par 10, chapter 2

bibliography.bib

@@ -210,7 +210,7 @@
 @article{hilbert1900,
     author = "Гильберт",
     nameaddon = "(Hilbert David)",
-    title = "{{\:U}ber den Zahlbegriff}",
+    title = "{{\"U}ber den Zahlbegriff}",
     journal = "Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung",
     volume = "8",
     pages = "180-184",
@@ -278,4 +278,24 @@
     location = "Braunschweig",
     addendum = "Также в Dedekind Gesammelte mathematische Werke, vol. III, Braunschweig (Vieweg \& Sohn) 1932, p.315--334 [Русский перевод: {\sparseFnt Дедекинд Р.}, Непрерывность и иррациональные числа, Mathesis, Одесса, 1923.]",
     keywords = {mainBibliography}
+}
+@article{church1932,
+    author = "Чёрч",
+    nameaddon = "(Church Alonzo)",
+    title = "{A set of postulates for the foundation of logic}",
+    journal = "Annals of mathematics, second series",
+    number = "33",
+    pages = "346-366",
+    year = "1932",
+    keywords = {mainBibliography}
+}
+@article{schoenfinkel1924,
+    author = "М. И. Шейнфинкель",
+    nameaddon = "(Sch{\"o}nfinkel Moses)",
+    title = "{{\"U}ber die Bausteine der mathematischen Logik}",
+    journal = "Math. Ann.",
+    number = "92",
+    pages = "305-316",
+    year = "1924",
+    keywords = {mainBibliography}
 }

bookvvmrus.bbx

@@ -67,7 +67,7 @@
   \usebibmacro{bibindex}%
   \usebibmacro{begentry}%
   \usebibmacro{author}\\%
-  \printfield{year}
+  \printfield{year}%
     \ifkeyword{addedByTranslator}{\textdegree}{}.\space%
   \setunit{}\newblock
   \usebibmacro{maintitle+title}%

definitions.tex

@@ -123,6 +123,7 @@
 \newcommand{\simN}[1]{\hm{\overset{#1}{\sim}}}%       эквивалентность с номером
 \newcommand{\alephZero}{\mathbf{\aleph}_{0}}%         алеф-ноль
 \newcommand{\setOfSets}[1]{\text{\textsf{\textbf{#1}}}}% множество множеств
+\newcommand{\lamcalc}{$\mathrm{\uplambda}$\nobreakdash}%            прямая лямбда
 %
 % соответствие старой нотации новой нотации
 % обратите внимание на символ булеана - \OLpowerset
@@ -148,6 +149,9 @@
 \newcommand{\OLsup}{\olNt{\text{н.~в.~г. }}{\sup}}%  супремум
 \newcommand{\OLinf}{\olNt{\text{н.~н.~г. }}{\inf}}%  инфимум
 \newcommand{\OLepsilon}{\olNt{\mathbf{e}}{\boldsymbol{\varepsilon}}}%  инфимум
+\newcommand{\OLlambda}[2]%                           лямбда-исчисление
+    {\olNt{\mathrm{\uplambda} #1\;\,#2}{\mathrm{\uplambda} #1\,.\, #2}}
+
 %
 % устаревшее обозначение кардинального числа (мощности множества)
 % в виде двух горизонтальных черт над буквой обозначающей множество

parts/part1-the_problems_of_foundations.tex

@@ -18,8 +18,9 @@
 деревьев, их можно попарно сопоставить друг другу, например привязав овец к
 деревьям так, что каждая овца и каждое дерево будут принадлежать в точности к
 одной паре. Такое попарное соответствие между элементами двух коллекций или
-,,множеств`` предметов называется взаимно однозначным или \emph{одно-однозначным
-соответствием} \lbrack короче, \emph{\isom-соответствием}\rbrack.
+,,множеств`` предметов называется взаимно однозначным или
+\emph{одно\nobreakdash-однозначным соответствием} \lbrack короче,
+\emph{\isom-соответствием}\rbrack.
 
 В 1638~г. Галилей заметил, что \emph{квадраты целых положительных чисел} могут
 быть поставлены в \isom-соответствие с самими \emph{целыми положительными
@@ -62,7 +63,7 @@
 конечного перечня. Поэтому термин \emph{счётный} иногда применяется к множе%
 %% ======================= Страница 12 =======================
 ствам, которые или являются бесконечными и счётными, т.~е.
-\emph{счётно-бесконечными}, или же конечны.
+\emph{счётно\nobreakdash-бесконечными}, или же конечны.
 
 Множество \emph{целых чисел} может быть пересчитано посредством расположения
 их в следующем порядке:
@@ -73,10 +74,10 @@
 Множество \emph{рациональных чисел} также является счётным, и это обстоятельство
 может показаться удивительным при сравнении их с целыми числами в обычном
 алгебраическом порядке. Точки с целочисленными абсциссами расположены на оси
-$x$-ов изолированно, а точки с рациональными абсциссами --- ,,всюду плотно``,
-т.~е. между любыми двумя сколь угодно близкими из них имеются такие же точки.
-Этот пересчёт может быть выполнен при помощи следующего приёма, который мы
-изложим для \emph{положительных рациональных чисел}, предоставляя случай всех
+$x$\nobreakdash-ов изолированно, а точки с рациональными абсциссами --- ,,всюду
+плотно``, т.~е. между любыми двумя сколь угодно близкими из них имеются такие же
+точки. Этот пересчёт может быть выполнен при помощи следующего приёма, который
+мы изложим для \emph{положительных рациональных чисел}, предоставляя случай всех
 рациональных чисел читателю.
 
 Пусть дроби с положительными числителем и знаменателем расположены в виде
@@ -117,11 +118,11 @@ $x$-ов изолированно, а точки с рациональными
 множества} могут затем быть пересчитаны при помощи повторного применения метода
 матрицы, при котором в качестве строк выбираются уже полученные пересчёты троек
 с фиксированным первым элементом. Повторяя этот приём, можно получить пересчёт
-\emph{упорядоченных $n$-ок элементов счётного множества} для каждого
+\emph{упорядоченных $n$\nobreakdash-ок элементов счётного множества} для каждого
 фиксированного натурального $n$. Все эти пересчёты, включая пересчёт
 первоначального множества, можно выбрать в качестве строк новой матрицы, чтобы
-получить пересчёт упорядоченных $n$-ок для переменного $n$, т.~е. пересчёт
-\emph{конечных последовательностей элементов счётного множества}.
+получить пересчёт упорядоченных $n$\nobreakdash-ок для переменного $n$, т.~е.
+пересчёт \emph{конечных последовательностей элементов счётного множества}.
 
