины, значения которых используются в выводах.
|
|
|
+Пункт, на котором формальная аксиоматизация должна остановиться, фактически не
|
|
|
+определён, потому что не существует никакой абсолютной основы для различения
|
|
|
+технических и обычных терминов.
|
|
|
+
|
|
|
+Во всяком случае, мы ещё не достигли нашей цели~---~высказать явно все условия,
|
|
|
+определяющие, какие предложения имеют место в теории. В самом деле, мы не
|
|
|
+установили, какими логическими принципами надлежит пользоваться при выводах. Как
|
|
|
+нам теперь хорошо известно, эти принципы различны для различных
|
|
|
+теорий~(\textsection~\ref{sec:13-intuitionism}).
|
|
|
+
|
|
|
+Чтобы выразить их явно, необходим второй шаг, который дополняет предыдущий для
|
|
|
+так называемых технических терминов по отношению к неграмматической стороне их
|
|
|
+значений. Все значения всех слов исключены из рассмотрения, и все условия,
|
|
|
+регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны. Логические
|
|
|
+принципы, прежде входившие неявно через значение обычных терминов, теперь будут
|
|
|
+введены в действие~---~отчасти, может быть, при помощи новых аксиом, но во
|
|
|
+всяком случае, хотя бы частично, посредством правил, позволяющих вывести одну
|
|
|
+фразу из другой или других. Так как мы полностью абстрагировались от содержания
|
|
|
+или сущности, сохранив только форму, то мы будем говорить, что данная теория
|
|
|
+\emph{формализована}. Будучи формализованной, теория по своей структуре является
|
|
|
+уже не системой осмысленных предложений, а системой фраз, рассматриваемых как
|
|
|
+последовательность слов, которые, в свою очередь, являются последовательностями
|
|
|
+букв. Только по форме будем мы судить о том, какие сочетания слов являются
|
|
|
+фразами, какие фразы~---~аксиомами и когда фразы вытекают в качестве
|
|
|
+непосредственных следствий из других.
|
|
|
+
|
|
|
+Возможна ли такая формализация? В какой мере может быть формализована данная
|
|
|
+теория, это мы узнаем только после попытки формализации и изучения
|
|
|
+результатов~(например,~\textsection\textsection~%
|
|
|
+\ref{sec:29-completness_normal_form},~\ref{sec:42-goedel_s_theorem},~%
|
|
|
+\ref{sec:60-church_s_theorem_the_generalized_goedel_s_theorem},~%
|
|
|
+\ref{sec:72-goedel_s_completeness_theorem}).
|
|
|
+
|
|
|
+То, что для математических теорий формализация возможна, во всяком случае, в
|
|
|
+весьма значительной мере,~---~это открытие, полученное в итоге длительного
|
|
|
+периода истории развития человеческого интеллекта.
|
|
|
+
|
|
|
+%% ======================= Страница 60 =======================
|
|
|
+
|
|
|
+Открытие аксиоматико\nobreakdash-дедуктивного метода в математике, по
|
|
|
+древнегреческой традиции, приписывается Пифагору~(шестое столетие до~н.~э.); оно
|
|
|
+дошло до нас благодаря Эвклиду~(365?--275?~гг. до~н.~э.), <<Начала>> которого,
|
|
|
+говорят, были некогда самой распространённой книгой после Библии. Эвклид не
|
|
|
+сумел явно выразить все постулаты, которые требуются для вывода теорем. В новое
|
|
|
+время были обнаружены другие постулаты, например те, которые регулируют порядок
|
|
|
+точек на прямой~(Паш~\cite{pasch1882}).
|
|
|
+
|
|
|
+Открытие формального рассмотрения логики, т.~е. открытие того, что дедуктивные
|
|
|
+рассуждения можно описывать через форму их фраз, принадлежит, повидимому,
|
|
|
+Аристотелю~(384--322~гг. до~н.~э.). И здесь новое время внесло
|
|
|
+усовершенствования.
|
|
|
+
|
|
|
+При формализации математических теорий мы пользуемся обоими открытиями. Для
|
|
|
+строгого выполнения этой задачи практически необходимо заново построить
|
|
|
+рассматриваемую теорию в особом символическом языке, т.~е.
|
|
|
+\emph{символизировать} её. Вместо того, чтобы описанные выше шаги выполнять над
|
|
|
+теорией в том виде, как она дана нам в некотором обычном разговорном языке,
|
|
|
+например греческом или русском, мы построим новый символический язык специально
|
|
|
+с целью выразить в нём эту теорию. Обычные разговорные языки слишком
|
|
|
+обременительны, слишком нерегулярны по своему построению и слишком расплывчаты,
|
|
|
+чтобы мы могли им следовать. (В символическом языке символы будут обычно
|
|
|
+соответствовать целым словам, а не буквам, а последовательности символов,
|
|
|
+соответствующие фразам, будут называться <<формулами>>.)
