|
|
@@ -51,7 +51,7 @@ $\neg$~(не), $\forall$~(для всех), $\exists$~(существует). \e
|
|
|
предикатов}:~$=$~(равняется). \emph{Символы функций}:~$+$~(плюс),
|
|
|
$\OLmult$~(умножить на), $'$~(следующее за).
|
|
|
\emph{Индивидуальные символы}:~$0$~(нуль).
|
|
|
-\emph{Переменные}:~${\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\ldots}$.
|
|
|
+\emph{Переменные}:~${\frml{a},\frml{b},\frml{c},\ldots}$.
|
|
|
\emph{Скобки}:~${(,)}$.
|
|
|
|
|
|
Слова, указанные в скобках, могут применяться при чтении этих символов и
|
|
|
@@ -84,17 +84,16 @@ $\OLmult$~(умножить на), $'$~(следующее за).
|
|
|
выражения, состоящие из единственного (вхождения) формального символа. Если не
|
|
|
оговорено противное, пустая последовательность (не имеющая членов) не будет
|
|
|
рассматриваться как формальное выражение. Например,
|
|
|
-$0$,~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$‚ ${(\mathit{a})=(0)}$
|
|
|
-и~${((0\forall 00=}$~являются формальными выражениями. Последнее из них состоит
|
|
|
-из семи (вхождений) символов, т.~е. имеет семь членов; третье, пятое и шестое
|
|
|
-вхождения символов в это формальное выражение являются каждое вхождением~$0$;
|
|
|
-различные входящие в него символы~---~это~$($,~$0$,~$\forall$‚~$=$. Формальные
|
|
|
-выражения структурно аналогичны словам языка, но при интерпретации некоторые из
|
|
|
-них соответствуют целым предложениям, например~${(\mathit{a})=(0)}$‚ а другие не
|
|
|
-имеют смысла, например~${((0\forall 00=}$. Здесь снова наша терминология
|
|
|
-указывает на то обстоятельство, что для формальной системы как таковой выражения
|
|
|
-ничего не выражают, а являются только некоторыми распознаваемыми и различимыми
|
|
|
-объектами.
|
|
|
+$0$,~${(\frml{a})+(\frml{b})}$‚ ${(\frml{a})=(0)}$ и~${((0\forall 00=}$~являются
|
|
|
+формальными выражениями. Последнее из них состоит из семи (вхождений) символов,
|
|
|
+т.~е. имеет семь членов; третье, пятое и шестое вхождения символов в это
|
|
|
+формальное выражение являются каждое вхождением~$0$; различные входящие в него
|
|
|
+символы~---~это~$($,~$0$,~$\forall$‚~$=$. Формальные выражения структурно
|
|
|
+аналогичны словам языка, но при интерпретации некоторые из них соответствуют
|
|
|
+целым предложениям, например~${(\frml{a})=(0)}$‚ а другие не имеют смысла,
|
|
|
+например~${((0\forall 00=}$. Здесь снова наша терминология указывает на то
|
|
|
+обстоятельство, что для формальной системы как таковой выражения ничего не
|
|
|
+выражают, а являются только некоторыми распознаваемыми и различимыми объектами.
|
|
|
%%
|
|
|
%% исправлена опечатка в оригинале было
|
|
|
%% "третье, пятое и шестое вхождение символов"
|
|
|
@@ -106,9 +105,9 @@ $0$,~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$‚ ${(\mathit{a})=(0)}$
|
|
|
В рассуждениях о формальных объектах мы часто будем не выписывать их, а
|
|
|
представлять (т.~е. обозначать) вводимыми для этой цели буквами или же
|
|
|
выражениями, содержащими уже введённые таким образом буквы. Например,
|
|
|
-буква~<<$\mathrm{s}$>> может представлять формальное
|
|
|
-выражение~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$‚ а
|
|
|
-буква~<<$\mathrm{A}$>>~---~представлять~${(\mathit{a})=(0)}$. Читатель очень
|
|
|
+буква~<<$\infr{s}$>> может представлять формальное
|
|
|
+выражение~${(\frml{a})+(\frml{b})}$‚ а
|
|
|
+буква~<<$\infr{A}$>>~---~представлять~${(\frml{a})=(0)}$. Читатель очень
|
|
|
скоро встретит и другие примеры.
|
|
|
|
|
|
Употребляемые таким образом буквы и выражения являются не формальными символами
|
|
|
@@ -120,8 +119,8 @@ $0$,~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$‚ ${(\mathit{a})=(0)}$
|
|
|
символизмами двух родов~---~формальным символизмом, о котором мы говорим, и
|
|
|
интуитивным или метаматематическим символизмом, которым мы говорим о другом
|
|
|
символизме. Для каждого из этих символизмов мы будем пользоваться различными
|
|
|
-шрифтами~(${\mathit{a},\mathit{b},\mathit{t},\mathit{x},\mathcal{A},\mathcal{B}}$
|
|
|
-и~${\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{t},\mathrm{x},\mathrm{A},\mathrm{B}}$), что
|
|
|
+шрифтами~(${\frml{a},\frml{b},\frml{t},\frml{x},\frml{A},\frml{B}}$
|
|
|
+и~${\infr{a},\infr{b},\infr{t},\infr{x},\infr{A},\infr{B}}$), что
|
|
|
поможет нам непосредственно выражать это обстоятельство.
|
|
|
|
|
|
Использование символов и выражений в качестве названий предметов, о которых мы
|
|
|
@@ -145,26 +144,26 @@ $0$,~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$‚ ${(\mathit{a})=(0)}$
|
|
|
операцией \emph{соединения} (или \emph{сочленения}), посредством которой две или
|
|
|
более последовательности формальных символов соединяются последовательно,
|
|
|
образуя новую последовательность. Например, сочленение двух формальных выражений
|
|
|
-${((0\forall 00=}$~и~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$ в указанном порядке образует
|
|
|
-новое формальное выражение~${((0\forall 00=(\mathit{a})+(\mathit{b})}$, а
|
|
|
-сочленение семи формальных выражений~$($‚~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$‚~$)$,~%
|
|
|
-$\OLmult$‚~$($‚~${(\mathit{c})'}$‚~$)$ в указанном порядке образует новое
|
|
|
-формальное выражение~${\left((\mathit{a})+(\mathit{b})\right)\OLmult%
|
|
|
- \left((\mathit{c})'\right)}$.
|
|
|
+${((0\forall 00=}$~и~${(\frml{a})+(\frml{b})}$ в указанном порядке образует
|
|
|
+новое формальное выражение~${((0\forall 00=(\frml{a})+(\frml{b})}$, а
|
|
|
+сочленение семи формальных выражений~$($‚~${(\frml{a})+(\frml{b})}$‚~$)$,~%
|
|
|
+$\OLmult$‚~$($‚~${(\frml{c})'}$‚~$)$ в указанном порядке образует новое
|
|
|
+формальное выражение~${\left((\frml{a})+(\frml{b})\right)\OLmult%
|
|
|
+ \left((\frml{c})'\right)}$.
|
|
|
|
|
|
Если некоторые из подлежащих сочленению формальных выражений представлены
|
|
|
метаматематическими буквами или выражениями, то последние могут употребляться в
|
|
|
записи результата сочленения вместо представляемых ими формальных выражений.
|
|
|
-Например, если буква <<$\mathrm{s}$>> представляет некоторое формальное
|
|
|
+Например, если буква <<$\infr{s}$>> представляет некоторое формальное
|
|
|
выражение, то результат сочленения семи формальных
|
|
|
-выражений~$($‚~$\mathrm{s}$‚~$)$,~$\OLmult$‚~$($‚~${(\mathit{c})'}$‚~$)$
|
|
|
-записывается так:~<<${(\mathrm{s})\OLmult\left((\mathit{c})'\right)}$>>. Здесь
|
|
|
-<<${(\mathrm{s})\OLmult\left((\mathit{c})'\right)}$>>~есть метаматематическое
|
|
|
+выражений~$($‚~$\infr{s}$‚~$)$,~$\OLmult$‚~$($‚~${(\frml{c})'}$‚~$)$
|
|
|
+записывается так:~<<${(\infr{s})\OLmult\left((\frml{c})'\right)}$>>. Здесь
|
|
|
+<<${(\infr{s})\OLmult\left((\frml{c})'\right)}$>>~есть метаматематическое
|
|
|
выражение, представляющее формальное выражение, и это формальное выражение
|
|
|
-зависит от того, какое формальное выражение представляет буква~<<$\mathrm{s}$>>.
|
|
|
-В частности, если $\mathrm{s}$~есть~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$, то
|
|
|
-${(\mathrm{s})\OLmult\left((\mathit{c})'\right)}$~есть~%
|
|
|
-${\left((\mathit{a})+(\mathit{b})\right)\OLmult\left((\mathit{c})'\right)}$.
|
|
|
+зависит от того, какое формальное выражение представляет буква~<<$\infr{s}$>>.
|
|
|
+В частности, если $\infr{s}$~есть~${(\frml{a})+(\frml{b})}$, то
|
|
|
+${(\infr{s})\OLmult\left((\frml{c})'\right)}$~есть~%
|
|
|
+${\left((\frml{a})+(\frml{b})\right)\OLmult\left((\frml{c})'\right)}$.