 С помощью этого результата можно получить пересчёт \emph{алгебраических
 уравнений}
@@ -651,8 +652,9 @@ ${M_{1}=M}$. Иначе говоря, \emph{конечное множество
 Множество, не являющееся конечным, мы будем называть \emph{бесконечным}, а его
 кардинальное число --- \emph{бесконечным} или \emph{трансфинитным кардинальным
 числом}. Кардинальное число множества всех натуральных чисел, а следовательно, и
-каждого счётно-бесконечного множества~(\textsection~\ref{sec:enumerable_sets})
-мы будем называть $\alephZero$ (читается <<алеф-нуль>>).
+каждого счётно\nobreakdash-бесконечного
+множества~(\textsection~\ref{sec:enumerable_sets}) мы будем называть
+$\alephZero$ (читается <<алеф-нуль>>).
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Следствие B.}{theorem:A-corollary-B}{B}
 \emph{Если} $n$ --- \emph{конечное кардинальное число}, \emph{то}
@@ -673,7 +675,8 @@ ${n=\alephZero}$ даёт ${n+1\leqslant n}$, в противоречие с ${n
 \end{SCEnvWLabel}
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Теорема B.}{theorem:B}{B}
-\emph{Всякое бесконечное множество} $M$ \emph{имеет счётно-бесконечное подмножество}.
+\emph{Всякое бесконечное множество} $M$ \emph{имеет
+счётно\nobreakdash-бесконечное подмножество}.
 \end{SCEnvWLabel}
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Доказательство.}{theorem:B-proof}{B-proof}
@@ -682,7 +685,10 @@ ${n=\alephZero}$ даёт ${n+1\leqslant n}$, в противоречие с ${n
 ${M\OLsetminus\{ a_{0}\}}$ непусто, так как в противном случае $M$ имело бы
 конечное кардинальное число $1$. Поэтому в $M$ имеется другой элемент $a_{1}$.
 Продолжая таким образом, мы выберем различные элементы $a_{0}$,~$a_{1}$,~%
-$a_{2}$,~$a_{3}$,~$\ldots$, соответствующие натуральным числам $0$,~$1$,~$2$,~$3$,~$\ldots$, что доказывает теорему. Если $P$ есть множество ${M\OLsetminus\{ a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\}}$ невыбранных элементов $M$, то
+$a_{2}$,~$a_{3}$,~$\ldots$, соответствующие натуральным числам $0$,~$1$,~$2$,~%
+$3$,~$\ldots$, что доказывает теорему. Если $P$ есть множество
+${M\OLsetminus\{ a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\}}$ невыбранных элементов
+$M$, то
 \begin{equation*}
 M=P\OLcup\{ a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\}\text{.}
 \end{equation*}
@@ -715,8 +721,8 @@ M\OLsetminus\{ a_{0}\}=P\OLcup\{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots\}\text{.}
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Следствие C.}{theorem:B-corollary-C}{B-corollary-C}
 \emph{Кардинальное число любого бесконечного множества} $M$ \emph{не изменяется
-от присоединения к} $M$ \emph{конечного или счётно-бесконечного множества
-элементов}.
+от присоединения к} $M$ \emph{конечного или счётно\nobreakdash-бесконечного
+множества элементов}.
 \end{SCEnvWLabel}
 
 Действительно, новые элементы $b_{0}$,~$b_{1}$,~$b_{2}$,~$b_{3}$,~$\ldots$ можно
@@ -726,14 +732,15 @@ M\OLcup\{ b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots\}=
 P\OLcup\{ a_{0}, b_{0}, a_{1}, b_{1}, \ldots \}\text{.}
 \end{equation*}
 
-Обратно, это следствие утверждает, что удаление счетного множества элементов из
+Обратно, это следствие утверждает, что удаление счётного множества элементов из
 некоторого множества не изменяет кардинального числа при условии, что остающееся
-множество $M$ бесконечно. Если первоначальное множество несчетно, то остающееся
+множество $M$ бесконечно. Если первоначальное множество несчётно, то остающееся
 множество должно быть бесконечным, потому что в противном случае имелся бы
-очевидный пересчет первоначального множества. Итак:
+очевидный пересчёт первоначального множества. Итак:
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Следствие D.}{theorem:B-corollary-D}{D}
-\emph{Кардинальное число несчётного множества не изменится от удаления конечного или счётно-бесконечного подмножества элементов}.
+\emph{Кардинальное число несчётного множества не изменится от удаления конечного
+или счётно\nobreakdash-бесконечного подмножества элементов}.
 \end{SCEnvWLabel}
 %% ======================= Страница 21 =======================
 
@@ -919,11 +926,12 @@ ${\OLcard{M}>\OLcard{N}}$
 
 
 Мы начали с рассмотрения теории Кантора по двум противоположным причинам.
-Во-первых, некоторые идеи и методы, которые в дальнейшем окажутся основными,
-встречаются в ней в их первоначальной и простейшей форме. Во-вторых, в этой
-теории, если её проследить достаточно далеко, обнаруживаются логические
-трудности, которые явятся отправной точкой нашего основного исследования. Это
-будет обнаружено в гл.~\ref{chap:a_critique_of_mathematical_reasons}.
+Во\nobreakdash-первых, некоторые идеи и методы, которые в дальнейшем окажутся
+основными, встречаются в ней в их первоначальной и простейшей форме.
+Во\nobreakdash-вторых, в этой теории, если её проследить достаточно далеко,
+обнаруживаются логические трудности, которые явятся отправной точкой нашего
+основного исследования. Это будет обнаружено в
+гл.~\ref{chap:a_critique_of_mathematical_reasons}.
 