|
|
|
+
|
|
|
+Этот новый язык будет носить тот общий характер символизма, с которым мы
|
|
|
+встречаемся в математике. В алгебре мы производим выводы как формальные
|
|
|
+манипуляции с уравнениями, которые чрезвычайно утомительно было бы производить в
|
|
|
+обычном языке, как это делалось до того, как Виет~(1591) и другие изобрели
|
|
|
+современные алгебраические обозначения. Открытие простых символических
|
|
|
+обозначений, которые сами приводят к манипуляциям по формальным правилам,
|
|
|
+явилось одним из путей, на которых развивалась мощь современной математики.
|
|
|
+Однако в обычной математической практике мы имеем дело только с частичной
|
|
|
+символизацией и формализацией, так как часть предложений остаётся выраженной
|
|
|
+словами и часть выводов производится в терминах значений слов, а не по
|
|
|
+формальным правилам.
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлена опечатка
|
|
|
+%% в оригинале "Виета"
|
|
|
+%%
|
|
|
|
|
|
+После того как Лейбниц~\cite{leibniz1666} пришёл к мысли об ,,универсальной
|
|
|
+характеристике``, в трудах де~Моргана~\cite{morgan1847,morgan1864},
|
|
|
+Буля~\cite{boole1847,boole1854}, Пирса~\cite{peirce1867,peirce1880},
|
|
|
+Шрёдера~\cite{schroeder1877,schroeder1890-1905} и других для формальной логики
|
|
|
+также был получен символический способ обращения с помощью математической
|
|
|
+техники.
|
|
|
+
|
|
|
+Эти совпадающие по духу исследования в конечном счёте привели к строгим
|
|
|
+формализациям различных разделов математики~---~Фреге\cite{frege1893,frege1903},
|
|
|
+Пеано~\cite{peano1894-1908} и
|
|
|
+Уайтхед и Рассел~\cite{whitehead_and_russell1910-1913}. (Описанный метод явного
|
|
|
+изложения теории часто называется \emph{логистическим} методом.)
|
|
|
+
|
|
|
+Гильберту принадлежит, во\nobreakdash-первых, подчёркивание того, что строгая
|
|
|
+формализация теории предполагает полную абстракцию от смысла~---~результат такой
|
|
|
+формализации называется \emph{формальной системой}, или
|
|
|
+\emph{формализмом}\footnote{Не путать с формализмом как направлением в философии
|
|
|
+математики.~---~\textit{Прим.~ред.}} (или иногда \emph{формальной теорией}, или
|
|
|
+\emph{формальной математикой}); во\nobreakdash-вторых, ему принадлежит метод,
|
|
|
+делающий формальную систему в целом предметом изучения математической
|
|
|
+дисциплины, называемой \emph{метаматематикой} или \emph{теорией доказательств}.
|
|
|
+
|
|
|
+Метаматематика содержит в себе описание или определение формальных систем, а
|
|
|
+также исследование свойств формальных систем. При рассмотрении конкретной
|
|
|
+формальной системы мы будем называть эту систему \emph{предметной теорией}, а
|
|
|
+относящуюся к ней метаматематику~---~её \emph{метатеорией}.
|
|
|
+
|
|
|
+%% ======================= Страница 61 =======================
|
|
|
+
|
|
|
+С точки зрения метатеории, предметная теория является вовсе не теорией в прежнем
|
|
|
+смысле этого слова, а системой бессодержательных предметов, аналогичных позициям
|
|
|
+в шахматной игре, над которыми проделываются механические манипуляции,
|
|
|
+аналогичные шахматным ходам. Предметная теория описывается и изучается как
|
|
|
+система символов и предметов, построенных из символов. Символы рассматриваются
|
|
|
+просто как типы распознаваемых объектов\footnote{Т.~е. таких объектов, любые два
|
|
|
+из которых могут быть распознаны либо как одинаковые, либо как
|
|
|
+различные.~---~\textit{Прим.~ред.}}. Для определённости мы можем представлять
|
|
|
+себе их конкретно как знаки на бумаге, или, точнее, как абстракции от нашего
|
|
|
+обращения со знаками на бумаге. (Теория доказательств должна быть в известной
|
|
|
+мере абстрактна, потому что она предполагает выполнимыми построения произвольно
|
|
|
+длинных последовательностей символов, хотя количество бумаги и чернил во всем
|
|
|
+мире ограничено.) Остальные предметы системы рассматриваются только в связи со
|
|
|
+способом их построения из символов\footnote{См.~об этом у
|
|
|
+{\renewcommand*{\multicitedelim}{~или~}%
|
|
|
+А.~А.~Маркова~%
|
|
|
+\brackettext{\cites*[с~(пп.~5--15)]{markov1951}[(гл.~I)]{markov1954}}}.%
|
|
|
+~---~\textit{Прим.~ред.}}. По определению, этим
|
|
|
+исчерпывается роль формальной системы как предмета изучения метаматематики.