|
|
|
|
|
|
\section{Правила образования}
|
|
|
\label{sec:17-formation_rules}
|
|
|
@@ -175,9 +174,9 @@ ${\left((\mathit{a})+(\mathit{b})\right)\OLmult\left((\mathit{c})'\right)}$.
|
|
|
Сначала определим ,,терм``‚ который аналогичен существительному в грамматике.
|
|
|
Термы рассматриваемой системы все представляют натуральные числа, фиксированные
|
|
|
или переменные. Определение формулируется с помощью метаматематических
|
|
|
-переменных <<$\mathrm{s}$>>~и~<<$\mathrm{t}$>> и описанной выше операции
|
|
|
-сочленения. Оно имеет вид индуктивного определения, что позволяет нам переходить
|
|
|
-от уже известных термов к дальнейшим.
|
|
|
+переменных <<$\infr{s}$>>~и~<<$\infr{t}$>> и описанной выше операции сочленения.
|
|
|
+Оно имеет вид индуктивного определения, что позволяет нам переходить от уже
|
|
|
+известных термов к дальнейшим.
|
|
|
|
|
|
1.\itemlabel{listItem:p17-list1-1}{1}~$0$~есть \emph{терм}.
|
|
|
2.\itemlabel{listItem:p17-list1-2}{2}~Каждая переменная есть \emph{терм}.
|
|
|
@@ -185,82 +184,82 @@ ${\left((\mathit{a})+(\mathit{b})\right)\OLmult\left((\mathit{c})'\right)}$.
|
|
|
\itemlabel{listItem:p17-list1-3}{3}%
|
|
|
\itemlabel{listItem:p17-list1-4}{4}%
|
|
|
\itemlabel{listItem:p17-list1-5}{5}~Если
|
|
|
-$\mathrm{s}$~и~$\mathrm{t}$~---~\emph{термы}, то
|
|
|
-${(\mathrm{s})+(\mathrm{t})}$‚ ${(\mathrm{s})\OLmult(\mathrm{t})}$ и
|
|
|
-${(\mathrm{s})'}$~---~\emph{термы}.
|
|
|
+$\infr{s}$~и~$\infr{t}$~---~\emph{термы}, то
|
|
|
+${(\infr{s})+(\infr{t})}$‚ ${(\infr{s})\OLmult(\infr{t})}$ и
|
|
|
+${(\infr{s})'}$~---~\emph{термы}.
|
|
|
6.\itemlabel{listItem:p17-list1-6}{6}~ Никаких других \emph{термов}, кроме
|
|
|
определённых согласно~\ref{listItem:p17-list1-1}--\ref{listItem:p17-list1-5},
|
|
|
нет.
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex1.}{exmpl:p17-1}{exmpl:p17-1}
|
|
|
В силу \ref{listItem:p17-list1-1}~и~\ref{listItem:p17-list1-2}, термами
|
|
|
-являются~$0$, $\mathit{a}$, $\mathit{b}$ и~$\mathit{c}$. Поэтому, в
|
|
|
-силу~\ref{listItem:p17-list1-5}, ${(0)'}$~и~${(\mathit{c})'}$ являются термами.
|
|
|
+являются~$0$, $\frml{a}$, $\frml{b}$ и~$\frml{c}$. Поэтому, в
|
|
|
+силу~\ref{listItem:p17-list1-5}, ${(0)'}$~и~${(\frml{c})'}$ являются термами.
|
|
|
Снова в силу~\ref{listItem:p17-list1-5}, ${\left((0)'\right)'}$~есть~терм, а в
|
|
|
силу~\ref{listItem:p17-list1-3},
|
|
|
-${\left((\textit{c})'\right)+(\mathit{a})}$~есть терм.
|
|
|
+${\left((\frml{c})'\right)+(\frml{a})}$~есть терм.
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
Теперь дадим определение ,,формулы``~---~аналога (повествовательного)
|
|
|
предложения в грамматике.
|
|
|
|
|
|
1.\itemlabel{listItem:p17-list2-1}{1}~Если
|
|
|
-$\mathrm{s}$~и~$\mathrm{t}$~---~термы, то
|
|
|
-${(\mathrm{s})=(\mathrm{t})}$~---~\emph{формула}.
|
|
|
+$\infr{s}$~и~$\infr{t}$~---~термы, то
|
|
|
+${(\infr{s})=(\infr{t})}$~---~\emph{формула}.
|
|
|
2--5.%
|
|
|
\itemlabel{listItem:p17-list2-2}{2}%
|
|
|
\itemlabel{listItem:p17-list2-3}{3}%
|
|
|
\itemlabel{listItem:p17-list2-4}{4}%
|
|
|
\itemlabel{listItem:p17-list2-5}{5}~Если
|
|
|
-$\mathrm{A}$~и~$\mathrm{B}$~---~\emph{формулы}, то
|
|
|
-${(\mathrm{A})\OLimpl(\mathrm{B})}$,
|
|
|
-${(\mathrm{A})\OLand(\mathrm{B})}$,
|
|
|
-${(\mathrm{A})\vee(\mathrm{B})}$ и
|
|
|
-${\neg(\mathrm{A})}$~---~\emph{формулы}.
|
|
|
+$\infr{A}$~и~$\infr{B}$~---~\emph{формулы}, то
|
|
|
+${(\infr{A})\OLimpl(\infr{B})}$,
|
|
|
+${(\infr{A})\OLand(\infr{B})}$,
|
|
|
+${(\infr{A})\vee(\infr{B})}$ и
|
|
|
+${\neg(\infr{A})}$~---~\emph{формулы}.
|
|
|
6--7.%
|
|
|
\itemlabel{listItem:p17-list2-6}{6}%
|
|
|
-\itemlabel{listItem:p17-list2-7}{7}~Если $\mathrm{x}$~---~переменная, а
|
|
|
-$\mathrm{A}$~---~\emph{формула}, то
|
|
|
-${\forall\mathrm{x}(\mathrm{A})}$~и~%
|
|
|
-${\exists\mathrm{x}(\mathrm{A})}$~---~\emph{формулы}.
|
|
|
+\itemlabel{listItem:p17-list2-7}{7}~Если $\infr{x}$~---~переменная, а
|
|
|
+$\infr{A}$~---~\emph{формула}, то
|
|
|
+${\forall\infr{x}(\infr{A})}$~и~%
|
|
|
+${\exists\infr{x}(\infr{A})}$~---~\emph{формулы}.
|
|
|
8.\itemlabel{listItem:p17-list2-8}{8}~Никаких \emph{формул}, кроме определённых
|
|
|
согласно~\ref{listItem:p17-list2-1}--\ref{listItem:p17-list2-7}, нет.
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex2.}{exmpl:p17-2}{exmpl:p17-2}
|
|
|
Используя~\ref{listItem:p17-list2-1} и уже полученные примеры термов, убеждаемся
|
|
|
-в том, что ${(\mathit{a})=(\mathit{b})}$ и~%
|
|
|
-${\left(\left(\left(\mathit{c}\right)'\right)+\left(\mathit{a}\right)\right)=%
|
|
|
- \left(\mathit{b}\right)}$~---~формулы. Поэтому, в
|
|
|
+в том, что ${(\frml{a})=(\frml{b})}$ и~%
|
|
|
+${\left(\left(\left(\frml{c}\right)'\right)+\left(\frml{a}\right)\right)=%
|
|
|
+ \left(\frml{b}\right)}$~---~формулы. Поэтому, в
|
|
|
силу~\ref{listItem:p17-list2-5}~и~\ref{listItem:p17-list2-7},
|
|
|
-${\neg\left(\left(\mathit{a}\right)=\left(\mathit{b}\right)\right)}$ и %
|
|
|
-${\exists\mathit{c}%
|
|
|
+${\neg\left(\left(\frml{a}\right)=\left(\frml{b}\right)\right)}$ и %
|
|
|
+${\exists\frml{c}%
|
|
|
\left(%
|
|
|
\left(%
|
|
|
\left(%
|
|
|
- \left(\mathit{c}\right)'%
|
|
|
+ \left(\frml{c}\right)'%
|
|
|
\right)+%
|
|
|
- \left(\mathit{a}\right)%
|
|
|
+ \left(\frml{a}\right)%
|
|
|
\right)=%
|
|
|
- \left(\mathit{b}\right)%
|
|
|
+ \left(\frml{b}\right)%
|
|
|
\right)}$~---~формулы. Наконец, в силу~\ref{listItem:p17-list2-2}, формулой
|
|
|
является
|
|
|
\begin{equation}\label{eq:p17-A}\tag{A}
|
|
|
\left(
|
|
|
- \exists\mathit{c}
|
|
|
+ \exists\frml{c}
|
|
|
\left(
|
|
|
\left(
|
|
|
\left(
|
|
|
- \left(\mathit{c}\right)'
|
|
|
+ \left(\frml{c}\right)'
|
|
|
\right)+
|
|
|
- \left(\mathit{a}\right)
|
|
|
+ \left(\frml{a}\right)
|
|
|
\right)=
|
|
|
- \left(\mathit{b}\right)
|
|
|
+ \left(\frml{b}\right)
|
|
|
\right)
|
|
|
\right)\OLimpl
|
|
|
\left(
|
|
|
\neg
|
|
|
\left(
|
|
|
- \left(\mathit{a}\right)=\left(\mathit{b}\right)
|
|
|
+ \left(\frml{a}\right)=\left(\frml{b}\right)
|
|
|
\right)
|
|
|
\right)\text{.}
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
@@ -279,17 +278,17 @@ ${\exists\mathit{c}%
|
|
|
полученных выражения. Заключаем данное выражение или каждое из данных выражений
|
|
|
в скобки и вводим выражение одного из следующих десяти видов:
|
|
|
\begin{equation}\label{eq:p17-B}\tag{B}
|
|
|
-\OLimpl,\;\;\;\OLand,\;\;\;\vee,\;\;\;\neg,\;\;\;\forall\mathrm{x},\;\;\;%
|
|
|
-\exists\mathrm{x},\;\;\;=,\;\;\;+,\;\;\;\OLmult,\;\;\;'\text{,}
|
|
|
+\OLimpl,\;\;\;\OLand,\;\;\;\vee,\;\;\;\neg,\;\;\;\forall\infr{x},\;\;\;%
|
|
|
+\exists\infr{x},\;\;\;=,\;\;\;+,\;\;\;\OLmult,\;\;\;'\text{,}
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
\noindent%
|
|
|
-где $\mathrm{x}$~---~переменная. Выражение каждого из этих десяти видов мы будем
|
|
|
+где $\infr{x}$~---~переменная. Выражение каждого из этих десяти видов мы будем
|
|
|
называть \emph{оператором}. В частности,
|
|
|
$\OLimpl$,~$\OLand$,~$\vee$,~$\neg$~являются \emph{пропозициональными связками},
|
|
|
-а операторы вида ${\forall\mathrm{x}}$~или~${\exists\mathrm{x}}$~суть
|
|
|
-\emph{кванторы}, причём ${\forall\mathrm{x}}$~---~\emph{квантор общности}, а
|
|
|
-${\exists\mathrm{x}}$~---~\emph{квантор существования}; операторы этих шести
|
|
|
+а операторы вида ${\forall\infr{x}}$~или~${\exists\infr{x}}$~суть
|
|
|
+\emph{кванторы}, причём ${\forall\infr{x}}$~---~\emph{квантор общности}, а
|
|
|
+${\exists\infr{x}}$~---~\emph{квантор существования}; операторы этих шести
|
|
|
видов называются \emph{логическими операторами}.