 \begin{SCEnvWLabel}{Примеры.}{exmpls:p5}{p5-examples}
 \begin{SCEnvWLabel}{Множества с кардинальным числом $2^{\alephZero}$.}%
@@ -984,14 +992,14 @@ x_{0}\quad y_{0}\quad x_{1}\quad y_{1}\quad x_{2}\quad y_{2}\quad x_{3}\quad y_{
 \noindent%
 соответствующую некоторому единственному действительному числу. Обратно, всякая
 последовательность может быть по этому методу развёрнута с получением
-определённой пары последовательностей. Аналогичный процесс даёт $n$\emph{-ки
-действительных чисел} или \emph{точки действительного эвклидова}
-$n$\emph{-мерного пространства} для любого фиксированного натурального $n$ и
-даже \emph{бесконечные последовательности действительных чисел} или \emph{точки
-действительного эвклидова} $\alephZero$\emph{-мерного пространства}. Этот
-последний пример можно рассмотреть с помощью
-метода~\textsection~\ref{sec:enumerable_sets}, посредством которого $\alephZero$
-последовательностей нулей и единиц
+определённой пары последовательностей. Аналогичный процесс даёт
+$n$\emph{\nobreakdash-ки действительных чисел} или \emph{точки действительного
+эвклидова} $n$\emph{\nobreakdash-мерного пространства} для любого фиксированного
+натурального $n$ и даже \emph{бесконечные последовательности действительных
+чисел} или \emph{точки действительного эвклидова}
+$\alephZero$\emph{\nobreakdash-мерного пространства}. Этот последний пример
+можно рассмотреть с помощью метода~\textsection~\ref{sec:enumerable_sets},
+посредством которого $\alephZero$ последовательностей нулей и единиц
 \begin{equation*}
   \xymatrix@!@=1.6666667ex{
     x_{00}\ar@{->}[d] &x_{01}\ar@{->}[r]&x_{02}\ar@{->}[dl]&x_{03}\ar@{->}[r]&\ldots\\
@@ -1005,7 +1013,8 @@ $n$\emph{-мерного пространства} для любого фикс
 \noindent%
 свёртываются в одну-единственную последовательность
 \begin{equation*}
-x_{00}\quad x_{10}\quad x_{01}\quad x_{02}\quad x_{11}\quad x_{20}\quad x_{30}\quad x_{21}\quad x_{12}\quad x_{03}\quad\ldots\text{,}
+x_{00}\quad x_{10}\quad x_{01}\quad x_{02}\quad x_{11}\quad x_{20}\quad x_{30}%
+\quad x_{21}\quad x_{12}\quad x_{03}\quad\ldots\text{,}
 \end{equation*}
 
 \noindent%
@@ -1029,19 +1038,20 @@ x_{00}\quad x_{10}\quad x_{01}\quad x_{02}\quad x_{11}\quad x_{20}\quad x_{30}\q
 {exmpl:p5-2}{example-p5-2}
 Это --- кардинальное число множества всех \emph{множеств множеств натуральных
 чисел}. Из эквивалентности между множествами натуральных чисел и действительными
-числами или точками $n$-мерного или $\alephZero$-мерного пространства следует,
-что этим кардинальным числом обладают множество всех \emph{множеств
-действительных чисел}, или \emph{точечных множеств действительного эвклидова}
-$n$\emph{-мерного} или $\alephZero$\emph{-мерного пространства}.
-\emph{Действительные функции от действительной переменной} могут быть
-представлены их графиками, которые являются точечными множествами на плоскости,
-а потому множество их имеет кардинальное число, не большее $2^{2^{\alephZero}}$.
-Оно имеет в точности это кардинальное число, так как функции, принимающие в
-качестве значений только $0$ и $1$, служат представляющими функциями для
-множеств действительных чисел и тем самым составляют подмножество с этим
-кардинальным числом. Распространяя на этот пример геометрическую терминологию,
-можно сказать, что мы имеем дело с множеством \emph{точек действительного
-эвклидова} $2^{\alephZero}$\emph{-мерного пространства}.
+числами или точками $n$\nobreakdash-мерного или $\alephZero$\nobreakdash-мерного
+пространства следует, что этим кардинальным числом обладают множество всех
+\emph{множеств действительных чисел}, или \emph{точечных множеств
+действительного эвклидова} $n$\emph{\nobreakdash-мерного} или
+$\alephZero$\emph{\nobreakdash-мерного пространства}. \emph{Действительные
+функции от действительной переменной} могут быть представлены их графиками,
+которые являются точечными множествами на плоскости, а потому множество их имеет
+кардинальное число, не большее $2^{2^{\alephZero}}$. Оно имеет в точности это
+кардинальное число, так как функции, принимающие в качестве значений только $0$
+и $1$, служат представляющими функциями для множеств действительных чисел и тем
+самым составляют подмножество с этим кардинальным числом. Распространяя на этот
+пример геометрическую терминологию, можно сказать, что мы имеем дело с
+множеством \emph{точек действительного эвклидова} 
+$2^{\alephZero}$\emph{\nobreakdash-мерного пространства}.
 \end{SCEnvWLabel}
 \end{SCEnvWLabel}
 
@@ -1067,7 +1077,7 @@ $n$\emph{-мерного} или $\alephZero$\emph{-мерного простр
 
 Кронекер заметил в 1886 г.: <<Бог создал целые числа, все остальное --- творение
 человека>>. Мы не можем надеяться, что наше познание натурального ряда сведётся
-к познанию чего-либо существенно более простого.
+к познанию чего\nobreakdash-либо существенно более простого.
 
