par 16, chapter 4, part 2

bibliography.bib

@@ -8,6 +8,76 @@
     pagetotal = "441",
     keywords = {mainBibliography,addedByTranslator,firstItemOfTheAuthor}
 }
+%======= Бернaйc ===============================================================
+@XData{bernays, author = "Бернайс", nameaddon="(Bernays Paul)", }
+% TODO: уточнить, а "8" это вообще что??? Пока запишем как том
+@article{bernays1935,
+    xdata = {bernays},
+    title = "{Sur le platonisme dans les math{\'e}matiques}",
+    journal = "L'Enseignement  math{\'e}matique",
+    number = "32",
+    volume = "8",
+    pages = "52-69",
+    year = "1935",
+    keywords = {mainBibliography,firstItemOfTheAuthor}
+}
+@book{bernays1935a,
+    xdata = {bernays},
+    title = "{Hilberts Untersuchungen {\"u}ber die Grundlagen der Arithmetik.
+    David Hilbert Gesammelte Abhandlungen}",
+    volume = "3",
+    location = "Berlin",
+    pages = "196-216",
+    year = "1935",
+    pubstate = "1935a",
+    sortyear = "1936",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@article{bernays1937-1954,
+    xdata = {bernays},
+    title = "{A system of axiomatic set theory}",
+    journal = "The Journal of Symbolic Logic",
+    pubstate = "1937--1954",
+    year = "1937",
+    sortyear = "1937",
+    addendum = "2~(1937),~65--77; 6~(1941),~1--17;
+    7~(1942),~65--89 и~133--145; 8~(1943),~89--106; 13~(1948),~65--79;
+    19~(1954)",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@book{bernays1936,
+    xdata = {bernays},
+    title = "{Logical calculus. Записки лекций в Институте Высших Исследований
+    (The Institute for Advanced Study), подготовленные с помощью
+    Фиккена~(F.~A.~Ficken)}",
+    location = "Princeton,~N.~J.",
+    publisher = "Mimeographed. Inst. for Adv. Study",
+    year = "1936",
+    pagetotal = "125~pp.",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@book{bernays1938,
+    xdata = {bernays},
+    title = "{Sur les questions m{\'e}todologiques actuelles de la th{\'e}orie
+    hilbertienne de la d{\'e}monstration. Les entretiens de Zurich sur les
+    fondements et la m{\'e}thode des sciences math{\'e}matiques,
+    6--9~D{\'e}cembre 1938, Expos{\'e}s et discussions, опубликованные
+    Ф.~Гонсетом}",
+    location = "Zurich",
+    publisher = "Leemann",
+    year = "1941",
+    pubstate = "1938",
+    sortyear = "1938",
+    pages = "144-152",
+    addendum = "Дискуссия на стр.~153--161.",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@article{bernays2020,
+    xdata = {bernays},
+    pubstate = "См.~также \citeref{hilbert_and_bernays1934}",
+    sortyear = "2020",
+    keywords = {mainBibliography,onlyReference}
+}
 %======= Бернштейн =============================================================
 @article{bernstein1898,
     author = "Бернштейн", nameaddon = "(Bernstein Felix)",
@@ -1285,19 +1355,7 @@
     addendum = "Berichtigung, ibid., 155 (1926), 128.",
     keywords = {mainBibliography,firstItemOfTheAuthor}
 }
-@article{bernays1937-1954,
-    author = "Бернайс",
-    nameaddon = "(Bernays Paul)",
-    title = "{A system of axiomatic set theory}",
-    journal = "The Journal of Symbolic Logic",
-    pubstate = "1937--1954",
-    year = "1937",
-    sortyear = "1937",
-    addendum = "2~(1937),~65--77; 6~(1941),~1--17;
-    7~(1942),~65--89 и~133--145; 8~(1943),~89--106; 13~(1948),~65--79;
-    19~(1954)",
-    keywords = {mainBibliography,firstItemOfTheAuthor}
-}
+
 @book{novikov1951,
     author = "П. С. Новиков",
     title = "{О непротиворечивости некоторых положений дескриптивной теории
@@ -1466,19 +1524,6 @@
     sortyear = "1933",
     keywords = {mainBibliography,firstItemOfTheAuthor}
 }
-@book{bernays1935a,
-    author = "Бернайс",
-    nameaddon = "(Bernays Paul)",
-    title = "{Hilberts Untersuchungen {\"u}ber die Grundlagen der Arithmetik.
-    David Hilbert Gesammelte Abhandlungen}",
-    volume = "3",
-    location = "Berlin",
-    pages = "196-216",
-    year = "1935",
-    pubstate = "1935a",
-    sortyear = "1936",
-    keywords = {mainBibliography,firstItemOfTheAuthor}
-}
 