|
|
|
+
|
|
|
+Метатеория принадлежит интуитивной, неформальной математике (если только
|
|
|
+метатеория не формализуется, в свою очередь, в некоторой метаметатеории, чего мы
|
|
|
+здесь рассматривать не будем). Метатеория будет выражаться на обычном языке с
|
|
|
+математическими символами, например метаматематическими переменными, вводимыми
|
|
|
+по мере надобности. Утверждения метатеории должны быть понимаемы. Её выводы
|
|
|
+должны убеждать. Они должны состоять в интуитивных умозаключениях‚ а не в
|
|
|
+применении установленных правил, как выводы в формальной теории. Чтобы
|
|
|
+формализовать предметную теорию, были установлены правила, но теперь без всяких
|
|
|
+правил мы должны понимать, как эти правила действуют. Интуитивная математика
|
|
|
+необходима даже для определения формальной.
|
|
|
+
|
|
|
+(Мы будем понимать это в том смысле, что для обоснования метаматематического
|
|
|
+умозаключения приходится обращаться в конечном счёте к смыслу и очевидности, а
|
|
|
+не к какому\nobreakdash-либо множеству условно принятых правил. На практике это
|
|
|
+не помешает нам систематизировать наши метаматематические результаты как теоремы
|
|
|
+или правила, которые можно будет затем применять квазиформально для сокращения
|
|
|
+содержательных рассуждений. Это~---~обычный процесс в содержательной математике.
|
|
|
+Иногда мы будем ссылаться даже на формально установленные принципы
|
|
|
+(интуиционистской) логики, причём формальные выводы этих принципов будут
|
|
|
+указывать метод, посредством которого рассуждение может быть проведено
|
|
|
+содержательно.)
|
|
|
+
|
|
|
+В метатеории мы будем применять только те методы, которые формалисты
|
|
|
+называют \emph{финитными}~(finitary) и которые используют только интуитивно
|
|
|
+представляемые предметы и осуществимые процессы. (Мы переводим немецкое
|
|
|
+<<finit>> словом <<финитный>>\footnote{В
|
|
|
+подлиннике~---~<<finitary>>.~---~\textit{Прим.~ред.}}; русское
|
|
|
+<<конечный>>\footnote{В
|
|
|
+подлиннике~---~английское <<finite>>.~---~\textit{Прим.~ред.}} соответствует
|
|
|
+немецкому <<endlich>>.) Мы никогда не будем рассматривать бесконечный класс как
|
|
|
+завершённое целое. Каждое доказательство существования будет давать, хотя бы
|
|
|
+неявно, метод для построения предмета, существование которого
|
|
|
+доказывается~(ср.~\textsection~\ref{sec:13-intuitionism})\footnote{
|
|
|
+\itemlabel{footnote:p15-1}{предыдущее подстрочное примечание} Такая точка
|
|
|
+зрения не является единственно возможной. Метаматематику (теорию доказательств)
|
|
|
+можно рассматривать и как содержательную математическую дисциплину (подобную,
|
|
|
+например, алгебре или топологии), на методы которой не налагается никаких
|
|
|
+специфических ограничений (см.~по этому поводу~\ref{par:p15-starred}).~%
|
|
|
+---~\textit{Прим.~ред.}}.
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% в сноске исправлена некорректная ссылка (зависящая от представления)
|
|
|
+%% в оригинале вместо
|
|
|
+%% "см.~по этому поводу~\ref{par:p15-starred}"
|
|
|
+%% было
|
|
|
+%% "см. по этому поводу четвёртый абзац следующей страницы"
|
|
|
+%%
|
|
|
|
|
|
+Это ограничение требуется для той цели, с которой Гильберт ввёл метаматематику.
|
|
|
+Предложения данной математической теории могут не иметь ясного смысла, а её
|
|
|
+умозаключения могут не иметь в себе несомненной очевидности.