 Но исследуя, что содержится в нашем понимании натурального ряда, мы можем
 преуспеть в выяснении основ наших рассуждений о натуральных числах.
@@ -1099,10 +1109,10 @@ ${n+1}$ или $n'$ (\emph{следующему за} $n$).
 следующему натуральному числу $n'$. Это описание можно следующим образом разбить
 на несколько пунктов:
 
-1.\itemlabel{list:p6-l1-i1}{1} $0$ является \emph{натуральным числом}.
-2.\itemlabel{list:p6-l1-i2}{2} Если $n$ --- \emph{натуральное
+1.\itemlabel{list:p6-l1-i1}{1}~$0$ является \emph{натуральным числом}.
+2.\itemlabel{list:p6-l1-i2}{2}~Если $n$ --- \emph{натуральное
 число}, то и $n'$ --- \emph{натуральное число}.
-3.\itemlabel{list:p6-l1-i3}{3} Никаких \emph{натуральных чисел}, кроме тех,
+3.\itemlabel{list:p6-l1-i3}{3}~Никаких \emph{натуральных чисел}, кроме тех,
 которые получаются согласно \ref{list:p6-l1-i1} и \ref{list:p6-l1-i2}, нет.
 
 В этой форме наша последовательность дискретных шагов становится применением
@@ -1154,8 +1164,8 @@ $n$, ${0''''=0''}$ возможно только при ${0'''=0'}$. Опять
 соответственно на третье и четвёртое места.
 
 Здесь мы не рассматриваем внутреннюю природу натуральных чисел; нас интересует
-только, как они образуют натуральный ряд. Каждое индивидуальное натуральное число
-рассматривается только как объект, занимающий некоторое конкретное место в
+только, как они образуют натуральный ряд. Каждое индивидуальное натуральное
+число рассматривается только как объект, занимающий некоторое конкретное место в
 натуральном ряду. Другими словами, индивидуальное натуральное число задано, если
 задано его порождение согласно индуктивному определению. Например, натуральное
 число $4$ задаётся как объект, который мы получаем, отправляясь от начального
@@ -1176,9 +1186,10 @@ $n$, ${0''''=0''}$ возможно только при ${0'''=0'}$. Опять
 следующее индуктивное определение отношения ${m<n}$ (где $m$, $n$ пробегают
 натуральный ряд).
 
-O1.\itemlabel{list:p6-l2-i1}{O1} ${m<m'}$. O2.\itemlabel{list:p6-l2-i2}{O2} Если
-${m<n}$, то ${m<n'}$. O3.\itemlabel{list:p6-l2-i3}{O3} ${m<n}$ в том и только в
-том случае, если это вытекает из \ref{list:p6-l2-i1} и \ref{list:p6-l2-i2}.
+O1.\itemlabel{list:p6-l2-i1}{O1}~${m<m'}$.
+O2.\itemlabel{list:p6-l2-i2}{O2}~Если ${m<n}$, то ${m<n'}$.
+O3.\itemlabel{list:p6-l2-i3}{O3}~${m<n}$ в том и только в том случае, если это
+вытекает из \ref{list:p6-l2-i1} и \ref{list:p6-l2-i2}.
 
 Если взять это определение для некоторого фиксированного $m$ в качестве
 индуктивного определения класса чисел $n$, больших $m$, то оно имеет вид
@@ -1288,7 +1299,7 @@ ${\OLemptyset\sim M_{1}\subseteq\OLemptyset}$. Тогда ${M_{1}=\OLemptyset}$.
 ${\OLcard{N}=n}$ и ${a\OLnotin N}$ и
 ${N\OLcup\left\{ a\right\}\sim M_{1}\subseteq N\OLcup\left\{ a\right\}}$. Нам
 надо доказать, что при этом ${M_{1}=N\OLcup\left\{ a\right\}}$. В данном
-\isom -соответствии ${N\OLcup\left\{ a\right\}\sim M_{1}}$ элемент $a$ множества
+\isom-соответствии ${N\OLcup\left\{ a\right\}\sim M_{1}}$ элемент $a$ множества
 ${N\OLcup\left\{ a\right\}}$ соответствует некоторому элементу $b$ из $M_{1}$.
 Поэтому
 ${N\sim M_{1}\OLsetminus\left\{ b\right\}\subset
@@ -1331,7 +1342,7 @@ ${b\in N\OLcup\left\{ a\right\}}$)‚ ${M_{1}=N\OLcup\left\{ a\right\}}$.
 также могут встретиться в каком-нибудь расположении относительно этих четырёх
 указанных.
 
-Мы будем называть \isom -соответствие между $n$ левыми скобками и $n$ правыми
+Мы будем называть \isom-соответствие между $n$ левыми скобками и $n$ правыми
 скобками (короче, \emph{спаривание} этих $2n$ скобок) \emph{собственным}, если
 каждой левой скобке ставится в соответствие (спаривается с ней) некоторая правая
 скобка, расположенная правее её, и если никакие две пары спаренных скобок не
@@ -1445,10 +1456,10 @@ $<$~---~бинарное отношение между элементами эт
 они могут быть выбраны из некоторой другой абстрактной системы (или даже из той
 же самой, но при новой интерпретации соотношений).
 
-Вот несколько представлений абстрактного натурального ряда: (a) натуральные
-числа как мощности конечных множеств; (b) целые положительные числа ($1$
-представляет абстрактный объект $0$); (c) чётные натуральные числа ($+2$
-представляет абстрактную операцию $'$). (d) Иногда товары упаковывают в ящики,
+Вот несколько представлений абстрактного натурального ряда: (a)~натуральные
+числа как мощности конечных множеств; (b)~целые положительные числа ($1$
+представляет абстрактный объект $0$); (c)~чётные натуральные числа ($+2$
+представляет абстрактную операцию $'$). (d)~Иногда товары упаковывают в ящики,
 снабжённые этикеткой, на которой изображён рисунок самого этого ящика. Физически
 точность такого рисунка должна быть ограниченной. Но если мы вообразим идеальную
 точность рисунка, то можно представить $0$ посредством самого ящика, $1$ ---
@@ -1456,17 +1467,17 @@ $<$~---~бинарное отношение между элементами эт
 ящика в рисунке ящика, помещённом на ящике, и т.~д.
 