 @book{neumann1947,
     author = "Нейман",
@@ -1533,40 +1578,23 @@
     keywords = {mainBibliography,addedByTranslator,firstItemOfTheAuthor}
 }
 
-% TODO: уточнить, а "8" это вообще что??? Пока запишем как том
-@article{bernays1935,
-    author = "Бернайс",
-    nameaddon = "(Bernays Paul)",
-    title = "{Sur le platonisme dans les math{\'e}matiques}",
-    journal = "L'Enseignement  math{\'e}matique",
-    number = "32",
-    volume = "8",
-    pages = "52-69",
-    year = "1935",
-    keywords = {mainBibliography,firstItemOfTheAuthor}
-}
-
-@book{bernays1938,
-    author = "Бернайс",
-    nameaddon = "(Bernays Paul)",
-    title = "{Sur les questions m{\'e}todologiques actuelles de la th{\'e}orie
-    hilbertienne de la d{\'e}monstration. Les entretiens de Zurich sur les
-    fondements et la m{\'e}thode des sciences math{\'e}matiques,
-    6--9~D{\'e}cembre 1938, Expos{\'e}s et discussions, опубликованные
-    Ф.~Гонсетом}",
-    location = "Zurich",
-    publisher = "Leemann",
-    year = "1941",
-    pubstate = "1938",
-    sortyear = "1938",
-    pages = "144-152",
-    addendum = "Дискуссия на стр.~153--161.",
+%% TODO: разобраться с годом и проверить соответствие шрифтов формул в аддендуме
+@article{gentzen1934-1935,
+    author = "Генцен",
+    nameaddon = "(Gentzen Gerhard)",
+    title = "{Untersuchungen {\"u}ber das logische Schliessen}",
+    journal = "Mathematische Zeitschrift",
+    number = "39",
+    pages = "176--210, 405--431",
+    pubstate = "1934--1935",
+    year = "1934",
+    addendum = "Не считая мелких отличий в понятии формулы, а для систем
+    гильбертовского типа в точном выборе постулатов, наша классическая
+    <<формальная система~$H$>> для исчисления
+    предикатов~(см.~\textsection~\ref{sec:77-gentzen_s_formal_system}) является
+    тем же, что и~<<Kalk{\"u}l~${LHK}$>> Генцена, наша
+    интуиционистская~<<$H$>>~---~его~<<${LHJ}$>>, наша
+    классическая~<<${G1}$>>~---~его~<<${LK}$>> и наша
+    интуиционистская~<<${G1}$>>~---~его~<<${LJ}$>>.",
     keywords = {mainBibliography,firstItemOfTheAuthor}
 }
-@article{bernays2020,
-    author = "Бернайс",
-    nameaddon = "(Bernays Paul)",
-    pubstate = "См.~также \citeref{hilbert_and_bernays1934}",
-    sortyear = "2020",
-    keywords = {mainBibliography,onlyReference}
-}

bookvvmrus.bbx

@@ -1031,7 +1031,10 @@
 \renewbibmacro*{title}{%
     \ifboolexpr{test {\iffieldundef{title}} and test {\iffieldundef{subtitle}}}
         {}
-        {\printfield{title}\newunit}%
+        {\printfield[titlecase]{title}%
+            \setunit{\subtitlepunct}%
+            \printfield[titlecase]{subtitle}}%
+        %{\printfield{title}\newunit}%
     \printfield{titleaddon}}
 