|
|
|
|
|
|
Данное выражение или пара выражений называются \emph{областью действия}
|
|
|
@@ -302,18 +301,18 @@ ${\exists\mathrm{x}}$~---~\emph{квантор существования}; оп
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex3.}{exmpl:p17-3}{exmpl:p17-3}
|
|
|
-В формуле~(\ref{eq:p17-A}) область действия первого вхождения оператора~$=$
|
|
|
+В формуле~\eqref{eq:p17-A} область действия первого вхождения оператора~$=$
|
|
|
состоит из
|
|
|
-части~${\left(\left(\mathit{c}\right)'\right)+\left(\mathit{a}\right)}$ и
|
|
|
-первого вхождения $\mathit{b}$, а область действия ${\exists\mathit{c}}$~есть
|
|
|
+части~${\left(\left(\frml{c}\right)'\right)+\left(\frml{a}\right)}$ и
|
|
|
+первого вхождения $\frml{b}$, а область действия ${\exists\frml{c}}$~есть
|
|
|
часть~${%
|
|
|
\left(
|
|
|
\left(
|
|
|
- \left(\mathit{c}\right)'
|
|
|
+ \left(\frml{c}\right)'
|
|
|
\right)+
|
|
|
- \left(\mathit{a}\right)
|
|
|
+ \left(\frml{a}\right)
|
|
|
\right)=
|
|
|
-\left(\mathit{b}\right)}$.
|
|
|
+\left(\frml{b}\right)}$.
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
Отметим теперь следующий факт, к строгому доказательству которого мы сейчас
|
|
|
@@ -338,7 +337,7 @@ ${\exists\mathrm{x}}$~---~\emph{квантор существования}; оп
|
|
|
из одного выражения}, \emph{эта область действия непосредственно заключается в
|
|
|
парные скобки и оператор ставится вне этой пары скобок вплотную к ней},
|
|
|
\emph{т}.~\emph{е}. \emph{непосредственно слева от левой скобки} (\emph{в
|
|
|
-случае}~$\neg$,~${\forall\mathrm{x}}$,~${\exists\mathrm{x}}$) \emph{или
|
|
|
+случае}~$\neg$,~${\forall\infr{x}}$,~${\exists\infr{x}}$) \emph{или
|
|
|
непосредственно справа от правой скобки} (\emph{в случае}~$'$).
|
|
|
|
|
|
(b)\kern1ex\emph{Для операторов}, \emph{область действия которых состоит из двух
|
|
|
@@ -349,9 +348,9 @@ ${\exists\mathrm{x}}$~---~\emph{квантор существования}; оп
|
|
|
которую заключено правое выражение}.
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
-\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex3~\textup{(окончание)}.}%
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex3\kern1ex\textup{(окончание)}.}%
|
|
|
{exmpl:p17-3-end}{exmpl:p17-3-end}
|
|
|
-Рассмотренный пример формулы~(\ref{eq:p17-A}) содержит 22 скобки. По
|
|
|
+Рассмотренный пример формулы~\eqref{eq:p17-A} содержит 22 скобки. По
|
|
|
лемме~\ref{lemma:p17-4}, эти 22 скобки допускают собственное спаривание,
|
|
|
%% ======================= Страница 71 =======================
|
|
|
которое находится из процесса построения формулы согласно определениям терма и
|
|
|
@@ -363,13 +362,13 @@ ${\exists\mathrm{x}}$~---~\emph{квантор существования}; оп
|
|
|
проделали это в конце~\textsection~\ref{sec:7-mathematical_induction}, где те же
|
|
|
самые 22 скобки рассматривались независимо от стоящих между ними символов.
|
|
|
Пользуясь полученным разбиением на пары для этих 22 скобок, входящих в полную
|
|
|
-формулу~(\ref{eq:p17-A}), можно заметить, что область действия первого
|
|
|
+формулу~\eqref{eq:p17-A}, можно заметить, что область действия первого
|
|
|
вхождения~$=$ состоит из выражения, заключённого между
|
|
|
скобками~${\big(\vphantom{a}^{3}_{4}\;\:\big)\vphantom{a}^{10}_{4}}$, и
|
|
|
выражения, заключённого между
|
|
|
скобками~${\big(\vphantom{a}^{11}_{5}\;\:\big)\vphantom{a}^{12}_{5}}$. Это
|
|
|
согласуется с нашим прежним определением этой области действия. Аналогично,
|
|
|
-область действия~${\exists\mathit{c}}$ заключена между
|
|
|
+область действия~${\exists\frml{c}}$ заключена между
|
|
|
скобками~${\big(\vphantom{a}^{2}_{6}\;\:\big)\vphantom{a}^{13}_{6}}$.
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
@@ -377,10 +376,10 @@ ${\exists\mathrm{x}}$~---~\emph{квантор существования}; оп
|
|
|
она и не требуется для доказательства того, что области действия могут быть
|
|
|
найдены по распределению скобок, полезна при рассуждениях об областях действий в
|
|
|
частях и во всем выражении (терме или формуле). Например, если
|
|
|
-$\mathrm{М}$,~$\mathrm{N}$~и~$\mathrm{A}$~---~формулы и $\mathrm{A}$~входит
|
|
|
-в~${\left(\mathrm{M}\right)\OLimpl\left(\mathrm{N}\right)}$ как (связная) часть,
|
|
|
+$\infr{M}$,~$\infr{N}$~и~$\infr{A}$~---~формулы и $\infr{A}$~входит
|
|
|
+в~${\left(\infr{M}\right)\OLimpl\left(\infr{N}\right)}$ как (связная) часть,
|
|
|
отличная от всей формулы, то можно заключить, что эта часть (или каждая такая
|
|
|
-часть) является частью~$\mathrm{М}$ или частью~$\mathrm{N}$.
|
|
|
+часть) является частью~$\infr{M}$ или частью~$\infr{N}$.
|
|
|
|
|
|
При выборе наших определений терма и формулы мы, конечно, вводили скобки ради
|
|
|
вышеизложенной цели, однозначного определения областей действия. Ясно, однако,
|
|
|
@@ -394,10 +393,10 @@ $\mathrm{М}$,~$\mathrm{N}$~и~$\mathrm{A}$~---~формулы и $\mathrm{A}$~
|
|
|
смысле~${\left(a\OLmult b\right)+c}$. Мы будем говорить в этом случае, что
|
|
|
$+$~имеет \emph{ранг}, более высокий, чем~$\OLmult$‚ и припишем нашим операторам
|
|
|
ранги, понижающиеся в том порядке, в котором мы их перечислили выше
|
|
|
-в~(\ref{eq:p17-B}). Чтобы восстановить любые скобки, опущенные при сокращении
|
|
|
+в~\eqref{eq:p17-B}. Чтобы восстановить любые скобки, опущенные при сокращении
|
|
|
терма или формулы, можно, выбирая последовательно каждый раз из всех
|
|
|
присутствующих операторов тот, который раньше других встречается в
|
|
|
-списке~(\ref{eq:p17-B}), т.~е. оператор наивысшего ранга, придавать ему
|
|
|
+списке~\eqref{eq:p17-B}, т.~е. оператор наивысшего ранга, придавать ему
|
|
|
наибольшую область действия, совместимую с требованием, чтобы всё выражение было
|
|
|
термом или формулой.