 Два представления одной и той же абстрактной системы (\emph{просто})
-\emph{изоморфны}, т.~е. могут быть поставлены в \isom -соответствие, сохраняющее
+\emph{изоморфны}, т.~е. могут быть поставлены в \isom-соответствие, сохраняющее
 отношения. Точнее, две системы ${(D_{1}, 0_{1}, \vphantom{s}'\vphantom{s}_{1})}$
 и ${(D_{2}, 0_{2}, \vphantom{s}'\vphantom{s}_{2})}$ типа
 ${(D, 0, \vphantom{s}')}$ просто изоморфны, если существует
-\isom -соответствие между $D_{1}$ и $D_{2}$, при котором $0_{1}$
+\isom-соответствие между $D_{1}$ и $D_{2}$, при котором $0_{1}$
 соответствует $0_{2}$ (что обозначается через ${0_{1}\leftrightarrow 0_{2}}$), и
 если ${m_{1}\leftrightarrow m_{2}}$‚ то
 ${m_{1}\vphantom{s}'\vphantom{s}_{1}\leftrightarrow
  m_{2}\vphantom{s}'\vphantom{s}_{2}}$. Две системы ${(D_{1}, <_{1})}$ и
 ${(D_{2}, <_{2})}$ типа ${(D, <)}$ изоморфны, если существует
-\isom -соответствие между $D_{1}$ и $D_{2}$, при котором, если
+\isom-соответствие между $D_{1}$ и $D_{2}$, при котором, если
 ${m_{1}\leftrightarrow m_{2}}$ и ${n_{1}\leftrightarrow n_{2}}$, то
 ${m_{1}<_{1}n_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${m_{2}<_{2}n_{2}}$.
 
@@ -1508,9 +1519,9 @@ ${m_{1}<_{1}n_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${m_{2}<_{
 Система вычетов по модулю $2$ (или её представление) не изоморфна натуральному
 ряду (или его представлению), так как между обеими этими
 %% ======================= Страница 31 =======================
-системами невозможно установить \isom -соответствия. Система ординальных чисел,
+системами невозможно установить \isom-соответствия. Система ординальных чисел,
 меньших $2\omega$, не изоморфна натуральному ряду, потому что при установлении
-\isom -соответствия невозможно сохранить операцию ,,следующий за`` $'$ (или
+\isom-соответствия невозможно сохранить операцию ,,следующий за`` $'$ (или
 отношение порядка $<$).
 
 В этом параграфе мы будем употреблять <<$S$>> для обозначения системы и <<$D$>>
@@ -1544,12 +1555,12 @@ ${m_{1}<_{1}n_{1}}$ тогда и только тогда, когда ${m_{2}<_{
 перепишем эти аксиомы, подставляя понятие <<элемент $D$>> вместо <<натуральное
 число>>:
 
-P1.\itemlabel{axiom:p8-p1}{P1} ${0\in D}$.
-P2.\itemlabel{axiom:p8-p2}{P2} Если ${n\in D}$, то ${n'\in D}$.
-P3.\itemlabel{axiom:p8-p3}{P3} Если ${m\in D}$ и ${n\in D}$, то ${m'=n'}$ только
+P1.\itemlabel{axiom:p8-p1}{P1}~${0\in D}$.
+P2.\itemlabel{axiom:p8-p2}{P2}~Если ${n\in D}$, то ${n'\in D}$.
+P3.\itemlabel{axiom:p8-p3}{P3}~Если ${m\in D}$ и ${n\in D}$, то ${m'=n'}$ только
 в том случае, если ${m=n}$.
-P4.\itemlabel{axiom:p8-p4}{P4} Если ${n\in D}$, то ${n'\neq 0}$.
-P5.\itemlabel{axiom:p8-p5}{P5} Пусть ${P\subseteq D}$‚ причём $P$ обладает
+P4.\itemlabel{axiom:p8-p4}{P4}~Если ${n\in D}$, то ${n'\neq 0}$.
+P5.\itemlabel{axiom:p8-p5}{P5}~Пусть ${P\subseteq D}$‚ причём $P$ обладает
 следующими свойствами: (1) ${0\in P}$ и (2), если ${n\in P}$, то ${n'\in P}$;
 тогда ${P=D}$.
 
@@ -1571,8 +1582,7 @@ P5.\itemlabel{axiom:p8-p5}{P5} Пусть ${P\subseteq D}$‚ причём $P$
 Допустим теперь, что мы не просто откинули~\ref{axiom:p8-p4}, но заменили её
 аксиомой
 
-P6.\itemlabel{axiom:p8-p6}{P6} Если ${n\in D}$, то ${n'\neq n}$, но
-${n''=n}$.
+P6.\itemlabel{axiom:p8-p6}{P6}~Если ${n\in D}$, то ${n'\neq n}$, но ${n''=n}$.
 
 Тогда спять только одна система удовлетворяет аксиомам --- система вычетов по
 модулю $2$.
@@ -1636,9 +1646,9 @@ ${n''=n}$.
 только средствами, внешними по отношению к этой аксиоматической теории (т.~е. в
 некоторой другой теории). В самой же формальной аксиоматической теории область
 $D$ из $S$ играет роль фиксированного и полного множества объектов, причём
-существование всех этих объектов предполагается сразу, независимо от какого-либо
-порядка порождения, и к этим объектам применяются операции, отношения и т.~д. из
-системы $S$.
+существование всех этих объектов предполагается сразу, независимо от
+какого\nobreakdash-либо порядка порождения, и к этим объектам применяются
+операции, отношения и т.~д. из системы $S$.
 
 В системе $S$ типа ${(D, 0, \vphantom{s}')}$ понятия $0$ и $'$ или $D$, $0$ и
 $'$ называются \emph{первоначальными}, или \emph{техническими}, или
@@ -1673,10 +1683,10 @@ $'$~--- операция над элементом $D$; иначе говоря,
 В качестве другого примера рассмотрим следующие аксиомы
 \emph{линейного порядка}, которые применяются к системам типа ${(D, <)}$:
 
-L1.\itemlabel{axiom:p8-l1}{L1} Если ${m<n}$ и ${n<p}$‚ то ${m<p}$.
-L2.\itemlabel{axiom:p8-l2}{L2} Имеет место не более чем одно из соотношений
+L1.\itemlabel{axiom:p8-l1}{L1}~Если ${m<n}$ и ${n<p}$‚ то ${m<p}$.
+L2.\itemlabel{axiom:p8-l2}{L2}~Имеет место не более чем одно из соотношений
 ${m<n}$, ${m=n}$‚ ${m>n}$.
-L3.\itemlabel{axiom:p8-l3}{L3} Имеет место по крайней мере одно из соотношений
+L3.\itemlabel{axiom:p8-l3}{L3}~Имеет место по крайней мере одно из соотношений
 ${m<n}$, ${m=n}$‚ ${m>n}$.
 