 %%==============================================================================

notation_defs.tex

@@ -12,7 +12,7 @@
 \newcommand{\simN}[1]{\hm{\overset{#1}{\sim}}}%       эквивалентность с номером
 \newcommand{\alephZero}{\mathbf{\aleph}_{0}}%         алеф-ноль
 \newcommand{\setOfSets}[1]{\text{\textsf{\textbf{#1}}}}% множество множеств
-\newcommand{\lamcalc}{$\mathrm{\uplambda}$\nobreakdash}%           прямая лямбда
+\newcommand{\lamcalc}{$\mathrm{\uplambda}$\nobreakdash}% прямая лямбда
 %
 % соответствие старой нотации новой нотации
 % обратите внимание на символ булеана - \OLpowerset
@@ -37,22 +37,28 @@
 \newcommand{\OLRealNumSet}{\olNt{R}{\mathbb{R}}}%    вещественные числа
 \newcommand{\OLsup}{\olNt{\text{н.~в.~г. }}{\sup}}%  супремум
 \newcommand{\OLinf}{\olNt{\text{н.~н.~г. }}{\inf}}%  инфимум
-\newcommand{\OLepsilon}{\olNt{\mathbf{e}}{\boldsymbol{\varepsilon}}}%  инфимум
+\newcommand{\OLepsilon}%                             эпсилон
+    {\olNt{\mathbf{e}}{\boldsymbol{\varepsilon}}}
 \newcommand{\OLlambda}[2]%                           лямбда-исчисление
     {\olNt{\mathrm{\uplambda} #1\;\,#2}{\mathrm{\uplambda} #1\,.\, #2}}
-%% TODO: стоит рассмотреть введение отдельного знака порядка \prec
-%% начиная с разд.6
 \newcommand{\OLprec}{\olNt{<}{\prec}}%               порядок
-\newcommand{\OLpreceq}{\olNt{\leqslant}{\preccurlyeq}}%
-\newcommand{\OLsucc}{\olNt{>}{\succ}}%
-\newcommand{\OLsucceq}{\olNt{\geqslant}{\succcurlyeq}}%
-\newcommand{\OLprecB}{\olNt{\boldsymbol{<}}{\boldsymbol{\prec}}}% порядок R
-\newcommand{\OLpreceqB}%
-    {\olNt{\boldsymbol{\leqslant}}{\boldsymbol{\preccurlyeq}}}%
-\newcommand{\OLsuccB}{\olNt{\boldsymbol{>}}{\boldsymbol{\succ}}}%
-\newcommand{\OLsucceqB}%
-    {\olNt{\boldsymbol{\geqslant}}{\boldsymbol{\succcurlyeq}}}%
-\newcommand{\OLand}{\olNt{\&}{\wedge}}%              логическое И
+\newcommand{\OLpreceq}%                              предшественник
+    {\olNt{\leqslant}{\preccurlyeq}}%
+\newcommand{\OLsucc}{\olNt{>}{\succ}}%               последователь
+\newcommand{\OLsucceq}%                              последователь или равен
+    {\olNt{\geqslant}{\succcurlyeq}}%
+\newcommand{\OLprecB}%                               предшественник болд
+    {\olNt{\boldsymbol{<}}{\boldsymbol{\prec}}}
+\newcommand{\OLpreceqB}%                             предшественник или равен
+    {\olNt{\boldsymbol{\leqslant}}{\boldsymbol{\preccurlyeq}}}%             болд
+\newcommand{\OLsuccB}%                               последователь
+    {\olNt{\boldsymbol{>}}{\boldsymbol{\succ}}}%                            болд
+\newcommand{\OLsucceqB}%                             последователь или равен
+    {\olNt{\boldsymbol{\geqslant}}{\boldsymbol{\succcurlyeq}}}%             болд
+\newcommand{\OLmult}{\olNt{\cdot}{\times}}%          умножение
+\newcommand{\OLand}%                                 логическое И
+    {\olNt{\:\&\:}{\wedge}}% предполагается, что "\:" = \medmuskip = 4mu
+\newcommand{\OLimpl}{\olNt{\supset}{\Rightarrow}}%   импликация
 
 %
 % устаревшее обозначение кардинального числа (мощности множества)

parts/intros.tex

@@ -4,15 +4,15 @@
 
 Хотя математическая логика существует как наука по крайней мере с середины
 прошлого столетия, круг специалистов в этой области невелик и результаты её
-известны недостаточно широко. Однако за последние десятилетия --- и в
-особенности начиная с 1930~г. --- в ней были сделаны важнейшие открытия и
+известны недостаточно широко. Однако за последние десятилетия~---~и в
+особенности начиная с 1930~г.~---~в ней были сделаны важнейшие открытия и
 развитие её приняло настолько бурный характер, что теперь трудно уже охватить
 все полученные результаты одной монографией, во всяком случае, такая монография
 до сих пор никем не написана. Имеются всё же две монографии, которые играют
-ведущую роль в мировой литературе по математической логике, --- это книга
+ведущую роль в мировой литературе по математической логике,~---~это книга
 Гильберта и Бернайса <<Grundlagen der Mathematik>> (т.~I~---~1934~г.,
 т.~II~---~1939~г.) и предлагаемая вниманию читателя более современная книга
-Клини <<Введение в метаматематику>> (1952~г.).
+Клини <<Введение в метаматематику>>~(1952~г.).
 