|
|
|
%%
|
|
|
@@ -412,31 +411,25 @@ $+$~имеет \emph{ранг}, более высокий, чем~$\OLmult$‚
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex4.}{exmpl:p17-4}{exmpl:p17-4}
|
|
|
Восстановление скобок
|
|
|
-в~<<${\mathrm{A}\OLimpl\mathrm{B}\vee\mathrm{C}\OLand\mathrm{D}}$>> даёт
|
|
|
+в~<<${\infr{A}\OLimpl\infr{B}\vee\infr{C}\OLand\infr{D}}$>> даёт
|
|
|
последовательно~%
|
|
|
-<<${\mathrm{A}\OLimpl
|
|
|
-\left(
|
|
|
- \mathrm{B}\vee\mathrm{C}\OLand\mathrm{D}
|
|
|
-\right)}$>>,
|
|
|
-<<${\mathrm{A}\OLimpl
|
|
|
-\left(
|
|
|
- \left(
|
|
|
- \mathrm{B}\vee\mathrm{C}
|
|
|
- \right)
|
|
|
- \OLand\mathrm{D}
|
|
|
+<<${\infr{A}\OLimpl\left(\infr{B}\vee\infr{C}\OLand\infr{D}\right)}$>>,
|
|
|
+<<${\infr{A}\OLimpl\left(
|
|
|
+ \left(\infr{B}\vee\infr{C}\right)
|
|
|
+ \OLand\infr{D}
|
|
|
\right)}$>>,
|
|
|
-<<${\left(\mathrm{A}\right)\OLimpl
|
|
|
+<<${\left(\infr{A}\right)\OLimpl
|
|
|
\left(
|
|
|
\left(
|
|
|
- \left(\mathrm{B}\right)\vee\left(\mathrm{C}\right)
|
|
|
+ \left(\infr{B}\right)\vee\left(\infr{C}\right)
|
|
|
\right)
|
|
|
- \OLand\left(\mathrm{D}\right)
|
|
|
-\right)}$>>. Рассмотренный пример формулы~(\ref{eq:p17-A}) сокращённо
|
|
|
+ \OLand\left(\infr{D}\right)
|
|
|
+\right)}$>>. Рассмотренный пример формулы~\eqref{eq:p17-A} сокращённо
|
|
|
записывается в виде
|
|
|
\begin{equation}\label{eq:p17-A-stroke}\tag{A$'$}
|
|
|
-\exists\mathit{c}
|
|
|
-\left(\mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}\right)
|
|
|
-\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}\text{.}
|
|
|
+\exists\frml{c}
|
|
|
+\left(\frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}\right)
|
|
|
+\OLimpl\neg\frml{a}=\frml{b}\text{.}
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
|
|
Другого рода сокращения даёт нам введение нового символа вместе с методом
|
|
|
@@ -447,33 +440,32 @@ $+$~имеет \emph{ранг}, более высокий, чем~$\OLmult$‚
|
|
|
\left(\left(0\right)'\right)',
|
|
|
\left(\left(\left(0\right)'\right)'\right)'\ldots}$ мы сокращаем
|
|
|
соответственно в~<<$1$>>,~<<$2$>>,~<<$3$>>,~$\ldots\:$;
|
|
|
-формулу~${\neg\mathit{a}=\mathit{b}}$ сокращаем
|
|
|
-в~<<${\mathit{a}\neq\mathit{b}}$>>, а
|
|
|
-формулу~${\exists\mathit{c}\left(\mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}\right)}$
|
|
|
-сокращаем в <<${\mathit{a}<\mathit{b}}$>>. Рассмотренная
|
|
|
-формула~(\ref{eq:p17-A}) может быть при этом записана так:
|
|
|
+формулу~${\neg\frml{a}=\frml{b}}$ сокращаем в~<<${\frml{a}\neq\frml{b}}$>>, а
|
|
|
+формулу~${\exists\frml{c}\left(\frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}\right)}$
|
|
|
+сокращаем в <<${\frml{a}<\frml{b}}$>>. Рассмотренная
|
|
|
+формула~\eqref{eq:p17-A} может быть при этом записана так:
|
|
|
\begin{equation}\label{eq:p17-A-stroke-stroke}\tag{A$''$}
|
|
|
-\mathit{a}<\mathit{b}\OLimpl\mathit{a}\neq\mathit{b}\text{.}
|
|
|
+\frml{a}<\frml{b}\OLimpl\frml{a}\neq\frml{b}\text{.}
|
|
|
\end{equation}
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
%% ======================= Страница 72 =======================
|
|
|
|
|
|
Общее правило для сокращения <<$\neq$>> позволяет нам
|
|
|
-писать~<<${\mathrm{s}\neq\mathrm{t}}$>> как сокращение
|
|
|
-для~${\neg\mathrm{s}=\mathrm{t}}$‚ где $\mathrm{s}$~и~$\mathrm{t}$~---~термы.
|
|
|
-Общее правило для сокращения~<<$<$>> позволяет нам
|
|
|
-писать~<<${\mathrm{s}<\mathrm{t}}$>> как сокращение
|
|
|
-для~${\exists\mathrm{x}\left(\mathrm{x}'+\mathrm{s}=\mathrm{t}\right)}$‚
|
|
|
-где $\mathrm{x}$~---~переменная, а $\mathrm{s}$~и~$\mathrm{t}$~---~термы, не
|
|
|
-содержащие~$\mathrm{x}$. При восстановлении сокращения, если оно было связано с
|
|
|
+писать~<<${\infr{s}\neq\infr{t}}$>> как сокращение
|
|
|
+для~${\neg\infr{s}=\infr{t}}$‚ где $\infr{s}$~и~$\infr{t}$~---~термы. Общее
|
|
|
+правило для сокращения~<<$<$>> позволяет нам
|
|
|
+писать~<<${\infr{s}<\infr{t}}$>> как сокращение
|
|
|
+для~${\exists\infr{x}\left(\infr{x}'+\infr{s}=\infr{t}\right)}$‚
|
|
|
+где $\infr{x}$~---~переменная, а $\infr{s}$~и~$\infr{t}$~---~термы, не
|
|
|
+содержащие~$\infr{x}$. При восстановлении сокращения, если оно было связано с
|
|
|
опусканием переменной, как в случае~<<$<$>>, имеется произвол в отношении выбора
|
|
|
подлежащей восстановлению переменной. Так, при
|
|
|
-восстановлении~<<${\mathrm{s}<\mathrm{t}}$>> мы можем выбрать в
|
|
|
-качестве~$\mathrm{x}$ любую переменную, не содержащуюся
|
|
|
-в~$\mathrm{s}$~и~$\mathrm{t}$. Этот произвол является мало существенным,
|
|
|
-поскольку утверждения, которые мы собираемся делать о сокращённой формуле, имеют
|
|
|
-место независимо от выбора допустимой переменной.
|
|
|
+восстановлении~<<${\infr{s}<\infr{t}}$>> мы можем выбрать в
|
|
|
+качестве~$\infr{x}$ любую переменную, не содержащуюся в~$\infr{s}$~и~$\infr{t}$.
|
|
|
+Этот произвол является мало существенным, поскольку утверждения, которые мы
|
|
|
+собираемся делать о сокращённой формуле, имеют место независимо от выбора
|
|
|
+допустимой переменной.
|
|
|
|
|
|
Мы будем считать, что все эти сокращения относятся только к изложению
|
|
|
метаматематики. Это соответствует нашим целям, и таким путём мы сохраняем
|
|
|
@@ -486,90 +478,442 @@ $+$~имеет \emph{ранг}, более высокий, чем~$\OLmult$‚
|
|
|
\section{Свободные и связанные переменные}
|
|
|
\label{sec:18-free_and_bound_variables}
|
|
|
|
|
|
-Вхождение переменной~$\mathrm{x}$ в формулу~$\mathrm{A}$ называется
|
|
|
-\emph{связанным} (или вхождением в качестве \emph{связанной переменной}), если
|
|
|
-оно является вхождением в квантор~${\forall\mathrm{x}}$
|
|
|
-или~${\exists\mathrm{x}}$ или в область действия квантора~${\forall\mathrm{x}}$
|
|
|
-или~${\exists\mathrm{x}}$ (с тем же самым~$\mathrm{x}$); в противном случае
|
|
|
-вхождение называется \emph{свободным} (или вхождением в качестве
|
|
|
-\emph{свободной переменной}).
|
|
|
+Вхождение переменной~$\infr{x}$ в формулу~$\infr{A}$ называется \emph{связанным}
|
|
|
+(или вхождением в качестве \emph{связанной переменной}), если оно является
|
|
|
+вхождением в квантор~${\forall\infr{x}}$ или~${\exists\infr{x}}$ или в область
|
|
|
+действия квантора~${\forall\infr{x}}$ или~${\exists\infr{x}}$ (с тем же
|
|
|
+самым~$\infr{x}$); в противном случае вхождение называется \emph{свободным} (или
|
|
|
+вхождением в качестве \emph{свободной переменной}).