 Здесь ${m>n}$ означает ${n<m}$. Переменные $m$, $n$, $p$ относятся к
@@ -1717,16 +1727,16 @@ $\alephZero$ (а иногда конечные), \emph{анализ} имеет
 б{\'o}льшей мощности). Как и в теории чисел, в анализе подлежащие рассмотрению
 системы объектов считаются обычно категорически определёнными.
 
-Результаты анализа иногда применяются в теоретико-числовых исследованиях ---
-такие исследования составляют \emph{аналитическую теорию чисел}. Теория чисел,
-не использующая анализа, называется \emph{чистой}, или \emph{элементарной},
-теорией чисел\footnote{Согласно сказанному, термины <<теория чисел>> и
-<<арифметика>> являются синонимами (поэтому английский термин <<number theory>>
-переводится обычно в дальнейшем словом <<арифметика>>). Повидимому, синонимами
-следует считать также термины <<арифметика в узком смысле>> и <<элементарная
-теория чисел>>. При этом в дальнейшем (как в английском тексте, так и в
-переводе) эпитеты <<в узком смысле>> и <<элементарная>> обычно опускаются.~---~%
-\textit{Прим.~ред.}}.
+Результаты анализа иногда применяются в теоретико\nobreakdash-числовых
+исследованиях --- такие исследования составляют \emph{аналитическую теорию
+чисел}. Теория чисел, не использующая анализа, называется \emph{чистой}, или
+\emph{элементарной}, теорией чисел\footnote{Согласно сказанному, термины
+<<теория чисел>> и <<арифметика>> являются синонимами (поэтому английский термин
+<<number theory>> переводится обычно в дальнейшем словом <<арифметика>>).
+Повидимому, синонимами следует считать также термины <<арифметика в узком
+смысле>> и <<элементарная теория чисел>>. При этом в дальнейшем (как в
+английском тексте, так и в переводе) эпитеты <<в узком смысле>> и
+<<элементарная>> обычно опускаются.~---~\textit{Прим.~ред.}}.
 %% ======================= Страница 34 =======================
 
 Рассмотрим теперь бегло основную систему объектов анализа --- континуум
@@ -1784,11 +1794,11 @@ ${\OLRealNumSet\OLsetminus\mathbf{x}}$ вместо $X_{2}$.
 
 \emph{Действительное число} --- это такое множество $\mathbf{x}$ рациональных
 чисел, что
-(a)\itemlabel{property:p9-a}{(a)} ни $\mathbf{x}$, ни
+(a)\itemlabel{property:p9-a}{(a)}~ни $\mathbf{x}$, ни
 ${\OLRealNumSet\OLsetminus\mathbf{x}}$ не пусто;
-(b)\itemlabel{property:p9-b}{(b)} $\mathbf{x}$ не содержит наибольшего
+(b)\itemlabel{property:p9-b}{(b)}~$\mathbf{x}$ не содержит наибольшего
 рационального числа; 
-(c)\itemlabel{property:p9-c}{(c)} каждое рациональное число из $\mathbf{x}$
+(c)\itemlabel{property:p9-c}{(c)}~каждое рациональное число из $\mathbf{x}$
 меньше каждого рационального числа из ${\OLRealNumSet\OLsetminus\mathbf{x}}$.
 
 Множество $\setOfSets{C}$ всех действительных чисел --- это множество всех таких
@@ -1889,7 +1899,8 @@ ${\boldsymbol{-}\left(\OLsup\boldsymbol{-}\setOfSets{M}\right)=%
 
 Если $\mathbf{x}$ и $\mathbf{y}$~---~действительные числа, то пусть
 ${\mathbf{x}\boldsymbol{+}\mathbf{y}}$ будет множеством рациональных чисел
-${r+s}$ для ${r\in\mathbf{x}}$ и ${s\in\mathbf{y}}$; пусть ${\mathbf{x}\boldsymbol{-}\mathbf{y}=%
+${r+s}$ для ${r\in\mathbf{x}}$ и ${s\in\mathbf{y}}$; пусть
+${\mathbf{x}\boldsymbol{-}\mathbf{y}=%
  \mathbf{x}\boldsymbol{+}\left(\boldsymbol{-}\mathbf{y}\right)}$; наконец, пусть
 ${\boldsymbol{|}\mathbf{x}\boldsymbol{|}=\mathbf{x}}$, если
 ${\mathbf{x}\boldsymbol{\geqslant}\boldsymbol{0}}$, и
@@ -1953,38 +1964,166 @@ $Y$, и т.~д.).
 подмножество $Y_{1}$ множества $Y$, состоящее из тех элементов $Y$, которые
 используются при этом соответствии, т.~е. из тех, которые посредством функции
 $f$ поставлены в соответствие каким-нибудь элементам множества $X$. При этом $X$
-и $Y_{1}$ находятся в \emph{много-однозначном соответствии}, потому что каждому
-элементу из $X$ соответствует ровно один элемент из $Y_{1}$, но элемент из
-$Y_{1}$ может (вообще говоря) соответствовать многим элементам из  $X$. Элемент
-$x$ из $X$ является \emph{аргументом функции}, или \emph{значением независимой
-переменной}. Соответствующий элемент $y$ из $Y$ является \emph{соответствующим
-значением функции}, или \emph{зависимой переменной}, или \emph{значением функции
-для этого аргумента}. (Иногда <<аргумент>> употребляется в смысле <<независимой
-переменной>>.)
+и $Y_{1}$ находятся в \emph{много\nobreakdash-однозначном соответствии}, потому
+что каждому элементу из $X$ соответствует ровно один элемент из $Y_{1}$, но
+элемент из $Y_{1}$ может (вообще говоря) соответствовать многим элементам из
+$X$. Элемент $x$ из $X$ является \emph{аргументом функции}, или \emph{значением
+независимой переменной}. Соответствующий элемент $y$ из $Y$ является
+\emph{соответствующим значением функции}, или \emph{зависимой переменной}, или
+\emph{значением функции для этого аргумента}. (Иногда <<аргумент>> употребляется
+в смысле <<независимой переменной>>.)
 