 Написанная одним из крупнейших специалистов, книга Клини содержит очерк
 современного состояния оснований математики и возникших в этой связи основных
@@ -22,7 +22,7 @@
 математике. Однако подробное проведение всех опущенных автором деталей
 доказательств требует некоторой тренировки (которую, впрочем, можно приобрести в
 процессе тщательного изучения этой книги). Таким образом, книгу можно
-рекомендовать и начинающему --- при условии, что он не боится трудностей.
+рекомендовать и начинающему~---~при условии, что он не боится трудностей.
 Читателю, уже знакомому с излагаемым материалом, книга будет полезна не только
 благодаря оригинальности изложения и обилию тонких замечаний, но и потому, что
 она может служить удобным библиографическим источником.
@@ -31,7 +31,7 @@
 читаться независимо от остальных частей и служить руководством для изучения
 теории рекурсивных функций, более сжатым и потому более трудным, чем выпущенная
 недавно Издательством иностранной литературы книга Р.~Петер <<Рекурсивные
-функции>>, (1951~г.). Третья часть книги Клини содержит более полное изложение
+функции>>, (1951~г.; Третья часть книги Клини содержит более полное изложение
 теории обще-рекурсивных функций и вовсе отсутствующую у Петер теорию
 частично-рекурсивных функций, но зато монография Петер богаче материалом,
 связанным с примитивными рекурсиями).
@@ -77,21 +77,44 @@
 {\setlength{\tabcolsep}{0cm}
 \begin{tabular}{lllllllllllllllllllll}
 Курсив\hspace*{1.5em}&%
-$a$,\hspace*{.25em}&$b$,\hspace*{.25em}&$c$,\hspace*{.25em}&$d$,\hspace*{.25em}&
-$e$,\hspace*{.25em}&$f$,\hspace*{.25em}&$g$,\hspace*{.25em}&$h$,\hspace*{.25em}&
-$i$,\hspace*{.25em}&\ldots,\hspace*{.25em}&%
-$l$,\hspace*{.25em}&$m$,\hspace*{.25em}&$n$,\hspace*{.25em}&$p$,\hspace*{.25em}&
-$r$,\hspace*{.25em}&$s$,\hspace*{.25em}&\ldots,\hspace*{.25em}&%
+$a$,\hspace*{.25em}&$b$,\hspace*{.25em}&
+$c$,\hspace*{.25em}&$d$,\hspace*{.25em}&
+$e$,\hspace*{.25em}&$f$,\hspace*{.25em}&
+$g$,\hspace*{.25em}&$h$,\hspace*{.25em}&
+$i$,\hspace*{.25em}&%
+\ldots,\hspace*{.25em}&%
+$l$,\hspace*{.25em}&$m$,\hspace*{.25em}&
+$n$,\hspace*{.25em}&$p$,\hspace*{.25em}&
+$r$,\hspace*{.25em}&$s$,\hspace*{.25em}&%
+\ldots,\hspace*{.25em}&%
 $x$,\hspace*{.25em}&$y$,\hspace*{.25em}&$z$\\
 Плантин\hspace*{1.5em}%
 &$\mathit{a}$,&$\mathit{b}$,&$\mathit{c}$,&$\mathit{d}$,&$\mathit{e}$,%
-&$\mathit{f}$,&$\mathit{g}$,&$\mathit{h}$,&$\mathit{i}$,&\ldots,%
+&$\mathit{f}$,&$\mathit{g}$,&$\mathit{h}$,&$\mathit{i}$,&%
+\ldots,%
 &$\mathit{l}$,&$\mathit{m}$,&$\mathit{n}$,&$\mathit{p}$,&$\mathit{r}$,%
-&$\mathit{s}$,&\ldots,&$\mathit{x}$,&$\mathit{y}$,&$\mathit{z}$
+&$\mathit{s}$,&%
+\ldots,%
+&$\mathit{x}$,&$\mathit{y}$,&$\mathit{z}$
 \end{tabular}}
 
-(Плантин употребляется для обозначения формальных переменных, а курсив --- для
-содержательных.)
+(Плантин употребляется для обозначения формальных переменных, а
+курсив~---~для содержательных.)
+%%
+%% Пока что в предыдущих абзацах сохранено оригинальное начертание шрифтов
+%% оригинала, но тут явная ошибка: дело в том, во-первых, плантин -- это
+%% семейство сериф-шрифтов; а, во-вторых, начиная с четвёртой главы
+%% действительно используются два шрифта в формулах. Но в целом книге
+%% (и в оригинале тоже) использовано четыре шрифта в формулах:
+%%     - классический математический курсив;
+%%     - прямой болд для обозначения множеств вещественных чисел;
+%%     - неклассический полупрописной курсив, который выше назван плантином;
+%%     - и прямой обычный.
+%% И в четвёртой главе прямым обычным обозначаются содержательные переменные,
+%% а формальные обозначены полупрописным курсивом. Надо разобраться с этой
+%% фразой, вероятно она ошибочна.
+%%
+
 \bigskip
 
 \hfill\textit{А. С. Есенин-Вольпин.}
@@ -128,7 +151,7 @@ $x$,\hspace*{.25em}&$y$,\hspace*{.25em}&$z$\\
 
 Книга написана с таким расчётом, чтобы она могла служить учебником для
 аспирантов-математиков первого года обучения\footnote{First year graduate
-students in mathematics. --- \textit{Прим. перев.}} (и старше) и для других лиц,
+students in mathematics.~---~\textit{Прим.~перев.}} (и старше) и для других лиц,
 достигших этого уровня владения математикой, независимо от их познаний в том или
 ином разделе математики.
 