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex1.}{exmpl:p18-1}{exmpl:p18-1}
|
|
|
В~${
|
|
|
-\exists\mathit{c}
|
|
|
-\left(\mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}\right)
|
|
|
-\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}}$‚ оба вхождения~$\mathit{a}$ и оба
|
|
|
-вхождения~$\mathit{b}$~---~свободные‚ а оба
|
|
|
-вхождения~$\mathit{c}$~---~связанные. В~${
|
|
|
-\exists\mathit{c}
|
|
|
-\left(\mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}\right)
|
|
|
-\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}+\mathit{c}}$ первые два
|
|
|
-вхождения~$\mathit{c}$~---~связанные, а третье~---~свободное.
|
|
|
+\exists\frml{c}
|
|
|
+\left(\frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}\right)
|
|
|
+\OLimpl\neg\frml{a}=\frml{b}}$‚ оба вхождения~$\frml{a}$ и оба
|
|
|
+вхождения~$\frml{b}$~---~свободные‚ а оба вхождения~$\frml{c}$~---~связанные.
|
|
|
В~${
|
|
|
-\exists\mathit{c}\left(
|
|
|
- \exists\mathit{c}\left(
|
|
|
- \mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}
|
|
|
- \right)\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}+\mathit{c}
|
|
|
-\right)}$ все вхождения~$\mathit{c}$~---~связанные.
|
|
|
+\exists\frml{c}
|
|
|
+\left(\frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}\right)
|
|
|
+\OLimpl\neg\frml{a}=\frml{b}+\frml{c}}$ первые два
|
|
|
+вхождения~$\frml{c}$~---~связанные, а третье~---~свободное.
|
|
|
+В~${
|
|
|
+\exists\frml{c}\left(
|
|
|
+ \exists\frml{c}\left(
|
|
|
+ \frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}
|
|
|
+ \right)\OLimpl\neg\frml{a}=\frml{b}+\frml{c}
|
|
|
+\right)}$ все вхождения~$\frml{c}$~---~связанные.
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
-Мы будем говорить также, что любое вхождение переменной~$\mathrm{x}$ в
|
|
|
-терм~$\mathrm{t}$ является \emph{свободным}, как это будет следовать из
|
|
|
-приведённого определения, если заменить в нем слова <<формула~$\mathrm{A}$>>
|
|
|
-на <<терм~$\mathrm{t}$>>. Различие между свободным и связанным вхождением
|
|
|
-переменной всегда связано с термом или формулой, для которых (в каждом случае)
|
|
|
+Мы будем говорить также, что любое вхождение переменной~$\infr{x}$ в
|
|
|
+терм~$\infr{t}$ является \emph{свободным}, как это будет следовать из
|
|
|
+приведённого определения, если заменить в нем слова <<формула~$\infr{A}$>> на
|
|
|
+<<терм~$\infr{t}$>>. Различие между свободным и связанным вхождением переменной
|
|
|
+всегда связано с термом или формулой, для которых (в каждом случае)
|
|
|
рассматривается это вхождение.
|
|
|
|
|
|
-\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex2.}{exmpl:p18-2}{exmpl:p18-2}
|
|
|
-Третье вхождение~$\mathit{c}$ в~${
|
|
|
-\exists\mathit{c}\left(
|
|
|
- \exists\mathit{c}\left(
|
|
|
- \mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}
|
|
|
- \right)\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}+\mathit{c}
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex2.}{exmpl:p18-2}{2}
|
|
|
+Третье вхождение~$\frml{c}$ в~${
|
|
|
+\exists\frml{c}\left(
|
|
|
+ \exists\frml{c}\left(
|
|
|
+ \frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}
|
|
|
+ \right)\OLimpl\neg\frml{a}=\frml{b}+\frml{c}
|
|
|
\right)}$ является свободным, если его рассматривать как вхождение в саму эту
|
|
|
-часть~$\mathit{c}$, или в часть~${\mathit{c}'}$, или в
|
|
|
-часть~${\mathit{c}'+\mathit{a}}$‚ или в
|
|
|
-часть~${\mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}}$, и связанным, если его рассматривать
|
|
|
-как вхождение в часть~${
|
|
|
-\exists\mathit{c}\left(
|
|
|
- \mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}
|
|
|
+часть~$\frml{c}$, или в часть~${\frml{c}'}$, или в
|
|
|
+часть~${\frml{c}'+\frml{a}}$‚ или в
|
|
|
+часть~${\frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}}$, и связанным, если его рассматривать как
|
|
|
+вхождение в часть~${
|
|
|
+\exists\frml{c}\left(
|
|
|
+ \frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}
|
|
|
\right)}$‚ или в часть~${
|
|
|
-\exists\mathit{c}\left(
|
|
|
- \mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}
|
|
|
-\right)\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}+\mathit{c}}$, или во всю формулу.
|
|
|
+\exists\frml{c}\left(
|
|
|
+ \frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}
|
|
|
+\right)\OLimpl\neg\frml{a}=\frml{b}+\frml{c}}$, или во всю формулу.
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
-Если переменная~$\mathrm{x}$ входит в качестве свободной переменной (коротко:
|
|
|
-входит свободно) в~$\mathrm{A}$, то говорят, что $\mathrm{x}$~является
|
|
|
-\emph{свободной переменной} выражения~$\mathrm{A}$, или что
|
|
|
-$\mathrm{A}$~\emph{содержит}~$\mathrm{x}$ \emph{в качестве свободной
|
|
|
-переменной} (коротко: $\mathrm{A}$~\emph{содержит свободно}~$\mathrm{x}$);
|
|
|
-аналогично для связанных переменных.
|
|
|
+Если переменная~$\infr{x}$ входит в качестве свободной переменной (коротко:
|
|
|
+входит свободно) в~$\infr{A}$, то говорят, что $\infr{x}$~является
|
|
|
+\emph{свободной переменной} выражения~$\infr{A}$, или что
|
|
|
+$\infr{A}$~\emph{содержит}~$\infr{x}$ \emph{в качестве свободной переменной}
|
|
|
+(коротко: $\infr{A}$~\emph{содержит свободно}~$\infr{x}$); аналогично для
|
|
|
+связанных переменных.
|
|
|
|
|
|
\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex3.}{exmpl:p18-3}{exmpl:p18-3}
|
|
|
Свободные переменные в~${
|
|
|
-\exists\mathit{c}\left(
|
|
|
- \mathit{c}'+\mathit{a}=\mathit{b}
|
|
|
-\right)\OLimpl\neg\mathit{a}=\mathit{b}+\mathit{c}
|
|
|
-}$ суть~$\mathit{a}$,~$\mathit{b}$~и~$\mathit{c}$, а единственная связанная
|
|
|
-переменная есть~$\mathit{c}$.
|
|
|
+\exists\frml{c}\left(
|
|
|
+ \frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}
|
|
|
+\right)\OLimpl\neg\frml{a}=\frml{b}+\frml{c}}$
|
|
|
+суть~$\frml{a}$,~$\frml{b}$~и~$\frml{c}$, а единственная связанная переменная
|
|
|
+есть~$\frml{c}$.
|
|
|
\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
-Связанное вхождение переменной~$\mathrm{x}$ в формулу~$\mathrm{A}$ связано
|
|
|
-\emph{тем} вхождением квантора~${\forall\mathrm{x}}$ или~~${\exists\mathrm{x}}$
|
|
|
-(с тем же самым~$\mathrm{x}$), в области действия которого
|
|
|
+Связанное вхождение переменной~$\infr{x}$ в формулу~$\infr{A}$ связано
|
|
|
+\emph{тем} вхождением квантора~${\forall\infr{x}}$ или~${\exists\infr{x}}$ (с
|
|
|
+тем же самым~$\infr{x}$), в области действия которого
|
|
|
%% ======================= Страница 73 =======================
|
|
|
+оно встречается и которое имеет при этом наименьшую область действия (короче,
|
|
|
+посредством самого внутреннего квантора, в области действия которого оно
|
|
|
+встречается), или в случае, когда оно является вхождением в
|
|
|
+квантор~${\forall\infr{x}}$ или~${\exists\infr{x}}$, самим этим квантором
|
|
|
+(говорят также, что квантор \emph{связывает} эту переменную).
|
|
|
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex4.}{exmpl:p18-4}{4}
|
|
|
+В~${
|
|
|
+\exists\frml{c}\left(
|
|
|
+ \exists\frml{c}\left(
|
|
|
+ \frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}
|
|
|
+ \right)\OLimpl\neg\frml{a}=\frml{b}+\frml{c}
|
|
|
+\right)}$ первое и четвёртое вхождения~$\frml{c}$ связаны первым
|
|
|
+квантором~${\exists\frml{c}}$, а второе и третье вхождения~$\frml{c}$~---~вторым
|
|
|
+квантором~${\exists\frml{c}}$.
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
-stub
|
|
|
+Связанное вхождение переменной в формулу связано тем квантором, введение
|
|
|
+которого (при построении этой формулы, согласно определениям терма и формулы)
|
|
|
+впервые превратило это вхождение из свободного в связанное (или, если это
|
|
|
+переменная в кванторе,~---~тем квантором, в котором она вводится).
|
|
|
|
|
|
-\section{Правила преобразования}
|
|
|
-\label{sec:19-transformation_rules}
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex5.}{exmpl:p18-5}{exmpl:p18-5}
|
|
|
+Сравните пример~\ref{exmpl:p18-4} с примером~\ref{exmpl:p18-2}.