 (Однозначная) \emph{функция} $f$, или ${f(x_{1}, \ldots, x_{n})}$‚ или
 ${y=f(x_{1}, \ldots, x_{n})}$, \emph{от} $n$ \emph{переменных}
 ${x_{1}, \ldots, x_{n}}$~---~это соответствие, в силу которого каждой
-упорядоченной $n$-ке ${(x_{1}, \ldots, x_{n})}$ объектов, где
+упорядоченной $n$\nobreakdash-ке ${(x_{1}, \ldots, x_{n})}$ объектов, где
 ${x_{1}\in X_{1}}$, ${x_{2}\in X_{2}}$, $\ldots$, ${x_{n}\in X_{n}}$, отвечает
 единственный объект $y$, где ${y\in Y}$. Функцию от $n$ переменных можно
 рассматривать как функцию от одной переменной, множеством $X$ для которой служит
-класс всех упорядоченных $n$-ок ${(x_{1}, \ldots, x_{n})}$ указанного вида.
-Терминология, введённая для функций от одной переменной, распространяется на
-случай $n$ переменных. Так, $X_{1}$ есть \emph{область изменения} переменной
-$x_{1}$, $X_{2}$~---~\emph{область изменения} $x_{2}$, $\ldots$, $X_{n}$~---~%
-\emph{область изменения} $x_{n}$. При этом множества $X_{1}$, $X_{2}$, $\ldots$‚
-$X_{n}$ могут все совпадать, или же может иметься и несколько (вплоть до $n$)
-различных областей изменения. Всякая отдельная последовательность
-${x_{1}, \ldots, x_{n}}$ элементов соответственно из ${X_{1}, \ldots, X_{n}}$
-является \emph{cистемой}, или \emph{набором} (или $n$-кой) \emph{аргументов}.
+класс всех упорядоченных $n$\nobreakdash-ок ${(x_{1}, \ldots, x_{n})}$
+указанного вида. Терминология, введённая для функций от одной переменной,
+распространяется на случай $n$ переменных. Так, $X_{1}$ есть \emph{область
+изменения} переменной $x_{1}$, $X_{2}$~---~\emph{область изменения} $x_{2}$,
+$\ldots$, $X_{n}$~---~\emph{область изменения} $x_{n}$. При этом множества
+$X_{1}$, $X_{2}$, $\ldots$‚ $X_{n}$ могут все совпадать, или же может иметься и
+несколько (вплоть до $n$) различных областей изменения. Всякая отдельная
+последовательность ${x_{1}, \ldots, x_{n}}$ элементов соответственно из
+${X_{1}, \ldots, X_{n}}$ является \emph{cистемой}, или \emph{набором} (или
+$n$\nobreakdash-кой) \emph{аргументов}.
 %%
 %% исправлена опечатка
 %% в оригинале было "истемой" вместо "системой"
 %%
+%% ======================= Страница 37 =======================
+
+В этой обильной терминологии можно распознать смешение терминологий, основанных
+на двух идеях: идее функции как много\nobreakdash-однозначного соответствия и
+идее функции как переменной $y$, которая изменяется в связи с другой переменной
+$x$ таким образом, что значение $y$ всегда определяется значением $x$.
+
+Первая идея является более объемлющей, и изучающий должен иметь в виду прежде
+всего её. Но вторая идея естественным путём приводит к полезным соглашениям,
+касающимся обозначений, в силу которых, например, если <<$f(x)$>> обозначает
+некоторую функцию от независимой переменной $x$, а $a$, $b$ и т.~д. являются
+значениями этой независимой переменной (т.~е. аргументами), то <<$f(a)$>>
+обозначает значение функции для этого аргумента $a$, <<$f(b)$>>~---~значение
+функции для ${x=b}$ и т. д.
+
+Нужно иметь в виду, что <<$f(x)$>> можно понимать в каждом из следующих двух
+значений:
+1.\itemlabel{list:p10-l1-1}{1}~Как саму функцию (т.~е. как
+много\nobreakdash-однозначное соответствие между $X$ и $Y_{1}$).
+2.\itemlabel{list:p10-l1-2}{2}~Если $x$ означает некоторый объект из области, то
+как соответствующее этому объекту значение функции (т.~е. как некоторый элемент
+$y$ из $Y_{1}$). Если $x$ никак не зафиксирован, то $f(x)$ в последнем смысле
+называется \emph{общим значением} рассматриваемой функции.
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример 1.}{exmpl:p10-1}{exmpl:p10-1}
+Когда мы говорим <<${x+y}$ симметрична>>, мы подразумеваем под <<${x+y}$>> саму
+функцию. Когда мы говорим <<сумма ${x+y}$ любых двух натуральных чисел $x$ и $y$
+должна быть ${\geqslant x}$>>‚ мы подразумеваем под <<${x+y}$>> не функцию, а
+число (общее значение функции).
+\end{SCEnvWLabel}
 
-stub
+Этой неопределённости можно избежать, если для обозначения функции употреблять
+<<$f$>> вместо <<$f(x)$>>‚ коль скоро речь идёт о функциях, для каждой из
+которых был введён символ, например <<$f$>>, <<$g$>>, <<$+$>> или <<$\phi$>>. Но
+обозначения, в которых указываются независимые переменные, очень удобны для
+получения обозначений других функций, составленных из данных функций (и
+констант), например <<${f(g(x))}$>>‚ <<${x^{2}+3x}$>> или <<${\phi(2, x)}$>>.
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример 2.}{exmpl:p10-2}{exmpl:p10-2}
+Чтобы рассмотреть это подробнее, допустим, что $f$ и $g$~---~данные
+\emph{арифметические функции} от одной переменной, т.~е. отображения множества
+натуральных чисел на это же множество. Пусть $x$~---~произвольное натуральное
+число. Тогда $g(x)$ будет натуральным числом, т.~е. значением функции $g$ для
+$x$ как аргумента, и ${f(g(x))}$ будет натуральным числом, т.~е. значением
+функции $f$ для натурального числа $g(x)$ как аргумента. Таким образом, для
+любого натурального числа $x$ определено другое число ${f(g(x))}$. Итак,
+<<${f(g(x))}$>> обозначает общее значение новой функции
+(смысл~\ref{list:p10-l1-2}); удобно также пользоваться этим обозначением в
+качестве названия для самой новой функции (смысл~\ref{list:p10-l1-1}).
+\end{SCEnvWLabel}
 