@@ -180,4 +203,4 @@ students in mathematics. --- \textit{Прим. перев.}} (и старше)
 Mathematik>> в двух томах, 1934~и~1939~гг.
 \bigskip
 
-{\small\noindent Июль~1952~г.}\hfill\textit{С.~К.~Клини.}
+{\small\noindent Июль~1952~г.}\hfill\textit{С.~К.~Клини.}

parts/part1-the_problems_of_foundations.tex

@@ -1523,8 +1523,7 @@ ${0'=1}$~и~${1'=0}$. Это будет так называемая систем
 (Системы вычетов впервые были рассмотрены Гауссом в 1801 г.)
 
 Третий пример. Пусть~$S$ состоит из двух последовательностей
-{\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}%
-\begin{equation}\label{eq:p8-1}
+\begin{equation}\label{eq:p8-1}\tag{1}
 0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots\text{;}\quad\quad
 \omega,\;\omega+1,\;\omega+2,\;\omega+3,\;\ldots\text{,}
 \end{equation}
@@ -1539,7 +1538,7 @@ ${0'=1}$~и~${1'=0}$. Это будет так называемая систем
 система типа~${(D,\OLprec)}$. В третьем примере мы при этом будем рассматривать
 элементы в порядке, показанном в строке~\eqref{eq:p8-1}, и называть их
 \emph{ординальными числами}, \emph{м{\'e}ньшими чем}~$2\omega$ (из канторовской
-теории ординальных чисел).}
+теории ординальных чисел).
 
 Система вычетов по модулю~$2$ или её представление) не изоморфна натуральному
 ряду (или его представлению), так как между обеими этими
@@ -1740,12 +1739,12 @@ L3.\itemlabel{axiom:p8-l3}{L3}~Имеет место по крайней мер
 упорядоченных пар натуральных чисел).
 
 В \emph{арифметике в узком смысле} рассматриваются главным образом конкретные
-операции, именуемые $+$~(сложение)~и~$\cdot$~(умножение), а иногда также
+операции, именуемые $+$~(сложение)~и~$\OLmult$~(умножение), а иногда также
 некоторые другие связанные с ними операции. В \emph{арифметике в широком
 смысле}, или \emph{теории чисел}, используется более широкий класс понятий.
 
 Эти определения мы привели для разъяснения нашей терминологии. Иногда
-термин <<арифметика>> употребляется и по отношению к теории операций 
+термин <<арифметика>> употребляется и по отношению к теории операций
 $+$~и~$\cdot$ для несчётных систем чисел (например, ,,арифметика трансфинитных
 кардинальных чисел``).
 

parts/part2-mathematical_logic.tex

@@ -1,17 +1,280 @@
 \part{Математическая логика}
 \label{part:II-mathematical_logic}
 
+%% ======================= Страница 67 =======================
+
 \chapter{Формальная система}
 \label{chap:iv-a_formal_system}
 