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
-stub
|
|
|
+Сделаем теперь несколько предварительных замечаний об интерпретации свободных и
|
|
|
+связанных переменных (называемых иногда ,,действительными`` и ,,кажущимися``
|
|
|
+переменными). Эти замечания, конечно, не являются частью метаматематики, но они
|
|
|
+должны способствовать усвоению метаматематических различий. Выражение,
|
|
|
+содержащее свободную переменную, представляет величину или предложение,
|
|
|
+зависящее от значения этой переменной. Выражение, содержащее связанную
|
|
|
+переменную, представляет результат операции, применённой к области изменения
|
|
|
+этой переменной. Наши связанные переменные относятся к логическим операциям
|
|
|
+квантификации, но имеются примеры с операциями другого рода, обычными в
|
|
|
+математике. В следующих примерах $n$~и~$y$ свободны, а $i$~и~$x$ связаны:
|
|
|
+\begin{equation}\label{eq:p18-A}\tag{A}
|
|
|
+\sum_{i=1}^{n} a_{i},\;\;\;\;\;\;\;
|
|
|
+\lim_{x\to 0} f(x,y),\;\;\;\;\;\;\;
|
|
|
+\int\displaylimits_{-y}^{y} f(x,y)dx\text{.}
|
|
|
+\end{equation}
|
|
|
+
|
|
|
+В следующем примере вхождение~$t$ в качестве верхнего предела интегрирования
|
|
|
+свободно, а вхождения в подинтегральное выражение~---~связаны:
|
|
|
+\begin{equation}\label{eq:p18-B}\tag{B}
|
|
|
+\int\displaylimits_{0}^{t} f(t)dt\text{.}
|
|
|
+\end{equation}
|
|
|
+
|
|
|
+Возвращаясь к интерпретации, можно отметить некоторые характерные различия,
|
|
|
+которым она подвергает способ пользования обоими родами переменных в
|
|
|
+неформальной математике. Связанная переменная является частью описания,
|
|
|
+выражающего результат операции, выполненной над областью изменения переменной, и
|
|
|
+поэтому можно (соблюдая некоторые предосторожности), не меняя смысла, заменить
|
|
|
+эту переменную на любую другую, имеющую ту же самую область изменения. Например,
|
|
|
+\begin{equation}\label{eq:p18-C}\tag{C}
|
|
|
+\sum_{j=1}^{n} a_{j},\;\;\;\;\;\;\;
|
|
|
+\lim_{z\to 0} f(z,y),\;\;\;\;\;\;\;
|
|
|
+\int\displaylimits_{-y}^{y} f(t,y)dt
|
|
|
+\end{equation}
|
|
|
+
|
|
|
+\noindent%
|
|
|
+означают (обычно) то же самое, что и соответствующие выражения~\eqref{eq:p18-A},
|
|
|
+приведённые выше (но ${\displaystyle{\lim_{y\to 0} f(y,y)}}$~не совпадает
|
|
|
+(обычно) с~${\displaystyle{\lim_{x\to 0} f(x,y)}}$). Если в некоторое выражение
|
|
|
+подставить вместо свободной переменной выражение, представляющее постоянный или
|
|
|
+переменный предмет из области
|
|
|
+%% ======================= Страница 74 =======================
|
|
|
+её изменения, мы (обычно) получим осмысленный результат, но эта же подстановка,
|
|
|
+применённая к связанной переменной, может привести к бессмыслице. Например
|
|
|
+(подстановкой в~\eqref{eq:p18-A}), получаем (обычно) осмысленные выражения
|
|
|
+\begin{equation}\label{eq:p18-D}\tag{D}
|
|
|
+\sum_{i=1}^{5} a_{i},\;\;\;\;\;\;\;
|
|
|
+\lim_{x\to 0} f(x,2),\;\;\;\;\;\;\;
|
|
|
+\int\displaylimits_{-z}^{z} f(x,z)dx\text{,}
|
|
|
+\end{equation}
|
|
|
+
|
|
|
+\noindent%
|
|
|
+но этого нельзя сказать о
|
|
|
+\begin{equation}\label{eq:p18-E}\tag{E}
|
|
|
+\sum_{5=1}^{n} a_{5},\;\;\;\;\;\;\;
|
|
|
+\lim_{2\to 0} f(2,y),\;\;\;\;\;\;\;
|
|
|
+\int\displaylimits_{-z}^{z} f(0,z)d0\text{.}
|
|
|
+\end{equation}
|
|
|
+
|
|
|
+\noindent%
|
|
|
+Если одна и та же переменная входит в выражение и как свободная, и как
|
|
|
+связанная, то представляемая этим выражением величина зависит только от значения
|
|
|
+этой переменной в её свободных вхождениях. Таким образом,
|
|
|
+интеграл~\eqref{eq:p18-B} является функцией от~$t$, значение которой для~${t=3}$
|
|
|
+есть
|
|
|
+\begin{equation}\label{eq:p18-F}\tag{F}
|
|
|
+\int\displaylimits_{0}^{3} f(t)dt\text{,}\;\;\;\;\;\;\;\text{но не}\;\;\;%
|
|
|
+\int\displaylimits_{0}^{3} f(3)d3\text{.}
|
|
|
+\end{equation}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Подстановка.}{spar:p18-substitution}{spar:p18-substitution}
|
|
|
+При формулировке метаматематических определений следующего параграфа мы
|
|
|
+используем операцию подстановки, которую мы определим следующим образом.
|
|
|
+\emph{Подстановка} терма~$\infr{t}$ \emph{вместо} переменной~$\infr{x}$ \emph{в}
|
|
|
+(или, иначе, \emph{повсюду в}) терм или формулу~$\infr{A}$ состоит в
|
|
|
+одновременной замене каждого свободного вхождения~$\infr{x}$ в~$\infr{A}$
|
|
|
+на вхождение~$\infr{t}$. Чтобы описать это в терминах сочленения, обозначим
|
|
|
+через~$n$ число свободных вхождений~$\infr{x}$ в~$\infr{A}$~(${n\geqslant 0}$) и
|
|
|
+запишем~$\infr{A}$ в виде~<<${\infr{A}_{0}\infr{x}\infr{A}_{1}\infr{x}\;\ldots\;
|
|
|
+\infr{A}_{n-1}\infr{x}\infr{A}_{n}}$>>‚ указывающем эти вхождения
|
|
|
+(где~${\infr{A}_{0},\infr{A}_{1}, \ldots,%
|
|
|
+ \infr{A}_{n-1},\infr{A}_{n}}$~---~части‚ возможно пустые, не содержащие
|
|
|
+вхождений~$\infr{x}$, свободных относительно всего~$\infr{A}$, и все указанные
|
|
|
+$n$~вхождений~$\infr{x}$ свободны). Тогда результатом подстановки~$\infr{t}$
|
|
|
+вместо~$\infr{x}$ в~$\infr{A}$
|
|
|
+будет~${\infr{A}_{0}\infr{t}\infr{A}_{1}\infr{t}\;\ldots\;
|
|
|
+\infr{A}_{n-1}\infr{t}\infr{A}_{n}}$.
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлено выделение в определении
|
|
|
+%% оно приведено в семантическое соответствие с англоязычным оригиналом
|
|
|
+%%
|
|
|
+
|
|
|
+Для представления результата подстановки будет полезно одно компактное
|
|
|
+метаматематическое обозначение. Если подстановка производится вместо~$\infr{x}$,
|
|
|
+введём сначала для субституэнда\footnote{Т.~е. выражения, в которое производится
|
|
|
+подстановка. Употребление термина <<субституэнд>> в данной книге отличается от
|
|
|
+принятого у Гильберта и Бернайса~\cite{hilbert_and_bernays1939} дополнение~I,
|
|
|
+где рассматриваются подстановки вместо формульных переменных (ср.~ниже
|
|
|
+стр.~\pageref{spar:p37-predicate_calculus_with_a_postulated_substitution_rule})
|
|
|
+и субституэндом называется выражение, которое подставляется вместо данной
|
|
|
+переменной.~---~\textit{Прим.~перев.}} некоторое составное выражение,
|
|
|
+например~<<${\infr{A}(\infr{x})}$>>, показывающее его зависимость от~$\infr{x}$,
|
|
|
+согласно способу обозначения для функций в
|
|
|
+математике~(\textsection~\ref{sec:10-functions}). Результат
|
|
|
+подстановки~$\infr{t}$ вместо~$\infr{x}$ в~${\infr{A}(\infr{x})}$ записывается
|
|
|
+тогда в виде~<<${\infr{A}(\infr{t})}$>>.
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex6.}{exmpl:p18-6}{exmpl:p18-6}
|
|
|
+Пусть $\infr{x}$~есть~$\frml{c}$, а\\
|
|
|
+{\setlength{\tabcolsep}{0pt}\begin{tabular}{llll}
|
|
|
+${\infr{A}(\infr{x})}$, или\kern1ex&${\infr{A}(\frml{c})}$,\kern1ex&есть\kern1ex
|
|
|
+&${\exists\frml{c}\left(\frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}\right)\OLimpl%
|
|
|
+\neg\frml{a}=\frml{b}+\frml{c}}$.\\
|
|
|
+Тогда&${\infr{A}(0)}$&есть%
|
|
|
+&${\exists\frml{c}\left(\frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}\right)\OLimpl%
|
|
|
+\neg\frml{a}=\frml{b}+\frml{0}}$,\\
|
|
|
+а&${\infr{A}(\frml{a})}$&есть%
|
|
|
+&${\exists\frml{c}\left(\frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}\right)\OLimpl%
|
|
|
+\neg\frml{a}=\frml{b}+\frml{a}}$.
|
|
|
+\end{tabular}}
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлено представление Примера 6
|
|
|
+%% оно приведено в соответствие с представлением англоязычного оригинала,
|
|
|
+%% что делает Пример 6 яснее
|
|
|
+%%
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex7.}{exmpl:p18-7}{exmpl:p18-7}
|
|
|
+Пусть $\infr{x}$~есть~$\frml{a}$, а $\infr{A}(\infr{x})$~есть~%
|
|
|
+${\frml{a}+\frml{c}=\frml{a}}$. Тогда ${\infr{A}(0)}$~есть~%
|
|
|
+${0+\frml{c}=0}$, а ${\infr{A}(\frml{b})}$~есть~${\frml{b}+\frml{c}=\frml{b}}$.