+Имеется и другой способ обозначения (введённый Чёрчем~\cite{church1932})‚ в
+котором участвуют независимые переменные, но функция $f$ обозначается иначе, чем
+её общее значение, а именно <<${\OLlambda{x}{f(x)}}$>> или, для функции
+от $n$ переменных,
+<<${\OLlambda{x_{1}\ldots x_{n}}{f(x_{1}, \ldots, x_{n})}}$>>, например
+<<${\OLlambda{x}{f(g(x))}}$>>‚ <<${\OLlambda{x}{x^{2}+3x}}$>>‚
+<<${\OLlambda{x}{\phi(2, x)}}$>>. Мы будем для ясности пользоваться этими
+\lamcalc-обозначениями в тех случаях, когда нужна будет особенная
+осторожность.
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример 3.}{exmpl:p10-3}{exmpl:p10-3}
+Пусть $\phi$~---~функция от двух натуральных чисел. Используя
+\lamcalc-обозначения надлежащим образом, т.~е. как раз всюду там, где имеется
+в виду функция, а не её общее значение, мы можем различать между собой:
+(a)\itemlabel{list:p10-l2-a}{(a)}~число ${\phi(x, y)}$,
+(b)\itemlabel{list:p10-l2-b}{(b)}~функцию ${\OLlambda{x}{\phi(x, y)}}$ от одной
+переменной $x$ с параметром $y$,
+(c)\itemlabel{list:p10-l2-c}{(c)}~функцию ${\OLlambda{xy}{\phi(x, y)}}$ от
+двух переменных, для которой $x$~---~первая, а $y$~---~вторая переменная,
+(d)\itemlabel{list:p10-l2-d}{(d)}~функцию ${\OLlambda{yx}{\phi(x, y)}}$, для
+которой
+%% ======================= Страница 38 =======================
+$y$~---~первая, а $x$~---~вторая переменная,
+(e)\itemlabel{list:p10-l2-e}{(e)}~функцию
+${\OLlambda{x}{\OLlambda{y}{\phi(x, y)}}}$ от одной переменной $x$, значениями
+которой служат функции от другой переменной $y$, и т.~д.
+(Шейнфинкель~\cite{schoenfinkel1924} и Чёрч
+отождествляют~\ref{list:p10-l2-c}~и~\ref{list:p10-l2-e}, но в этом нет для нас
+необходимости.)
+\end{SCEnvWLabel}
+
+Для любой $n$\nobreakdash-ки ${t_{1}, \ldots, t_{n}}$ аргументов функции $f$
+\begin{equation*}
+\left\{\OLlambda{x_{1}\ldots x_{n}}%
+ {f(x_{1}, \ldots, x_{n})}\right\}(t_{1}, \ldots, t_{n})=%
+ f(t_{1}, \ldots, t_{n})\text{.}
+\end{equation*}
+
+\noindent%
+Например,
+\begin{gather*}
+\left\{\OLlambda{x}{x^{2}+3x}\right\}(2)=10\text{,}\quad
+\left\{\OLlambda{x}{\phi(x, y)}\right\}(0)=\phi(0, y)\text{,}\\
+\left\{\OLlambda{yx}{\phi(x, y)}\right\}(0, 3)=\phi(3, 0)\text{,}\quad
+\left\{\OLlambda{xy}{\phi(x, y)}\right\}(z, x)=\phi(z, x)\text{.}
+\end{gather*}
+
+Мы рассматриваем функцию как много\nobreakdash-однозначное соответствие. Можно
+пойти дальше и определить, что такое много\nobreakdash-однозначное соответствие,
+в зависимости от того, в какой теории производится всё рассмотрение. В
+теоретико\nobreakdash-множественных терминах это соответствие можно отождествить
+с множеством всех упорядоченных пар ${(x, y)}$ соответствующих элементов
+множеств $X$ и $Y_{1}$. Вместо этого можно говорить и о законе или правиле
+установления соответствия, по крайней мере если рассматриваются такие функции,
+что для каждой из них может быть задан такой закон или правило в некотором
+принятом смысле. В случае, когда $X$~---~конечное множество, функцию можно
+задать в виде таблицы.
+
+\begin{SCEnvWLabel}{Пример 4.}{exmpl:p10-4}{exmpl:p10-4}
+Пусть $X$ и $Y$ оба являются системой вычетов по модулю $2$, т.~е.
+${X=Y=\{0, 1\}}$. Функции ${x'}$ и ${x\cdot y}$ можно определить посредством
+следующих таблиц:
+
+\begin{center}\noindent
+\begin{tabular}{lcccccccc}
+&&$x'$&&&&&\multicolumn{2}{c}{$x\cdot y$}\\
+&&&&&&$y$&$0$&$1$\\\cline{3-3}\cline{6-9}
+$x$&$0$&\multicolumn{1}{|c|}{$1$}&&&$x$&$0$&%
+    \multicolumn{1}{|c|}{$0$}&%
+    \multicolumn{1}{c|}{$0$}\\\cline{3-3}\cline{8-9}
+&$1$&\multicolumn{1}{|c|}{$0$}&&&&$1$&%
+    \multicolumn{1}{|c|}{$0$}&%
+    \multicolumn{1}{c|}{$1$}\\\cline{3-3}\cline{8-9}
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+\noindent%
+Тогда по второй таблице ${0\cdot 0=0\cdot 1=1\cdot 0=0}$ и ${1\cdot 1=1}$.
+\end{SCEnvWLabel}
 
 \chapter{Критика математических утверждений}
 \label{chap:a_critique_of_mathematical_reasons}