|
|
|
+%% ======================= Страница 62 =======================
|
|
|
+Формализация сводит развитие теории к форме и правилу. Она устраняет всякую
|
|
|
+неопределённость в отношении того, чт{\'o} такое предложение теории или чт{\'o}
|
|
|
+такое доказательство в ней. И вопрос о том, не приводят ли к противоречию те
|
|
|
+методы, которые были формализованы, а также другие вопросы о действии этих
|
|
|
+методов должны изучаться в метатеории посредством методов, не подверженных тем
|
|
|
+же сомнениям, что и методы первоначальной теории.
|
|
|
+
|
|
|
+Финитные методы имеют ту же природу, что и методы интуиционистской элементарной
|
|
|
+арифметики. Некоторые формалисты пытаются ограничить их ещё
|
|
|
+{\'y}же~(Гильберт и Бернайс~\cite[стр.~43]{hilbert_and_bernays1934} и
|
|
|
+Бернайс~\cite{bernays1935,bernays1938}).
|
|
|
+
|
|
|
+Рассмотрение последнего обстоятельства мы отложим
|
|
|
+до~\textsection~\ref{sec:81-reduction_of_classical_to_intuitionistic_systems}.
|
|
|
+Чтобы защитить классическую математику от интуиционистов‚ нет надобности
|
|
|
+стремиться пользоваться меньшим, чем они разрешают. Но естественно
|
|
|
+придерживаться строго элементарных методов до тех пор, пока они достаточны. Все
|
|
|
+приведённые в~\textsection~\ref{sec:13-intuitionism} примеры интуиционистских
|
|
|
+арифметических рассуждений мы будем считать финитными. Мы увидим, что вплоть до
|
|
|
+одной отдалённой стадии наших метаматематических исследований будет достаточно
|
|
|
+интуиционистских методов совсем элементарного рода. Окончательным критерием
|
|
|
+допустимости некоторого метода в метаматематике должна быть, конечно, его
|
|
|
+интуитивная убедительность.
|
|
|
+
|
|
|
+(*)\itemlabel{par:p15-starred}{абзац, помеченный звездочкой~(*)} (Некоторые
|
|
|
+авторы пользуются приставкой <<мета>> для обозначения языка или теории‚ в
|
|
|
+которой другой язык или теория делаются предметом изучения, не ограниченного
|
|
|
+финитными методами. В этой связи в противовес
|
|
|
+<<предметному языку>>~(<<object language>>) употребляется также
|
|
|
+термин <<синтаксис>>~(<<syntax language>>).~Ср.~Карнап~\cite{carnap1934};
|
|
|
+ср.~также~\textsection~\ref{sec:37-set-theoretic_predicate_logic_k_transforms}.
|
|
|
+В этой книге мы пользуемся приставкой <<мета>> только тогда, когда методы
|
|
|
+финитны.)
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлена опечатка
|
|
|
+%% в оригинале было
|
|
|
+%% "употребляется также термин <<синтаксис <<syntax language>>)."
|
|
|
+%%
|
|
|
|
|
|
-stub
|
|
|
+Формальные системы, изучаемые в метаматематике, выбираются (обычно) так, что они
|
|
|
+служат моделями для частей содержательной математики и логики, с которыми мы уже
|
|
|
+более или менее знакомы, и получаются из этих частей путём формализации.
|
|
|
+Значения, которые связываются с символами, формулами и другими объектами данной
|
|
|
+формальной системы при рассмотрении её как формализации содержательной теории,
|
|
|
+мы будем называть (\emph{подразумеваемой}) \emph{интерпретацией} этой системы
|
|
|
+(или её символов, формул и~т.~п.). Другими словами, интерпретации символов,
|
|
|
+формул и~т.~п.~---~это предметы, предложения и~т.~п. содержательной теории,
|
|
|
+сопоставленные с ними посредством того метода, в силу которого система образует
|
|
|
+модель содержательной теории.
|
|
|
+
|
|
|
+В случае формулы, представляющей идеальное предложение классической
|
|
|
+математики~(\textsection~\ref{sec:14-formalism}), интерпретация не может быть
|
|
|
+совершенно интуитивной (или финитной), а должна состоять в чем\nobreakdash-либо
|
|
|
+таком, что классически настроенный математик мыслит в терминах неформального
|
|
|
+(или не строго формализованного) построения классической математики, т.~е.
|
|
|
+построения, возникшего исторически и общепринятого всюду, где процесс не
|
|
|
+формализуется сознательно в строгом смысле теории доказательств.