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+
|
|
|
+Подстановка, которая даёт~${\infr{A}(\infr{t})}$, всегда должна производиться
|
|
|
+вместо первоначальной переменной~$\infr{x}$ в первоначальной
|
|
|
+формуле~${\infr{A}(\infr{x})}$, т.~е. вместо той переменной и в ту формулу, для
|
|
|
+которых предварительно было введено обозначение <<${\infr{A}(\infr{x})}$>>.
|
|
|
+
|
|
|
+%% ======================= Страница 75 =======================
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex7\kern1ex\textup{(окончание)}.}%
|
|
|
+{exmpl:p18-7-end}{exmpl:p18-7-end}
|
|
|
+Для указанных выше~$\infr{x}$~и~${\infr{A}(\infr{x})}$‚ ${\infr{A}(\frml{c})}$
|
|
|
+есть~${\frml{c}+\frml{c}=\frml{c}}$. Если подставить~$\frml{b}$
|
|
|
+вместо~$\frml{c}$ в~${\infr{A}(\frml{c})}$, то
|
|
|
+получится~${\frml{b}+\frml{b}=\frml{b}}$. Это не совпадает
|
|
|
+с~${\infr{A}(\frml{b})}$, которое прежде мы правильно получили посредством
|
|
|
+подстановки~$\frml{b}$ вместо~$\frml{a}$ в~${\infr{A}(\frml{a})}$, т.~е. вместо
|
|
|
+первоначального~${\infr{x}}$ в первоначальное~${\infr{A}(\infr{x})}$. (Это же
|
|
|
+затруднение может встретиться при неправильном употреблении обозначений для
|
|
|
+функции в неформальной математике.)
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+
|
|
|
+Мы не потребовали, чтобы переменная~$\infr{x}$ действительно входила
|
|
|
+в~${\infr{A}(\infr{x})}$ в качестве свободной переменной. Если $\infr{x}$~не
|
|
|
+является свободной переменной~${\infr{A}(\infr{x})}$‚ то результат
|
|
|
+подстановки~${\infr{A}(\infr{t})}$ есть само первоначальное
|
|
|
+выражение~${\infr{A}(\infr{x})}$.
|
|
|
+
|
|
|
+Аналогично мы определим подстановку, произведённую одновременно вместо
|
|
|
+нескольких различных переменных; мы будем пользоваться при этом аналогичными
|
|
|
+обозначениями, например <<${\infr{A}(\infr{x}_{1},\ldots,\infr{x}_{n})}$>>~для
|
|
|
+субституэнда и <<${\infr{A}(\infr{t}_{1},\ldots,\infr{t}_{n})}$>>~для
|
|
|
+результата.
|
|
|
+
|
|
|
+В дальнейшем мы часто будем вводить составные обозначения, например
|
|
|
+<<${\infr{A}(\infr{x})}$>>~или~%
|
|
|
+<<${\infr{A}(\infr{x}_{1},\ldots,\infr{x}_{n})}$>> вместо~<<$\infr{A}$>>, когда
|
|
|
+нас будет интересовать зависимость~$\infr{A}$ от переменной~$\infr{x}$ или
|
|
|
+переменных~${\infr{x}_{1},\ldots,\infr{x}_{n}}$ независимо от того, надо ли нам
|
|
|
+будет или нет делать подстановку. Например, обычно мы обозначаем
|
|
|
+формулу~<<${\infr{A}(\infr{x})}$>> вместо~<<$\infr{A}$>>, если собираемся
|
|
|
+употребить её в~${\forall\infr{x}\infr{A}(\infr{x})}$ (читается <<для
|
|
|
+всех~$\infr{x}$, $\infr{A}$~от~$\infr{x}$>>) или
|
|
|
+в~${\exists\infr{x}\infr{A}(\infr{x})}$ (читается <<существует
|
|
|
+некоторое~$\infr{x}$, такое, что $\infr{A}$~от~$\infr{x}$>> или, кратко,
|
|
|
+<<существует~$\infr{x}$, $\infr{A}$~от~$\infr{x}$>>). Подчеркнём, что при
|
|
|
+обозначении~<<${\infr{A}(\infr{x})}$>> (или
|
|
|
+<<${\infr{A}(\infr{x}_{1},\ldots,\infr{x}_{n})}$>>) не подразумевается, что
|
|
|
+$\infr{x}$~(или каждое из~${\infr{x}_{1},\ldots,\infr{x}_{n}}$) обязательно
|
|
|
+входит свободно в обозначенную формулу.
|
|
|
+
|
|
|
+Предварительные замечания об интерпретации проливают свет на то, почему при
|
|
|
+нашем выборе определения для метаматематической операции подстановки последняя
|
|
|
+применяется только к свободным вхождениям переменных.
|
|
|
+
|
|
|
+Далее, мы будем говорить, что терм~$\infr{t}$ \emph{свободен при свободных
|
|
|
+вхождениях} переменной~$\infr{x}$ \emph{в} формулу~${\infr{A}(\infr{x})}$ (или,
|
|
|
+что $\infr{t}$~\emph{свободен на местах подстановки вместо}~$\infr{x}$
|
|
|
+\emph{в}~${\infr{A}(\infr{x})}$‚ или, короче, что
|
|
|
+$\infr{t}$~\emph{свободен для}~$\infr{x}$ \emph{в}~${\infr{A}(\infr{x})}$)‚ если
|
|
|
+никакое свободное вхождение~$\infr{x}$ в~${\infr{A}(\infr{x})}$ не входит в
|
|
|
+область действия какого\nobreakdash-нибудь квантора~${\forall\infr{y}}$
|
|
|
+или~${\exists\infr{y}}$, где $\infr{y}$~---~переменная из~$\infr{t}$ (т.~е.
|
|
|
+входящая в~$\infr{t}$).
|
|
|
+%%
|
|
|
+%% исправлено выделение буквы "в"
|
|
|
+%% в соответствии с семантикой и выделением в англоязычном оригинале
|
|
|
+%%
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex8.}{exmpl:p18-8}{exmpl:p18-8}
|
|
|
+Термы~${\frml{d}}$,~${\frml{d}+0'}$~и~${\frml{a}\OLmult\frml{d}}$ свободны
|
|
|
+для~$\frml{a}$ в первой и не свободны во второй из следующих формул:
|
|
|
+\begin{equation}\label{eq:p18-I}\tag{I}
|
|
|
+\exists\frml{c}\left(\frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}\right)\OLand
|
|
|
+\neg\frml{d}=0\text{,}\;\;\;\;\;\;\;
|
|
|
+\exists\frml{d}\left(\frml{d}'+\frml{a}=\frml{b}\right)\OLand
|
|
|
+\neg\frml{d}=0\text{.}
|
|
|
+\end{equation}
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+Согласно этому определению, если $\infr{t}$~свободен для~$\infr{x}$
|
|
|
+в~${\infr{A}(\infr{x})}$~---~и только в этом случае~---~при
|
|
|
+подстановке~$\infr{t}$ вместо~$\infr{x}$ в~${\infr{A}(\infr{x})}$
|
|
|
+терм~$\infr{t}$ не возникнет в~${\infr{A}(\infr{x})}$ ни на каком месте, где
|
|
|
+какая\nobreakdash-нибудь (свободная) переменная~$\infr{y}$ из~$\infr{t}$ вошла
|
|
|
+бы в качестве связанной переменной в результат~$\infr{A}(\infr{t})$.
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex8\kern1ex\textup{(окончание)}.}%
|
|
|
+{exmpl:p18-8-end}{exmpl:p18-8-end}
|
|
|
+Подстановка~${\frml{d}+0'}$ вместо~$\frml{a}$ в~\eqref{eq:p18-I} даёт
|
|
|
+\begin{equation}\label{eq:p18-II}\tag{II}
|
|
|
+\exists\frml{c}\left(\frml{c}'+\left(\frml{d}+0'\right)=\frml{b}\right)\OLand
|
|
|
+\neg\frml{d}=0\text{,}\;\;\;\;\;\;\;
|
|
|
+\exists\frml{d}\left(\frml{d}'+\left(\frml{d}+0'\right)=\frml{b}\right)\OLand
|
|
|
+\neg\frml{d}=0
|
|
|
+\end{equation}
|
|
|
+
|
|
|
+\noindent%
|
|
|
+соответственно. В первом случае введённое подстановкой вхождение~$\frml{d}$
|
|
|
+из~${\frml{d}+0'}$ остаётся свободным во всей формуле, а во втором случае это не
|
|
|
+имеет места.