 \section{Формальные символы}
 \label{sec:16-formal_symbols}
 
-stub
-
-\section{Правила преобразования}
+Введём теперь некоторую конкретную формальную систему. Система, описываемая в
+этой главе, явится предметом рассмотрения в четырёх последующих главах и в части
+дальнейших глав. Эта система представляет собой формализацию некоторой части
+классической элементарной теории чисел и включает необходимую для этого логику.
+
+При построении системы мы использовали следующие работы: Гильберт и
+Аккерман~\cite{hilbert_and_ackerman1928}, Гильберт и
+Бернайс~\cite{hilbert_and_bernays1934,hilbert_and_bernays1939},
+Генцен~\cite{gentzen1934-1935}, Бернайс~\cite{bernays1936} и некоторые другие не
+столь явные источники.
+
+Возможны два аспекта нашей задачи. Либо должна быть описана и исследована сама
+формальная система~---~финитными методами и без использования
+какой\nobreakdash-нибудь её интерпретации~---~это будет метаматематика; либо
+должна быть найдена интерпретация системы, в силу которой эта система окажется
+формализацией арифметики.
+
+Возможен подход, при котором подчёркивается второй аспект, а именно, можно
+анализировать существующую неформальную математику, выбирая и фиксируя основные
+концепции, предположения и дедуктивные связи, и таким образом прийти в конце
+концов к формальной системе.
+
+Здесь, однако, мы вместо этого будем с самого начала подчёркивать первый аспект.
+Формальная система будет введена сразу во всей её законченной многосложности, и
+в метаматематических исследованиях мы только при случае будем обращать внимание
+на интерпретацию. Мы рекомендуем читателю сосредоточиться на внимательном
+изучении того, что представляет собой формальная система и как она исследуется.
+Интерпретация и основания, по которым при построении этой конкретной системы был
+сделан тот или иной выбор, будут постепенно выявляться по мере дальнейшего
+изложения.
+
+Первый шаг при установлении формальной системы состоит в перечислении
+\emph{формальных символов}. Перечень формальных символов структурно аналогичен
+алфавиту языка, хотя при интерпретации многие из формальных символов
+соответствуют скорее целым словам и фразам, чем отдельным буквам. Перечень
+формальных символов таков:
+
+\emph{Логические символы}:~$\OLimpl$~(влечёт), $\OLand$~(и), $\vee$~(или),
+$\neg$~(не), $\forall$~(для всех), $\exists$~(существует). \emph{Символы
+предикатов}:~$=$~(равняется). \emph{Символы функций}:~$+$~(плюс),
+$\OLmult$~(умножить на), $'$~(следующее за).
+\emph{Индивидуальные символы}:~$0$~(нуль).
+\emph{Переменные}:~${\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c},\ldots}$.
+\emph{Скобки}:~${(,)}$.
+
+Слова, указанные в скобках, могут применяться при чтении этих символов и
+предназначаются для предварительного указания интерпретаций, например,
+интерпретации логических символов как ,,логических констант``. Переменные
+считаются пробегающими натуральные числа. Предполагается, что
+(потенциально,~ср.~\textsection~\ref{sec:13-intuitionism}) имеется налицо
+бесконечный перечень или нумерация переменных.
+
+%% ======================= Страница 68 =======================
+
+Мы повторяем, что интерпретации не существенны при описании формальной системы
+как таковой. Должна иметься возможность рассматривать формальные символы как
+простые знаки, а не как символы, которые что\nobreakdash-либо означают.
+Предполагается только, что мы умеем распознавать каждый формальный символ как
+тот же самый при каждом из его вхождений и отличать его от всех других
+формальных символов. В частности, предполагается, что мы умеем распознавать
+переменные.
+
+Формальные символы образуют первую категорию формальных объектов. Исходя из них,
+мы получаем вторую категорию путём построения конечных последовательностей
+вхождений формальных символов. Эти последовательности мы будем называть
+\emph{формальными выражениями}. Употреблённое только что слово <<вхождение>>
+означает, что члены последовательности рассматриваются именно в качестве членов,
+т.~е. подчёркивает то обстоятельство, что различные члены могут быть одним и тем
+же символом (что согласуется с нашим прежним употреблением термина
+,,последовательность``,
+см.,~например,~\textsection\textsection~\ref{sec:1-enumerable_sets},~%
+\ref{sec:2-cantor_s_diagonal_method}). К формальным выражениям относятся также
+выражения, состоящие из единственного (вхождения) формального символа. Если не
+оговорено противное, пустая последовательность (не имеющая членов) не будет
+рассматриваться как формальное выражение. Например,
+$0$,~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$‚ ${(\mathit{a})=(0)}$
+и~${((0\forall 00=}$~являются формальными выражениями. Последнее из них состоит
+из семи (вхождений) символов, т.~е. имеет семь членов; третье, пятое и шестое
+вхождения символов в это формальное выражение являются каждое вхождением~$0$;
+различные входящие в него символы~---~это~$($,~$0$,~$\forall$‚~$=$. Формальные