|
|
|
+
|
|
|
+Интерпретация побуждает метаматематика выбрать ту или иную формальную систему,
|
|
|
+которая вводится посредством определений. Она руководит им при выборе
|
|
|
+относящихся к этой системе проблем, которыми он будет заниматься. Она может даже
|
|
|
+доставить ему ключи, существенные для решения этих проблем. Только в
|
|
|
+окончательных формулировках и доказательствах он (как метаматематик) должен
|
|
|
+отказаться от пользования интерпретацией.
|
|
|
+
|
|
|
+Насколько стеснительно это ограничение? Метаматематика должна изучать формальную
|
|
|
+систему как систему символов и~т.~п., которые рассматриваются совершенно
|
|
|
+объективно. Это означает попросту, что символы и~т.~п. сами по себе являются
|
|
|
+окончательными предметами и не должны использоваться для обозначения
|
|
|
+чего\nobreakdash-либо отличного от них самих. Метаматематик смотрит на них, а не
|
|
|
+через них и не на то, что за ними; таким образом, они являются предметами без
|
|
|
+интерпретации или значения.
|
|
|
+
|
|
|
+%% ======================= Страница 63 =======================
|
|
|
+
|
|
|
+Изучая эти предметы, метаматематика должна пользоваться своими собственными
|
|
|
+методами и орудиями. Последние можно выбирать как угодно, лишь бы они были
|
|
|
+финитны. Например, метаматематика может финитным способом употреблять
|
|
|
+натуральные числа. Если речь идёт о формулах, допускающих (за пределами
|
|
|
+метаматематики) финитную интерпретацию, то можно внутри метаматематики
|
|
|
+определить свойства таких формальных объектов, которые (с точки зрения, внешней
|
|
|
+по отношению к метаматематике) эквивалентны интерпретациям этих формул. Таким
|
|
|
+образом, финитные интерпретации можно протащить через чёрный ход. Но
|
|
|
+метаматематика никоим образом не может иметь дело с нефинитными интерпретациями
|
|
|
+идеальных предложений классической математики.%
|
|
|
+\footnote{См.~\ref{footnote:p15-1}.~---~\textit{Прим.~ред.}}
|
|
|
+
|
|
|
+Чтобы в дальнейшем всюду было ясно, почему мы интересуемся формальными
|
|
|
+системами, которые мы рассматриваем, и каким образом они представляют собой
|
|
|
+формализации тех разделов логики и математики, с которыми содержательно мы уже
|
|
|
+знакомы, мы в этой книге будем указывать возможные интерпретации и пользоваться
|
|
|
+естественной терминологией, например, выражением <<доказательство>> для
|
|
|
+формальных выводов и <<и>> как названием символа~$\OLand$. Это необходимо для
|
|
|
+полного достижения нашей цели, хотя интерпретация сама по себе чужда
|
|
|
+метаматематике.
|
|
|
+
|
|
|
+Подведём итоги. Если рассматривать картину полностью, то имеются три отдельные и
|
|
|
+отличные друг от друга <<теории>>:
|
|
|
+(a)\itemlabel{listItem:p4-a}{(a)}~содержательная~(informal) теория,
|
|
|
+формализацией которой служит формальная система,
|
|
|
+(b)\itemlabel{listItem:p4-b}{(b)}~формальная система или предметная теория и
|
|
|
+(c)\itemlabel{listItem:p4-c}{(c)}~метатеория, в которой описывается и изучается
|
|
|
+эта формальная система.
|
|
|
+
|
|
|
+Здесь~\ref{listItem:p4-b}, являющаяся формальной, служит не теорией в обычном
|
|
|
+смысле, а системой символов и предметов, построенных из символов (описанных
|
|
|
+в~\ref{listItem:p4-c}), причём эта система является своего рода условным
|
|
|
+образом, или моделью, для~\ref{listItem:p4-a}. С другой стороны,
|
|
|
+\ref{listItem:p4-a}~и~\ref{listItem:p4-c}, являющиеся содержательными, не имеют
|
|
|
+точно определённой структуры, какую имеет~\ref{listItem:p4-b}.
|
|
|
+
|
|
|
+Далее, \ref{listItem:p4-c}~---~это теория, изучающая~\ref{listItem:p4-b}, и она
|
|
|
+должна применяться к~\ref{listItem:p4-b}, не взирая на~\ref{listItem:p4-a}, или,
|
|
|
+точнее, не взирая на интерпретацию~\ref{listItem:p4-b} в
|
|
|
+терминах~\ref{listItem:p4-a}.
|
|
|
+
|
|
|
+Кроме того, \ref{listItem:p4-c}~ограничена употреблением только финитных
|
|
|
+методов, тогда как для~\ref{listItem:p4-a}, вообще говоря, не имеется такого
|
|
|
+ограничения.
|