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+Мы будем говорить, что подстановка~$\infr{t}$ вместо~$\infr{x}$
|
|
|
+в~${\infr{A}(\infr{x})}$ \emph{свободна}, если $\infr{t}$~свободно
|
|
|
+для~$\infr{x}$ в~${\infr{A}(\infr{x})}$. Уже при поверхностном взгляде на
|
|
|
+указанную выше интерпретацию видно, что подстановка не годится, если она не
|
|
|
+свободна.
|
|
|
+
|
|
|
+%% ======================= Страница 76 =======================
|
|
|
|
|
|
+Обе формулы в~\eqref{eq:p18-I} означают одно и то же, но в~\eqref{eq:p18-II} это
|
|
|
+не так.
|
|
|
|
|
|
+В качестве содержательного примера рассмотрим второе выражение
|
|
|
+из~\eqref{eq:p18-A} или~\eqref{eq:p18-C}. Оно означает некоторую функцию от~$y$,
|
|
|
+назовём её
|
|
|
+\begin{equation}\label{eq:p18-G}\tag{G}
|
|
|
+f(y)=\lim_{x\to 0} f(x,y)=\lim_{z\to 0} f(z,y)\text{.}
|
|
|
+\end{equation}
|
|
|
+
|
|
|
+Значение~${f(y)}$ для~${y=z}$ правильно записывается в виде
|
|
|
+\begin{equation}\label{eq:p18-H}\tag{H}
|
|
|
+f(z)=\lim_{x\to 0} f(x,z)\text{,}
|
|
|
+\end{equation}
|
|
|
+
|
|
|
+\noindent%
|
|
|
+но не в виде~${f(z)=\displaystyle{\lim_{z\to 0} f(z,z)}}$.
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex9.}{exmpl:p18-9}{exmpl:p18-9}
|
|
|
+Для иллюстрации обращения с терминологией и обозначениями, введёнными в этом
|
|
|
+параграфе, предположим, что $\infr{x}$~---~переменная (т.~е.
|
|
|
+<<$\infr{x}$>>~обозначает переменную), ${\infr{A}(\infr{x})}$~---~формула (т.~е.
|
|
|
+<<${\infr{A}(\infr{x})}$>> обозначает формулу), а $\infr{b}$~есть (т.~е.
|
|
|
+<<$\infr{b}$>>~обозначает \ldots) такая переменная, что
|
|
|
+(i)\itemlabel{listItem:p18-list1-i}{(i)}~$\infr{b}$~свободна для~$\infr{x}$
|
|
|
+в~${\infr{A}(\infr{x})}$ и
|
|
|
+(ii)\itemlabel{listItem:p18-list1-ii}{(ii)}~$\infr{b}$~не входит свободно
|
|
|
+в~${\infr{A}(\infr{x})}$ (или $\infr{b}$~есть~$\infr{x}$). Согласно нашим
|
|
|
+обозначениям для подстановки, поскольку обозначение~${\infr{A}(\infr{x})}$ было
|
|
|
+введено для~<<$\infr{x}$>>~и~<<${\infr{A}(\infr{x})}$>>,
|
|
|
+(iii)\itemlabel{listItem:p18-list1-iii}{(iii)}~${\infr{A}(\infr{b})}$~есть (по
|
|
|
+определению) результат подстановки~$\infr{b}$ вместо (свободных
|
|
|
+вхождений)~$\infr{x}$ в~${\infr{A}(\infr{x})}$. В
|
|
|
+силу~\ref{listItem:p18-list1-i}, вхождения~$\infr{b}$ в~${\infr{A}(\infr{b})}$,
|
|
|
+введённые этой подстановкой, являются свободными. В
|
|
|
+силу~\ref{listItem:p18-list1-ii}, других свободных вхождений~$\infr{b}$
|
|
|
+в~${\infr{A}(\infr{b})}$~нет. Итак, свободные вхождения~$\infr{b}$
|
|
|
+в~${\infr{A}(\infr{b})}$~---~это в точности вхождения, введённые этой
|
|
|
+подстановкой. Поэтому (обратно
|
|
|
+к~\ref{listItem:p18-list1-i}--\ref{listItem:p18-list1-iii})
|
|
|
+(iv)\itemlabel{listItem:p18-list1-iv}{(iv)}~$\infr{x}$~свободно для~$\infr{b}$
|
|
|
+в~${\infr{A}(\infr{b})}$,
|
|
|
+(v)\itemlabel{listItem:p18-list1-v}{(v)}~$\infr{x}$~не входит свободно
|
|
|
+в~${\infr{A}(\infr{b})}$ (или $\infr{x}$~есть~$\infr{b}$), и, кроме того,
|
|
|
+(vi)\itemlabel{listItem:p18-list1-vi}{(vi)}~${\infr{A}(\infr{x})}$~является
|
|
|
+результатом подстановки~$\infr{x}$ вместо (свободных вхождений)~$\infr{b}$
|
|
|
+в~${\infr{A}(\infr{b})}$. Например,
|
|
|
+\begin{equation*}
|
|
|
+\infr{x},\;\;\;\;\;\infr{A}(\infr{x}),\;\;\;\;\;
|
|
|
+\infr{b},\;\;\;\;\;\infr{A}(\infr{b})
|
|
|
+\end{equation*}
|
|
|
+
|
|
|
+\noindent%
|
|
|
+могут быть соответственно
|
|
|
+\begin{equation*}
|
|
|
+\frml{c},\;\;\;\exists\frml{c}\left(\frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}\right)\OLimpl
|
|
|
+\neg\frml{a}=\frml{b}+\frml{c},\;\;\;
|
|
|
+\frml{d},\;\;\;\exists\frml{c}\left(\frml{c}'+\frml{a}=\frml{b}\right)\OLimpl
|
|
|
+\neg\frml{a}=\frml{b}+\frml{d}
|
|
|
+\end{equation*}
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+\section{Правила преобразования}
|
|
|
+\label{sec:19-transformation_rules}
|
|
|
+
|
|
|
+В этом параграфе мы введём дальнейшие метаматематические определения (называемые
|
|
|
+\emph{дедуктивными правилами}, или \emph{правилами преобразования}), которые
|
|
|
+превращают формальную систему в дедуктивную теорию. Чтобы подчеркнуть аналогию с
|
|
|
+содержательной теорией, мы начнём с перечня <<постулатов>>; однако для
|
|
|
+метаматематики они являются не постулатами в смысле допущений, каковыми они
|
|
|
+действительно не могут быть, поскольку официально они не имеют смысла, а только
|
|
|
+формулами и формами (или схемами), к которым мы будем прибегать, давая
|
|
|
+определения.
|
|
|
+
|
|
|
+Прежде чем приводить этот перечень постулатов, мы рассмотрим типы постулатов,
|
|
|
+которые в нём встречаются. Простейший тип есть ,,аксиома``~---~примером этого
|
|
|
+типа служит <<${\neg\frml{a}'=0}$>>. Это~---~формула нашей формальной системы.
|
|
|
+Затем имеется ,,форма аксиом`` или ,,схема аксиом``, примером которой
|
|
|
+служит~<<${\infr{B}\OLimpl\infr{A}\vee\infr{B}}$>>. Это~---~метаматематическое
|
|
|
+выражение, которое даёт конкретную аксиому каждый раз, когда выбраны формулы,
|
|
|
+представляемые метаматематическими буквами~<<$\infr{A}$>>~и~<<$\infr{B}$>>.
|
|
|
+Например, если $\infr{A}$~есть~${\frml{a}'=0}$‚ а
|
|
|
+$\infr{B}$~есть~${\neg\frml{a}'=0}$‚ получаем
|
|
|
+аксиому~${\neg\frml{a}'=0\OLimpl\frml{a}'=0\vee\neg\frml{a}'=0}$. Таким образом,
|
|
|
+эта схема аксиом является метаматематическим методом для описания бесконечного
|
|
|
+класса аксиом, имеющих общую форму.
|
|
|
+
|
|
|
+Нам нужны также постулаты другого рода, формализующие операции вывода дальнейших
|
|
|
+теорем из аксиом. Это~---~,,правила вывода``, например:
|
|
|
+\begin{equation*}
|
|
|
+\frac{\infr{A},\infr{A}\OLimpl\infr{B}}{\infr{B}}\text{.}
|
|
|
+\end{equation*}
|
|
|
+
|
|
|
+stub
|
|
|
|
|
|
\chapter{Формальный вывод}
|
|
|
\label{chap:v-formal_deduction}
|
|
|
@@ -672,6 +1016,16 @@ stub
|
|
|
|
|
|
stub
|
|
|
|
|
|
+\begin{SCEnvWLabel}{Исчисление предикатов с постулированным правилом %
|
|
|
+подстановки.}{spar:p37-predicate_calculus_with_a_postulated_substitution_rule}%
|
|
|
+{spar:p37-predicate_calculus_with_a_postulated_substitution_rule}
|
|
|
+Также, как исчисление
|
|
|
+высказываний~(\textsection~\ref{sec:30-decision_procedure_interpretation}),
|
|
|
+исчисление предикатов обычно \ldots
|
|
|
+\end{SCEnvWLabel}
|
|
|
+
|
|
|
+stub
|
|
|
+
|
|
|
\chapter{Формальная арифметика}
|
|
|
\label{chap:viii-formal_number_theory}
|
|
|
|