+выражения структурно аналогичны словам языка, но при интерпретации некоторые из
+них соответствуют целым предложениям, например~${(\mathit{a})=(0)}$‚ а другие не
+имеют смысла, например~${((0\forall 00=}$. Здесь снова наша терминология
+указывает на то обстоятельство, что для формальной системы как таковой выражения
+ничего не выражают, а являются только некоторыми распознаваемыми и различимыми
+объектами.
+%%
+%% исправлена опечатка в оригинале было
+%% "третье, пятое и шестое вхождение символов"
+%%
+
+Мы будем также употреблять в качестве третьей категории формальных объектов
+конечные последовательности (вхождений) формальных выражений.
+
+В рассуждениях о формальных объектах мы часто будем не выписывать их, а
+представлять (т.~е. обозначать) вводимыми для этой цели буквами или же
+выражениями, содержащими уже введённые таким образом буквы. Например,
+буква~<<$\mathrm{s}$>> может представлять формальное
+выражение~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$‚ а
+буква~<<$\mathrm{A}$>>~---~представлять~${(\mathit{a})=(0)}$. Читатель очень
+скоро встретит и другие примеры.
+
+Употребляемые таким образом буквы и выражения являются не формальными символами
+и выражениями, а содержательными, или метаматематическими, символами и
+выражениями, которые играют роль названий формальных объектов. Здесь, по
+сравнению с обычным неформальным употреблением символизма, имеется новая
+черта~---~называемые объекты являются, в свою очередь, символами или объектами,
+построенными из символов. Мы должны, таким образом, проводить различие между
+символизмами двух родов~---~формальным символизмом, о котором мы говорим, и
+интуитивным или метаматематическим символизмом, которым мы говорим о другом
+символизме. Для каждого из этих символизмов мы будем пользоваться различными
+шрифтами~(${\mathit{a},\mathit{b},\mathit{t},\mathit{x},\mathcal{A},\mathcal{B}}$
+и~${\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{t},\mathrm{x},\mathrm{A},\mathrm{B}}$), что
+поможет нам непосредственно выражать это обстоятельство.
+
+Использование символов и выражений в качестве названий предметов, о которых мы
+говорим, не является чем\nobreakdash-либо новым; именно такова наша повседневная
+практика построения фразы о каком\nobreakdash-либо предмете. Новым, однако,
+является другой процесс, которым мы отчасти пользуемся в
+метаматематике‚~---~вставление самого предмета, т.~е. экземпляра этого предмета,
+непосредственно в предложение. Хотя этим и нарушаются обычные грамматические
+каноны, в метаматематике это не приводит к недоразумениям, потому что в
+метаматематике нам приходится рассматривать формальные символы как не имеющие
+%% ======================= Страница 69 =======================
+смысла, и потому формальные объекты не могут служить названиями для других
+объектов, а предложение, содержащее экземпляр формального объекта, может
+говорить только о самом этом формальном объекте.
+
+Эти замечания относятся к нашей метаматематике. Далее
+в~\ref{secdbl:interpretation-0}, мы сможем придать формальным символам
+содержательное истолкование, рассматривая их как имеющие смысл.
+
+При метаматематическом изучении формальных выражений мы будем пользоваться
+операцией \emph{соединения} (или \emph{сочленения}), посредством которой две или
+более последовательности формальных символов соединяются последовательно,
+образуя новую последовательность. Например, сочленение двух формальных выражений
+${((0\forall 00=}$~и~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$ в указанном порядке образует
+новое формальное выражение~${((0\forall 00=(\mathit{a})+(\mathit{b})}$, а
+сочленение семи формальных выражений~$($‚~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$‚~$)$,~%
+$\OLmult$‚~$($‚~${(\mathit{c})'}$‚~$)$ в указанном порядке образует новое
+формальное выражение~${\left((\mathit{a})+(\mathit{b})\right)\OLmult%
+                       \left((\mathit{c})'\right)}$.
+
+Если некоторые из подлежащих сочленению формальных выражений представлены
+метаматематическими буквами или выражениями, то последние могут употребляться в
+записи результата сочленения вместо представляемых ими формальных выражений.
+Например, если буква <<$\mathrm{s}$>> представляет некоторое формальное
+выражение, то результат сочленения семи формальных
+выражений~$($‚~$\mathrm{s}$‚~$)$,~$\OLmult$‚~$($‚~${(\mathit{c})'}$‚~$)$
+записывается так:~<<${(\mathrm{s})\OLmult\left((\mathit{c})'\right)}$>>. Здесь
+<<${(\mathrm{s})\OLmult\left((\mathit{c})'\right)}$>>~есть метаматематическое
+выражение, представляющее формальное выражение, и это формальное выражение
+зависит от того, какое формальное выражение представляет буква~<<$\mathrm{s}$>>.
+В частности, если $\mathrm{s}$~есть~${(\mathit{a})+(\mathit{b})}$, то
+${(\mathrm{s})\OLmult\left((\mathit{c})'\right)}$~есть~%
+${\left((\mathit{a})+(\mathit{b})\right)\OLmult\left((\mathit{c})'\right)}$.
+
+\section{Правила образования}
 \label{sec:17-formation_rules}
 
+Мы теперь определим некоторые подкатегории формальных выражений посредством
+определений, аналогичных правилам синтаксиса в грамматике.
+
+Сначала определим ,,терм``‚ который аналогичен существительному в грамматике.
+Термы рассматриваемой системы все представляют натуральные числа, фиксированные
+или переменные. Определение формулируется с помощью метаматематических
+переменных <<$\mathrm{s}$>>~и~<<$\mathrm{t}$>> и описанной выше операции
+сочленения. Оно имеет вид индуктивного определения, что позволяет нам переходить
+от уже известных термов к дальнейшим.
+
+1.\itemlabel{listItem:p17-list1-1}{1}~$0$~есть \emph{терм}.
+2.\itemlabel{listItem:p17-list1-2}{2}~Каждая переменная есть \emph{терм}.
+3--5.%
+\itemlabel{listItem:p17-list1-3}{3}%
+\itemlabel{listItem:p17-list1-4}{4}%
+\itemlabel{listItem:p17-list1-5}{5}~Если
+$\mathrm{s}$~и~$\mathrm{t}$~---~\emph{термы}, то
+${(\mathrm{s})+(\mathrm{t})}$‚ ${(\mathrm{s})\OLmult(\mathrm{t})}$ и
+${(\mathrm{s})'}$~---~\emph{термы}.
+6.\itemlabel{listItem:p17-list1-6}{6}~ Никаких других \emph{термов}, кроме
+определённых согласно~\ref{listItem:p17-list1-1}--\ref{listItem:p17-list1-5},
+нет.
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex1.}{exmpl:p17-1}{exmpl:p17-1}
+В силу \ref{listItem:p17-list1-1}~и~\ref{listItem:p17-list1-2}, термами
+являются~$0$, $\mathit{a}$, $\mathit{b}$ и~$\mathit{c}$. Поэтому, в
+силу~\ref{listItem:p17-list1-5}, ${(0)'}$~и~${(\mathit{c})'}$ являются термами.
+Снова в силу~\ref{listItem:p17-list1-5}, ${\left((0)'\right)'}$~есть~терм, а в
+силу~\ref{listItem:p17-list1-3},
+${\left((\textit{c})'\right)+(\mathit{a})}$~есть терм.
+\end{SCEnvWLabel}
+
+Теперь дадим определение ,,формулы``~---~аналога (повествовательного)
+предложения в грамматике.
+
+1.\itemlabel{listItem:p17-list2-1}{1}~Если
+$\mathrm{s}$~и~$\mathrm{t}$~---~термы, то
+${(\mathrm{s})=(\mathrm{t})}$~---~\emph{формула}.
+2--5.%
+\itemlabel{listItem:p17-list2-2}{2}%
+\itemlabel{listItem:p17-list2-3}{3}%
+\itemlabel{listItem:p17-list2-4}{4}%
+\itemlabel{listItem:p17-list2-5}{5}~Если
+$\mathrm{A}$~и~$\mathrm{B}$~---~\emph{формулы}, то
+${(\mathrm{A})\OLimpl(\mathrm{B})}$,
+${(\mathrm{A})\OLand(\mathrm{B})}$,
+${(\mathrm{A})\vee(\mathrm{B})}$ и
+${\neg(\mathrm{A})}$~---~\emph{формулы}.
+6--7.%
+\itemlabel{listItem:p17-list2-6}{6}%
+\itemlabel{listItem:p17-list2-7}{7}~Если $\mathrm{x}$~---~переменная, а
+$\mathrm{A}$~---~\emph{формула}, то
+${\forall\mathrm{x}(\mathrm{A})}$~и~%
+${\exists\mathrm{x}(\mathrm{A})}$~---~\emph{формулы}.
+8.\itemlabel{listItem:p17-list2-8}{8}~Никаких \emph{формул}, кроме определённых
+согласно~\ref{listItem:p17-list2-1}--\ref{listItem:p17-list2-7}, нет.
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример\kern1ex2.}{exmpl:p17-2}{exmpl:p17-2}
+Используя~\ref{listItem:p17-list2-1} и уже полученные примеры термов, убеждаемся
+в том, что ${(\mathit{a})=(\mathit{b})}$ и~%
+${\left(\left(\left(\mathit{c}\right)'\right)+\left(\mathit{a}\right)\right)=%
+  \left(\mathit{b}\right)}$~---~формулы. Поэтому, в
+силу~\ref{listItem:p17-list2-5}~и~\ref{listItem:p17-list2-7},
+${\neg\left(\left(\mathit{a}\right)=\left(\mathit{b}\right)\right)}$ и %
+${\exists\mathit{c}%
+\left(%
+    \left(%
+        \left(%
+            \left(\mathit{c}\right)'%
+        \right)+%
+        \left(\mathit{a}\right)%
+    \right)=%
+    \left(\mathit{b}\right)%
+\right)}$~---~формулы. Наконец, в силу~\ref{listItem:p17-list2-2}, формулой
+является
+%{\renewcommand{\theequation}{\Alph{equation}}%
+\begin{equation}\label{eq:p17-A}\tag{A}
+\left(
+    \exists\mathit{c}
+    \left(
+        \left(
+            \left(
+                \left(\mathit{c}\right)'
+            \right)+
+            \left(\mathit{a}\right)
+        \right)=
+        \left(\mathit{b}\right)
+    \right)
+\right)\OLimpl
+\left(
+    \neg
+    \left(
+        \left(\mathit{a}\right)=\left(\mathit{b}\right)
+    \right)
+\right)\text{.}
+\end{equation}
+
+%% ======================= Страница 70 =======================
+
+\end{SCEnvWLabel}
+
+
+
+
+
+
 stub
 
 \section{Свободные и связанные переменные}
@@ -83,9 +346,11 @@ stub
 
 stub
 
-\section{Разрешающая процедура, интерпретация}
+\itemlabel{secdbl:interpretation-0}{соответствующем пункте, посвящённом интерпретации (читатель заметит его по заголовку)}%
+\section{Разрешающая процедура, интерпретация}%
 \label{sec:30-decision_procedure_interpretation}
 
+
 stub
 
 \chapter{Исчисление предикатов}